類比思想在知識學習中的實踐與思考
——以等比數列學習為例

☉江蘇省南京市雨花臺中學 劉 恒

在學完等差數列后，等比數列的教與學來得就比較自然流暢，既可輕松獲得等比數列知識，又可鞏固反思數列概念及等差數列知識的教與學.教材已給出我們研究有規律的數列的方法，自然地，我們只要循規蹈矩，輔以對函數方法及數列特殊性的深刻認識，相信無論是對于教，還是對于學都是有益的.堅信能夠輕易實現教學目標，突破教學難點.但教學中可能并不如此.

設計等比數列概念的教學理念應該是：在教學中貫穿明暗兩線，相信教與學會來得自然一些.事實上，由于對數列的知識性、系統性認識的匱乏，會造成對教與學的牽強.具體地：①等比數列的引入與概念（文字語言描述）；②等比數列的遞推公式（數學語言描述）；③等比數列的通項公式（推導）；④等比數列通項公式的應用；⑤等比數列的性質的探究.實際上，在層層相扣的各個環節中，由于對知識的深刻性認識不夠，造成了教與學的勉強.因此，類比等差數列學習的過程，進而獲得等比數列的概念、性質，成為學習的一條合理途徑.

一、簡述

本節課為“數列”第三節教學內容，是在學習了數列概念、等差數列概念及性質的基礎上，學習另一種特殊數列——等比數列，進一步加強和學習對數列問題研究的思路和方法，完善學生數列的認識結構，解決一些相關實際問題.教學重點是等比數列定義的掌握及通項公式的推導；教學難點是等比數列通項公式的推導.以學生主動學習為準則，計算機輔助教學為手段；重在學生的自主探究學習，輔以教師的啟發式教學，徹底貫徹“教學活動的主體是學生，活動的組織者為教師”的原則.

二、設計

對于數列的教材地位、教學目標、教學難點、方法采用、教學流程，教學實施過程中大同小異，均能較好地體現，但教學中由定義到遞推公式、由遞推公式得通項公式的環節轉換，顯得不自然.以下反思教與學中對等比數列概念教學的不足，提一些建議.（情境和小結部分刪減）

環節（一） 引入新數列

引例 最近全球禽流感蔓延，我國部分地區也出現了疫情，其中最危險的是高致病的H5N1型.假設現在試驗室里有1個H5N1型病菌，它進行分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，…，這個病菌分裂n次后，得到的細胞個數是：____.我們將每次分裂得到的病菌個數記錄下來，就得到一列數：1，2，22，23，…，2n，….

評價：這里的引入略為簡單，但基本可行.從折紙游戲（紙的對折）的厚度、面積、邊長、次數等的變化構成的多個數列，從而引入等比數列.

問題1：這列數構成數列嗎？是.

評價：復習、鞏固數列的概念.實踐中，多名教師未能突出函數關系.

問題2：這個數列的項有什么特征？

學生思考：學生會得到多種特征.（多名教師與學生思維錯位）

評價：得到等比項及項與項的關系等.由于問得含糊，現場混亂，應對照數列表示法及等差數列的學習經驗加以引導.

環節（二） 等比數列定義

問題3：這是一個具體的等比數列，同學們能否給出一般的定義？

實施：學生積極地投入到討論中，然后齊聲回答：等比數列概念.

評價：類比等差數列，獲取等比數列的知識，強調從第二項起.齊聲回答了，但是朗讀.若能深刻理解數列第二表示法及等差概念，不難得到，課堂時有尷尬、勉強.

問題4：上述我們研究了等比數列的定義，接著我們應該研究什么了？（學生表現差強人意）

實施：教師邊設問邊啟發，學生小聲討論，抬頭看黑板，最后笑了.板書：遞推關系.

評價：師生互動，熟悉研究數列的流程，既鞏固舊知，又獲取新知.由于對等差數列研究流程認識的缺乏，學生茫然.至此對數學規律及數列知識本身研究什么的理解顯得尤為重要.

問題5：數學語言怎樣表述？如何用數學語言詮釋、描述任意前后兩項的關系呢？

評價：學生自主探究發現問題、解決問題.領悟an≠0，q≠0，學生能模仿等差數列的做法.教師未能從數的本質入手強調：an≠0，q≠0.

