三角函數最值問題的分類探究

☉江蘇省啟東市第一中學 邢華妹

三角函數最值問題處在代數、三角、幾何等知識的交匯處，解法靈活多變，能力要求高，是高考的常考點.在求解時，若能根據題目特征，合理選擇方法則可以快速解題.本文主要從y=asinx+b，y=Asin（ωx+φ），y=asin2x+bsinx+c類型問題等幾個方面進行論述，以供參考.

一、y=asinx+b型

題中僅含正弦或余弦一種，且次數為1，這一類問題相對比較簡單，通常求解方法是將正弦或余弦函數轉化成一次函數，然后利用三角函數的有界性進行解決.

例1 已知y=asinx+b，ymax=3，ymin=-1，求a，b.

分析：設t=sinx，則問題可轉化為在t∈［-1，1］上，求一次函數y=at+b的最值問題.

所以a=±2，b=1.

評注：將三角函數轉化為在一定區間上求代數函數最值是常用的方法，還可以嘗試運用數形結合，轉化為斜率問題等方法來進行求解.

二、化成y=Asin（ωx+φ）的形式

1.y=asinωx+bcosωx+c型

評注：此類題目看起來較為復雜，難以厘清思路，巧妙變形轉化后，再結合三角函數有界性進行求解，問題則迎刃而解.需要說明的是：若函數是條件函數，則常需利用三角函數的圖像來解題.

2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型

先降次，再整理，然后化為上述類型，最后求y=Asin2x+Bcos2x的最值，含有sinx，cosx的二次式為該類顯著特征.

例3已知函數（fx）=2cos2x+sin2x+m（m∈R）.

評注：題目看起來較為復雜，但厘清思路后發現，此題的關鍵：把問題化歸為f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式.常見為：f（x）max=|A|+k，f（x）min=-|A|+k，但如果已附加x的取值范圍，通過圖像來解決為最佳辦法.

特點是一個分式，分子、分母分別有正、余弦的一次式.不難發現，幾乎所有的分式型都可以通過分子、分母的化簡，最后整理成這個形式，它的處理方式有多種，多半化歸為y′=Asinx+Bcosx型解或用數形結合法（常用直線斜率的幾何意義）.

三、y=asin2x+bsinx+c型

使用換元法，化成二次函數，設t=sinx，則y=at2+bt+c，再求其在t∈［-1，1］上的最值.

例5 求函數y=-2cos2x+2sinx+3的值域.

解析：原式化為y=-2（1-sin2x）+2sinx+3=2sin2x+t∈［-1，1］.由二次函數圖像（此略）可知，當；當t=1時，ymax=5.

四、y=sinx+ 型

圖1

五、y=asinxcosx+b（sinx±cosx）+c型

例7 求函數y=4sinxcosx+3（sinx+cosx）+3的最值

評注：sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα相互制約與關聯.知其一，則能夠求出其二，令t=sinx-cosx換元后，則可使用配方法、函數的單調性、重要不等式等法去求函數的最值.

總結規律，摸索經驗.在解決三角函數的最值相關問題時，常會出現一些忽視題設條件、概念模糊、方法不當等問題，導致求解困難.基于此，在解決相關問題時，要注意三角函數的變形方向、正（余）弦的有界性、靈活選擇方法、多多練習，確保考慮周全，準確無誤，答題精準.W