高中函數教學中化歸思想的應用探究

江蘇省海門實驗學校 周英亮

化歸思想的全稱是轉化和歸納，指的是將一個問題由繁化簡、由難化易，屬于一種解題方法與思想策略，主要應用在數學領域。在高中數學函數教學中應用化歸思想，主要特點就是將問題變得熟悉化、簡單化與程序化，引導學生使用固有的知識和經驗來解決復雜問題，使其找到解決函數問題的科學方法與過程，培養他們的合作意識、探究能力和解題能力。

一、合理應用數形轉化，函數問題直觀形象

數學由代數與幾何兩大部分構成，代數對應的是數字，幾何對應的是圖形，高中數學同樣如此，這為化歸思想的應用提供了良好契機。教師需合理應用數形轉化，這是一種相當關鍵的化歸思想，也是函數教學中比較常見的一種解題方法。在高中數學函數問題中，不少數量關系的概念雖然較為抽象，但是富有一定的幾何意義，教師可巧妙借助數和形間的轉化，將數形整合起來，使函數問題變得形象化和直觀化，讓學生快速找到解決問題的突破口。

上述案例，學生根據題目中函數“有兩個零點”這一條件進行數形轉化，利用數形結合把“數”的問題轉化成“形”的問題，函數問題變得直觀化，使其運用解析幾何知識來解決。

二、一般到特殊轉化，達到化難為易的目的

一般到特殊轉化屬于劃歸思想的主要體現形式之一，在高中數學教學中應用得十分廣泛。針對高中數學函數教學而言，當遇到的函數問題很難通過一般方法來解決時，教師可指導學生采用特殊方法來求解，通常可以有效、快速地解決問題，最終實現化繁為簡、化難為易的目的。高中數學教師在函數教學中，應引導學生采用一般向特殊轉化的化歸思想，把煩瑣復雜的問題化歸為淺顯簡單的問題，使其在分析和探究簡單問題中找到解決方法。

例如，已知函數f（x）（x∈R且x＞0）對于定義域內的任意實數x，y，均滿足f（xy）=f（x）+f（y），且當x＞ 1 時f（x）＞ 0，證明：方程f（x）=0有且僅有一個實根。解析：這是典型的抽象函數問題，采用化歸思想可以將一般問題做特殊化處理。解答：在定義域內任取0＜x1＜x2，則根據題意得知f（y）=f（x），那么函數f（x）在定義域內是增函數；令x=y=1，則f（1）=2f（1），f（1）=0。所以1是方程f（x）=0的一個實根，假如還存在一個x0，且x0＞0，使得f（x0）=0，由于函數f（x）在定義域內是增函數，必有x0=1，所以方程f（x）=0有且只有一個實根。

如此，在處理這類抽象函數問題時，運用一般向特殊轉化的化歸思想，可以輔助學生更好地判斷和分析，使其受到啟發，確定解題思路，讓他們思考與總結解法，真正實現化難為易。

三、巧妙引入正反轉化，拓展學生解題思路

高中生在學習函數知識過程中，針對部分函數問題的解決，假如按照正常思維從正面分析和解答，解題過程顯得極為煩瑣，通常讓學生感到十分棘手，極易出現計算錯誤，影響他們的解題自信。高中數學教師在具體的函數教學中，可以引領學生從反面對問題進行分析與處理，巧妙引入正反轉化的化歸思想，使學生的思維變得豁然開朗，拓展他們的解題思路，使其獲得更多的解題啟示與途徑，將函數問題變得簡化，提升自身的解題速度與正確率。

針對上述案例，教師在指導學生解答該類函數問題時，要敢于突破傳統思維與模式的限制，實現由正面向反面的自然轉化，使其拓展自身的解題思路，并有效降低問題難度。

總之，在高中函數教學活動中，教師需要緊密結合函數知識的特點與規律實施教學，靈活運用化歸思想來解題，包括數形轉化、一般向特殊轉化、正反轉化等方法，幫助學生找到高效的解題技巧，改善他們的數學思維品質和解題水平。