以錯誤為載體，培養學生的數學思維

☉江蘇省海門市證大中學 張志華

在考試或練習的時候，學生總會出現各種各樣的錯誤.就數學教學而言，這些錯誤也是一種非常好的教育資源，對發展學生的思維品質大有幫助.

一、厘清邏輯，關注思維準確性的培養

例1已知函數f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=-1時存在極值為零，請確定m和n的取值.

學生在處理本題時，出現以下錯誤解法：

因為f′（x）=3x2+6mx+n，結合題意可得

就上述問題的處理來講，需要學生靈活進行化歸和轉化，而且在求解最后的結果時，學生還要結合題設條件，能夠對問題進行巧妙地變形.就函數的極值問題，學生還必須意識到針對函數f（x），“f′（x0）存在且等于0”是“函數f（x）在x=x0時取極值”的必要不充分條件.換言之，學生必須在邏輯層面區分條件的必要性和充分性，若邏輯混亂，則必然導致思路模糊，最終的處理必然會出現偏差.因此，在進行問題分析和解決時，學生采用某些知識和方法來處理問題時，厘清邏輯關系是第一要務，它是思維準確性的基本前提.

二、設置問題，關注思維嚴密性的培養

例2 已知集合A={x|ax2+x+1=0，x∈R，a∈R}有且只有一個元素，求實數a的值.

學生在分析這個問題時，給出了以下錯誤解法：

因為ax2+x+1=0只有一個實數根，

上述問題出現在學生對集合概念的認識過程中，是嚴格意義上的高中數學入門課，我們在這一課上尤其要關注學生思維的培養.學生也沒有讓老師“失望”，絕大多數學生出現了上述意料之中的錯誤.因為學生對一元二次方程太過熟悉，思維定式產生了很強的負面影響——看到帶有二次項的方程式就想到了根的判別式和求根公式.當學生將錯誤暴露出來之后，筆者認為，我們學生的軟肋不在于對集合概念的把握，而在于思維上沒有準確把握方程.為了幫助學生提出針對性的引導，筆者對問題進行了更進一步地設計，將問題轉化為“既然方程ax2+x+1=0只有一個實數根”，再明確提出問題：“這個方程屬于什么方程？”這個問題就非常明顯了，很快有學生給出了不同的意見，不少學生指出：“方程的二次項系數為a，這個參數的取值要進行討論，若a=0，則方程為一元一次方程，x的值等于-1，也是一個實數根；若a≠0，則屬于一元二次方程，可以按照原先的做法來解答.”

三、一題多變，關注思維深刻性的培養

例3 現有△APB是一個直角三角形，其中∠P=90°，∠A=60°，AP=1，現在從頂點P引出一條射線l，與AB邊的交點為D，求AD長度小于1的概率.

學生在處理本題時，出現以下錯誤的解答：

如果AD邊恰好等于1時，那么D點恰好為AB的中點，

對于學生所暴露出的錯誤，筆者在教學中沒有當即給出評價，而是引導學生再嘗試分析一道變式：“現有△APB是一個直角三角形，其中∠P=90°，∠A=60°，AP=1，現在AB邊上任意取一點D，求AD長度小于1的概率.”面對這個變式問題，學生的處理方式和原先例題的處理完全一致，為此筆者提醒學生概率的關鍵還是在于試驗.經過提醒，學生意識到，原題的試驗是“現在從頂點P引出一條射線l，與AB邊的交點為D”，l在這個角度中所出現位置的可能性都是均等的，因此最終應該用角度之比來確定概率大??；后來變式問題的試驗是“現在AB邊上任意取一點D”，這里D點在線段上所出現的位置都是等可能的，因此可以用線段長度之比來確定概率的大小.

面對學生所出現的錯誤，筆者靈活設計變式問題，為學生提供了兩個極其相似的問題情境，由此讓學生展開比較和分析，這兩個問題也就只有幾個文字的差別，但是其本質卻出現了很大的差異，可以說是“一語驚醒夢中人”.很多時候也是這樣，當問題孤立出現時，學生很難產生深度思考和比較的意識，但是一旦問題以對比的形式展示在學生的面前時，學生將自發地溯本求源，探求事物的本質，進而對幾何概型形成更加深入的認識和理解，這樣他們也將對其他相同類型的問題產生深層次的思考.為此，我們在教學實踐中，可以采用一題多變，并且培養學生對數學對象本質屬性的探究能力，有助于學生思維深刻性的發展.

四、一題多解，關注思維批判性的培養

生1：結合基本不等式的有關理論，由于a＞0，b＞0，所以有0，由①可得最小值為8.

大部分學生都采用了生1的解答方法，第二種方法也不能說毫無道理，兩種貌似都合情合理的解題方法卻得出了兩個截然不同的答案，這是怎么回事呢？面對學生答案中出現的矛盾，筆者沒有給出直接的評價，而是鼓勵學生再變換角度，是否還能提出一些其他的處理方法.

生3：我采用三角換元來進行處理，由于a＞0，b＞0，所以可以假設a=sin2x，b=cos2x，則

隨后，又有學生從柯西不等式、構造法等多種角度著手，最終確認了答案應該為9，他們自然也就發現了原本方法是錯誤的，那錯在哪里呢？這時，筆者就引導學生刨根究底，指導學生進行深度地發掘和探索，他們經過比較發現，幾乎所有的解題方法（除了柯西不等式之外），都用到了基本不等式，所不同的是第一種方法使用了兩次，而最終最值成立的根本條件在于兩次基本不等式的等號都要成立，這樣學生也就明確了為什么之前發生錯誤，因為兩個等號不能同時成立.

客觀來講，上述第一種做法是學生普遍會犯的錯誤，而且雖然教師屢次強調，但是學生還是會在類似的地方犯下類似的錯誤，這其實也反映著學生在批判性思維方面的缺失，教學過程中，我們創造條件，讓學生通過一題多解的方式來對自己的思路進行剖析，這樣的教學有助于學生提升對問題的認識，有助于學生進行更加深刻地反思.

五、轉換思維，關注思維靈活性的培養

生1：本函數是兩數乘積的形式，應該可以從基本不等式的角度展開分析.由于0＜x＜，所以這個數都是正數，因此有（但是問題來了，不等式的右邊并不等于常數，怎么確定最值呢？學生的處理陷入僵局）

生2：可以將f（x）的二次項拆解一下，拆成兩個一次項的乘積形式，這樣可以使得不等式右側化為一個常數，即f（x）=x·x·（1-3x）≤

生3：不等式的右側距離等式還有一點點距離，可以繼續這樣處理：

在高中數學教學中，學生面對困難無法突破的原因在于缺乏切入點，因此教師要鼓勵學生展開討論，并在討論中獲得啟發并促成思維的轉換.在上述討論的過程中，學生僅僅完成拆項操作之后卻沒有將問題解決，但是另外的同學又通過自己的思考將思路向前推進了一步，但是問題還是沒有解決，因為要去等號，需要三項都相等，所以在更進一步地思考中，學生發現可以將二次項拆成兩個相等項的乘積x， 由此可以發現最終是在時，有最大值為

犯錯并不可怕，但是要將錯誤轉化為學生思維發展的土壤，這就需要教師細致入微地分析和研究，需要教師在教學中隨機應變地創造，更需要教師教學智慧的發揮.