2019年全國Ⅰ卷理科第16題的多解及推廣

張文鱧 楊詩棋 劉成龍

摘?要：本文給出了2019年全國Ⅰ卷理科第16題的多種解法及推廣.

關鍵詞：多解;推廣;高考

基金項目：四川省“西部卓越中學數學教師協同培養計劃”項目（項目編號：ZY16001）.

作者簡介：張文鱧（1995-），男，四川廣元人，本科在讀，研究方向：數學教育;

楊詩棋（1997-），女，四川成都人，本科在讀，研究方向：數學教育.

通訊作者：劉成龍（1985-），男，四川南充人，碩士，講師，研究方向：中高考研究.

1?試題再現

試題?（2019年全國Ⅰ卷理科數學第16題）已知雙曲線C∶x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若F1A=AB，F1B·F2B=0，則C的離心率為.

2?試題解析

解法1?如圖1，易知F1B⊥F2B，OA是ΔF1F2B的中位線，所以AO//BF2.

所以∠F1OA=∠OF2B，OA⊥BF1.

又因為∠F1OA=∠BOF2，所以∠OF2B=∠BOF2.

在Rt△F1BF2中，OB=OF2，則∠OBF2=∠OF2B.

于是∠OBF2=∠OF2B=∠BOF2.

所以△OBF2為等邊三角形.

故tan∠BOF2=ba=3.

所以e=c2a2=1+b2a2=2.

解法2?如圖1，設∠AOy=∠BOy=α，由OA//F2B可得∠AOB=∠OBF2=2α.

作BH⊥x軸于點H，則∠OBH=∠BOy=α.

所以∠HBF2=∠OBF2-∠OBH=α.

故∠OBH=∠HBF2.則△OHB≌△F2BH.

所以BF2=OB.

又因為OF2=OB，所以△OBF2為等邊三角形.下同解法1.

解法3?設F1（-c，0），F2（c，0）.易知∠F1BF2=90°，

所以OB=12F1F2=c.

設Bm，n，則m2+n2=c2.

又因為點B在y=bax上，所以bam=n.

所以Ba，b.

又因為A為F1B的中點，則A（a-c2，b2）.

所以kOA=ba-c.

又因為OA⊥AB，所以kOA·kAB=-1.

即-ba·ba+c=-1.

所以b2=a2+ac，即c2=2a2+ac.

于是e2=2+e，得e=2.

解法4?由解法3知kOA=ba-c.

又因為kOA=-ba，所以ba-c=-ba.

所以e=ca=2.

解法5?易得kOA=kBF2=-ba.

則F2B的方程為y1=-ba（x-c）.

又因為直線OB方程為y=bax，

聯立y1=-bax-c，y2=bax，?解得B（c2，bc2a）.

所以kBF1=bc2a-0c2--c=b3a.

又因為b3a·（-ba）=-1，所以b2a2=3.

所以e=ca=2.

解法6?由kBF1·kBF2=-1，lOA：y=-bax易得lBF1：y=ab（x+c）.

聯立y=-bax，y=ab（x+c），解得A（-a2c，abc）?.

因為A是F1B的中點，故B（c-2a2c，2abc）.

又點B在lOB：y=bax上，所以b（c-2a2c）a=2abc.

化簡得4a2=c2，故e=c2a2=2.

解法7?易得OB=OF2=OF1，所以ΔF1OB為等腰三角形.

設∠OF1B=∠F1BO=α?，∠AOF1=β，則∠F2OB=2α.

易知tan2α=ba?，即tan2α=2tanα1-tan2α=ba.

又因為α+β=π2，所以tanα=1tanβ.

又因為tanβ=ba，所以tanα=1tanβ=ab?.

于是2×ab1-ab2=ba?，化簡得3a2=b2.

所以e=ca=2.

3??試題推廣

推廣1?已知雙曲線C∶x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若F1A=λAB其中（λ>12），F1B·F2B=0，則C的離心率為?2λ?.

證明?設F1-c，0，F2c，0，由已知可得∠F1BF2=90°，所以OB=12F1F2=c.

因為點B?在右漸近線y=bax?上，故而設B（x1，bx1a），則x12+bx1a2=c2.

又因為c2=a2+b2?，即Ba，b.

又因為F1A=λAB，所以由定比分點公式x1+λx21+λ，y1+λy21+λ可得A-c+λa1+λ，λb1+λ.

所以kOA=λb1+λ-c+λa1+λ=λbλa-c.

又因為kOA=-ba，所以λbλa-c=-ba.

化簡得c=2λa.所以e=ca=2λ.

推廣2?已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若F1A=AB，F1B·F2B=m（a2+b2）（其中m>-34），則C的離心率為?e=2?m+1.

證明?由題意知BF1·BF2=mc2.因為O為中點，所以BF1·BF2=BF1+BF222-BF1-BF222=BO2-OF22=BO2-c2=mc2.

所以BO2=（m+1）c2.

設B（x1，bax1）x1>0?，則x12+（bax1）2=（m+1）c2.?解得x1=am+1.

所以B（am+1，bm+1），A（am+1-c2，bm+12）.

則kOA=bm+12am+1-c2=bm+1am+1-c=-ba?.

化簡可得2am+1=c，即e=2?m+1.

推廣3?已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若F1A=λAB其中（λ>12），F1B·F2B=m（a2+b2）（其中m>-34），則C的離心率為2λm+1.

證明?由推廣2知，B（am+1，bm+1）.

又因為F1A=λAB，所以由定比分點公式得A-c+λam+11+λ，λbm+11+λ.

所以kOA=λbm+11+λ-c+λam+11+λ=λbm+1λam+1-c=-ba.化簡得，c=2aλm+1?.

所以e=2λm+1.

（收稿日期：2019-07-29）