問題6：如何判定一個數列是不是等比數列？

實施：啟發學生回到數列的定義.

評價：一種數學的方法，定義既是判定，又是性質.還需強調“從第二項起”認為無所謂，事實并非如此.

練習：已知{an}是等比數列，c≠0，求證：{c·an}是等比數列.

實施：學生先做，教師巡視，請學生回答，教師板書并加以補充說明.

評價：展現嚴謹的邏輯推理過程，培養強化學生的嚴密思維能力.c≠0強調不夠，這里可能師生共同完成的話.還需強調“第二項起”，才能起到強化作用.

環節（三） 通項公式的推導

問題7：已知等比數列{an}的首項為a1，公比為q（a1≠0，q≠0），求{an}的通項公式.

實施：等差數列的通項公式是如何推導的？

續問：那等比數列呢？學生思考后：累差疊加→累商疊乘.

評價：類比等差數列公式推導，得到等比數列公式的推導方法，培養觀察猜想能力.

問題8：得到an=a1·qn-1有何不妥之處？

實施：這里n≥2，n∈N*不完整，應該對n=1進行驗證.

評價：驗證是要點，也是今后學習的易錯點.由于多人對等比概念的理解不深入，只是生硬地進行了對n=1的驗證教學，甚至有人忘了.“從第二項起”重要了吧.在今后的學習中，更要掌握疊加、疊乘均為“從第二項起”，須驗證n=1時的情形.

環節（四） 例題選講和訓練

（1）已知等比數列{an}，請完成下表.

基本量題號 a 1 q n a n①-3 -3 2②5 2 8 0③1.2 4 7 6.8④■ 6 4 2 2■

評價：題組訓練是為了熟悉“知三求一”，至此數學已有知識的應用得心應手，才能夠完成教學任務，達成教學目標.可學得怎樣呢？仍感性多于理性.

（2）等比數列{an}中，a3=18，a4=54.

①求公比q及a1；

②求a5，a6，a10.

評價：基本方法：等比定義、方程（組）思想，問題設計欠缺，公比時正時負，顯然對積的本質認識更為深刻.

變式：等比數列{an}中，a3=18，a5=54，求a2.

評價：歸納總結，任意兩項、三項、四項之間的關系.作為第二課繼續學習的內容，學生勉強會，仍由于對等差數列研究的價值取向不明，因此存在學生概念模糊.

三、反思

在等比數列概念的教學實踐中，我們都能夠給出一個較生動的實例引入，設法由學生自述等比數列的定義，嘗試由學生發現等比數列通項公式的推導方法，試圖讓學生探究等比數列的性質等.教學實施過程中也嘗試了多種教學方法，啟發引導、聯想類比、思維遷移等.

但由于沒有掌握數列知識的本質特征，從而教學現場時時冷場.譬如，由于沒有掌握數列第二表示法——遞推公式表示法，從而描述混亂；由于沒有掌握等比數列的定義（第二項起）而留下隱患；由于沒有區分差與積，等比知識停留在等差認識的層次等.

教與學的得與失：本節課在數列概念的基礎上，若按部就班，則把等差數列與等比數列這兩類重要數列的有關概念和性質進行類比對照，不僅可鞏固等差數列的概念和性質，而且較自然地得出了等比數列的定義，以及類似的性質，又非常清楚地揭示了等比數列的本質.整個教學過程遵循“教學、研究、發現”同步協調的原則，滲透“猜想——證明”的數學問題研究的思想和方法，恰當地引用生活中的實例，從激發學生的學習興趣，進行數學教學中的合情推理、恰當類比、邏輯推理和歸納總結，能較圓滿地完成“等比數列”第一課時的教學任務，實現教學的目標.

一些不足：在生活實例引入時，學生對新數列的特征歸納發散性太廣，在這里應該作適當的提問來加以引導；在教學過程中學生參與的積極性很高也很投入，不時地崩出智慧的思想火花，但由于對數列知識特殊性的認識不夠，概念不明，導致答非所問，學無長處.

教是一件難事，把一個知識點傳授，需要我們教師付出艱辛的勞動，把一個知識體系建立起來更需要教師與學生共同的努力.教師首先掌握知識，通過教，學生得以順利掌握知識、領悟數學知識的應用，學生的學就顯得那么自然.H