小議特征根法的證明和運用

☉江蘇省揚州市新華中學 馬世明

已知數列遞推公式求通項有不少方法，其中構造法是深受競賽數學和高考數學命題人的青睞.對于一階線性遞推數列，我們的構造相對而言是比較簡單的，多數以構造等比為主要手段，并輔之以整體思想的使用，稍顯復雜的問題也可以通過簡單的代數變形轉換為上述問題.競賽數學中的難題是以二階線性遞推數列或分式遞推數列為主，此時構造相對一階而言，難度大大升高，一般性的方式主要是以不動點原理進行構造求解.多數講座只講特征根的使用和記憶，卻不怎么告訴學生特征根的使用原理，對于學生來說，這樣的學習是“囫圇吞棗”，不長久的.因此本文將二階線性遞推數列的一般性原理進行了分析，旨在培養學生“知其然又知其所以然”的探索精神.

一、二階線性遞推數列特征根證明

定理 對二階齊次線性遞歸數列{an}，已知其前兩項為a1，a2，且an=pan-1+qan-2（n≥3），若其特征方程t2-pt-q=0的兩根為α，β，證明：

（1）當α≠β時，an=Aαn+Bβn，其中A，B由n=1，n=2上述方程唯一確定；

（2）當α=β時，an=（A+Bn）αn，其中A，B由n=1，n=2上述方程唯一確定.

證明：（1）其中p+q=1時，由p+q=1，得p=1-q，代入遞歸式，整理得an-an-1=-q（an-1-an-2），可得{an-an-1}（n≥2）是一個以a2-a1為首項，以-q為公比的等比數列，易知

（2）當p+q≠1時，受（1）型處理方法的啟示，不妨設原遞歸數列能表示為an-αan-1=β（an-1-αan-2）（n≥3），整理得an=（α+β）an-1-αβan-2與原遞歸式比較系數，得可見α，β是二次方程t2-pt-q=0（*）的兩根（實虛均可）.

聯立①②兩式解得

但實際上A，B可由n=1，n=2及④式方程唯一確定.

（ii）若t2-pt-q=0有兩相同實根α=β，則③式可改寫成an=a2（αn-2+αn-3β+…+αβn-3+βn-2）+a1（αn-3+αn-4β+…+αβn-4+βn-3）.

又α=β，得an=a2（n-1）αn-2-a1（n-2）αn-1.

同理，可簡化為an=（A+Bn）αn，其中但實際上A，B可由n=1，n=2及④式方程唯一確定.證畢.

注：應用這一定理，特征根方程法就成為了求二階齊次線性遞歸數列的一種通法.

二、運用

例1已知數列{an}滿足a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N*），求數列{an}的通項an.

解析：其特征方程為x2=3x-2，解得x1=1，x2=2.

所以an=1+2n-1.

例2已知數列{an}滿足a1=1，a2=2，4an+2=4an+1-a（nn∈N*），求數列{an}的通項an.

解析：其特征方程為4x2=4x-1，解得x=x=，令

12

說明：例1和例2恰是特征根不同的兩種情形，在運用特征根理論講解問題的同時，我們不難理解特征根的來源，即函數不動點的數列形態.函數不動點是一個極限狀態，其數列形態就是特征根.學生理解了特征根的原理，回頭再學習其本質的運用，才能更好地理解特征根.

三、分式遞推數列特征根證明

四、再運用

例3 已知數列{an}滿足，求數列{an}的通項an.

例4 已知數列{an}滿足（n∈N*），求數列{an}的通項an.

說明：定理的運用讓分式遞推數列的求解變得極為容易，但最重要的是理解特征根方程和不動點原理，有了這樣的高等數學知識背景，才能將知識運用得更加得心應手.

總之，特征根法是數列中的名稱，其最終的原理來自函數不動點的理論.當下教學注重了教學的效率卻往往不講求知識形成的過程，這一點筆者始終不能認同.教學要講求的恰恰是懂理，更要是明過程、知細節，僅僅會用這樣的結論解決問題還是遠遠不夠的.教學講過程、知識重理解，才是符合新一輪課程標準核心素養提出的基本要求.