淺談中心極限定理的性質極其應用

沈逸飛

摘要：中心極限定理在現代概率論中已經起到了非常重要的作用，本文對三種常見的中心極限定理進行了簡要的介紹，并通過實際問題的舉例對定理的應用進行了論述。

關鍵詞：概率；中心極限定理；應用

1.概率論與中心極限定理

對于概率論這一理論而言，其最早是由兩個著名的數學家費馬以及帕斯卡所提出的。近些年來，伴隨著越來越多的數學家的不斷研究，這一理論已經變成了數學理論中的一個獨立的分支了。不同于其他學科，概率和統計學科所得到的結果不是必然的，這門學科主要是對隨機現象所具有的規律進行一個解釋。由于現實生活里面大量的事物均是持續變化發展的，對于事物所產生的結果，我們并沒有辦法進行完全的掌控，因此對于概率統計而言，其條件和結果兩者間也不是存在著必然的聯系的，一般情況下，對于一個概率命題而言，其有可能出現A結果，同樣也有能出現B結果。對于我們而言，不但要針對于概率命題進行一個精準的計算，并且還應該擁有分析實際問題的能力。在概率論里面有一個重要的定理就是中心極限定理，針對于數理統計以及誤差分析理論而言，中心極限定理是其基礎。目前這一理論具有很廣泛的應用前景，特別是對于經濟學而言，這一理論的運用在企業進行相關決策時有著很重要的作用。

2.三種中心極限定理的簡述

2.1林德貝格-勒維中心極限定理

定理1：這里現在假設 為一個獨立同分布的隨機變量序

列的集合，同時 并且記：

那么對于實數y，則：

這一定理是由兩個著名的數學家勒維以及林德貝格分別于1920年所提出來的，這一定理其告知我們針對于獨立同分布的隨機變量序列而言，它的共同部分既能夠為連續分布的，同樣也能夠為離散分布的，能夠為正態分布的，同樣也能夠為非正態分布的，只要是這個序列的共同分布存在著方差，同時這個方差的數值不是0，那么就能夠對這個定理進行使用。

這個定理也可以這樣理解：即當n的數值充分大的時候，能夠通過標準正態分布對和有關事件的概率大小進行計算，但是在n的數值相對較小的時候，便不能夠確保這種近似程度了。因此在

的時候，那么就有

2.2李雅普諾夫中心極限定理

定理2：這里現在假設 是一個獨立隨機變量序列的集合，同時 記 符合

那么獨立隨機變量的總和 的標準化變

量 的分布函數 ，針對于任意的數值x，

符合 。

對于該定理而言，其是由著名的數學家李雅普諾夫于上個世紀提出來的，其表示：當處于一個理想的條件下的時候，隨機變量

在n的數值非常大的時候，能夠近似的服從標準正態分布，通過這一點能夠看出，在n的數值非常大的時候，

會近似的服從正態分布 即對于每一個隨機變量而言，不管其服從于哪一個分布，只要能夠符合這個

定理，則總和 在n的數值非常大的時候，就會近似的服從于一個正太分布，正好解釋了為什么對于正態隨機變量而言，其在概率論里面會占有一個特別重要的地位。

2.3棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理

定理3：這里現在假設n重伯努利試驗里面，A事件在每一次試驗里面發生的概率大小是p，記 是n次試驗里面A事件發生的

次數，那么記 那么對于一個任意的實數y，則有

。

其實這個定理是林德貝格-勒維中心極限定理的一種特殊情況，同時也為時間最早的中心極限定理。在18世紀的三十年代，著名的數學家棣莫弗對p=1/2對上面的定理進行了證明，到了后來，數學家拉普拉斯又將這個定理推廣至p為一個任意的不超過1的正數上去了。

3.中心極限定理在實際問題中的應用舉例

3.1在器件價格預算問題中的應用

例1：對于某一種器件而言，其使用年限是服從指數分布的，并且使用年限的平均值大小是20h，在使用的過程中如果一個器件出現了損壞，那么就會換上一個新的，一直這樣下去，現在我們知道一個器件的成本是a元?，F在需要我們求年計劃里面應該針對于這種期間作一個多少的預算，才會有95%的概率夠一年進行使用，這里我們假設一年中有兩千個小時在進行使用。

這里假設第k個器件的使用年限是 ，因為 是服從于參數是 的指數分布，同時

這里現在假設在一年的時間里面最少要準備n個器件才可以存在95%的概率夠用，記 通過2.2節的定理能夠得出

也就是

因此 。通過查表得出：

因此，在年計劃里面要針對于這種器件作118元的預算才有95%的概率夠一年的時間進行使用。

3.2在設置座位數量問題中的應用

例2：某一所學校有900個學生對高等數學進行了選修，一共有6名老師講課，現在假設每一個學生都是隨機的對老師進行選擇，同時學生和學生間進行老師的選擇時也是相互獨立的。那么求針對于每一個高等數學老師而言，教師里面要設置多少個座位才可以確保由于作為不夠而導致學生離開的概率值會不超過1%。

解：僅僅需要對某一個老師甲的教室進行考慮，這里假設教室要設置M個座位，下面對隨機變量進行定義：

按照題意 同時 是互相獨立同分布的，對老師甲進行選擇的學生總人數是 為了能夠使得學生不會因為座位不夠而離開教室，一定要確保M≥X，所以要

使得M符合 注意到

通過2.1節定理能夠得出：

通過查表最后得出： ，

所以這里取M為177。

4.總結

本文通過中心極限定理對設置座位數量問題以及器件價格預算問題進行了求解，從而了解到該定理在現實中的應用非常的廣泛，所以熟練的掌握這一定理對解決概率問題具有很大的幫助。

參考文獻

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