由一道極值點偏移不等式引發(fā)的探究

☉山東省肥城市第一高級中學 陰嘉輝

題目 已知函數(shù)（fx）=ex+1-x2-2ax+1（a∈R）有兩個極值點x1，x（2x1＜x2），求證：x1+x2＞-2.

分析：通過求導，由于函數(shù)（fx）的兩個極值點x1，x2，可得兩個對應的方程，而對應的兩個變元x1，x2不能通過相互表示來達到減少變量個數(shù)的目的，那么就得巧妙通過對應的方程之間的運算后再合理換元，減少變量個數(shù)，再通過構造函數(shù)，利用求導以及函數(shù)的單調(diào)性等來轉化與證明；也可采用運算后利用對數(shù)平均值不等式來處理，顯得更為簡單快捷；采用極值點偏移法也可達到證明的目的.通過相應的方程式的加減運算變形，利用分析法，通過t=x2-x1的整體形式換元處理，進而通過構造函數(shù)，結合導數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性來證明即可.

證法1：由（fx）=ex+1-x2-2ax+1，可得f（′x）=ex+1-ax-2a，而f（″x）=ex+1-a.

當a≤0時，f（″x）＞0，f（′x）單調(diào)遞增，且至多有一個零點，則（fx）至多有一個極值點，與題意矛盾，于是a＞0.

令f（″x）=0，可得x=lna-1.

而函數(shù)（fx）有兩個極值點，則有f（′lna-1）=-alna＜0，解得a＞1.

由題可知，f′（x）=ex+1-ax-2a=0的兩個解為x1，x2（x1＜x2），

兩式相加可得ex1+1+ex2+1=a（x1+x2+4）. ①

要證x1+x2＞-2成立，即證成立，亦即證ex1+1+ex2+1＞2a成立， ②

上述不等式的兩邊同時除以ex1+1，可得即證1+ex2-x1＞

令t=x2-x1＞0，即證，亦即證（t-2）et+t+2＞0，t＞0.

構造函數(shù)g（t）=（t-2）et+t+2，t＞0，可得g′（t）=（t-1）et+1，g″（t）=tet，

由于t＞0，則由g″（t）＞0知，則g′（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則有g′（t）＞g′（0）=0，

則進一步可知，g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

則g（t）＞g（0）=0，則證得（t-2）et+t+2＞0，t＞0成立，

根據(jù)以上分析可知，x1+x2＞-2成立.

通過相應的方程式的作商運算變形，通過ex1-x2=的整體形式換元處理，進而把x1+x2表示成參數(shù)t的關系式，通過構造函數(shù)，結合導數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性來證明即可.

證法2：由（fx）=ex+1-x2-2ax+1，可得f（′x）=ex+1-ax-2a，而f（″x）=ex+1-a.

若f（″x）＞0或f（″x）≤0，則f（′x）單調(diào)遞增或遞減，f（′x）至多有1個解，與題意矛盾，故必有f（″x）=0.

令f（″x）=0，可得x=lna-1，

而函數(shù)f（x）有兩個極值點，則有f′（lna-1）=-alna＜0，解得a＞1.

由題可知，f′（x）=ex+1-ax-2a=0的兩個解為x1，x2（x1＜x2），

可得x1-x2=lnt，與聯(lián)立解得

可得

故φ（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，則有φ（t）＜φ（1）=0，

則有g′（t）＜0，則進一步可知，g（t）在（0，1）上單調(diào)遞減.

根據(jù)洛必達法則可知，

通過相應的方程式的兩邊取對數(shù)來進行運算，再結合對應關系式的作差變形，通過的整體形式換元處理，進而把x1+x2表示成參數(shù)t的關系式，通過構造函數(shù)，結合導數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性來證明即可.

若a≤0，f″（x）＞0，f′（x）單調(diào)遞增，不符合題意，故a＞0.

令f″（x）=0，可得x=lna-1.

而函數(shù)f（x）有兩個極值點，則有f′（lna-1）=-alna＜0，解得a＞1.

由題可知，f′（x）=ex+1-ax-2a=0的兩個解為x1，x2（x1＜x2），

故φ（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，則有φ（t）＜φ（1）=0，

則有g′（t）＜0，則進一步可知，g（t）在（0，1）上單調(diào)遞減.

根據(jù)洛必達法則可知，

通過相應的方程式的兩邊取對數(shù)來進行運算，再結合對應關系式的作差變形，得到利用對數(shù)平均值不等式加以轉化即可得以證明.

證法4：由（fx）=ex+1-x2-2ax+1，可得f（′x）=ex+1-ax-2a，而f（″x）=ex+1-a.

若a≤0，f（″x）＞0，f（′x）單調(diào)遞增，不符合題意，故a＞0.令f″（x）=0，可得x=lna-1.

而函數(shù)f（x）有兩個極值點，則有f′（lna-1）=-alna＜0，解得a＞1.

由題可知，f′（x）=ex+1-ax-2a=0的兩個解為x1，x2（x1＜x2），

兩式相減可得x1-x2=ln（x1+2）-ln（x2+2），

則有（x1+2）-（x2+2）=ln（x1+2）-ln（x2+2），

通過相應的方程式的兩邊取對數(shù)來進行運算，利用構造函數(shù)g（x）=x+1-ln（x+2），此時滿足g（x1）=g（x2）=lna＞0且g（-1）=0，通過分類討論，結合極值點偏移法，根據(jù)函數(shù)構造函數(shù)F（x）=g（x）-g（-2-x）的單調(diào)性并結合g（x）在對應區(qū)間的單調(diào)性來確定相應的不等式，進而證明對應的不等式成立.

通過從多個不同角度來處理，巧妙把該題的底蘊充分挖掘出來，多角度出發(fā)，多方面求解，真正體現(xiàn)對數(shù)學知識的融會貫通，充分展現(xiàn)知識的交匯與綜合，達到提升能力、拓展應用的目的.進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數(shù)學家蘇步青先生說過：“學習數(shù)學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”W