基于問題鏈的數學深度學習活動設計*

☉浙江師范大學教師教育學院 蔣安娜

☉浙江師范大學教師教育學院 唐恒鈞

知識經濟時代背景下，學習者的終身學習能力、自主學習能力和知識創新能力都要以深度學習為基礎［1］，深度學習也成為培養學生核心素養的重要途徑.在我國，指向具體學科的深度學習研究逐漸引起人們的關注，但還處于起步階段［2］.其中，指向數學學科的深度學習研究正成為中學數學教育中最熱門的話題之一［3］.深度學習能促進數學高階思維發展，與問題鏈教學使思維“淺入深出”理念相契合.在數學深度學習特征的指導下，以問題鏈教學為載體設計學習活動，以期實現深度學習目標.

一、基于問題鏈的數學深度學習設計理念

1.數學深度學習的特征

數學深度學習強調把握數學本質，要求建立在完整而深刻地理解和處理數學知識的基礎之上，在學習過程中充分參與和積極建構，并能在復雜情境中有效遷移與運用，進而發展數學高階思維.數學深度學習也因此具有批判理解、信息整合、知識建構、遷移運用、情境交互、終身主動等特征.

具體地，批判理解特征表現在：數學發現的邏輯之精髓就在于批判的方法，即對原來不嚴格的論證或思想實驗進行批判、論證［4］.

信息整合指學習個體需要整合來自各學科領域乃至社會領域的信息，在復雜情境中進行取舍，精準提煉出數學問題，抽象出數學對象，從而構建數學模型以解決問題.

此外，學習個體進行多元知識建構時，不僅強調原有認知結構同化外部信息，還需通過外部信息順應和改組原有的認知結構，從而建構起新的數學知識網絡.

同時，數學深度學習要求學習個體在復雜情境中抓住關鍵，進而能在新情境中遷移運用新知，從而避免非本質屬性泛化的錯誤.遷移運用與情景交互兩大特征相輔相成.

最后，對學習的由衷熱愛是深度學習的活力源泉，主動學習是熱愛的外部表征.這意味著數學深度學習要求學習個體的學習熱情、韌性意志力等方面也達到一定的深度.

2.基于問題鏈的數學深度學習活動

“問題鏈”是指在課堂上呈現給學生的、有序的主干問題串［5］.基于問題鏈的數學深度學習是以問題鏈教學作為深度學習的促進策略，是一種具體化的數學深度學習活動形式.目的是通過問題鏈的設計滲透數學深度學習特征，進而營造數學深度學習課堂.

根據對數學深度學習內涵的認識，借鑒Jensen和Nickelsen的深度學習路線［6］、皮連生的知識分類學習論及教育目標分類理論［7］，綜合國外研究者對深度學習框架的構想，納入問題鏈教學的思想理念，構建了基于問題鏈的數學深度學習一般活動環節（如圖1）.

圖1 基于問題鏈的數學深度學習活動環節

該模型中的各個環節共同構成了一個完整的數學深度學習過程.前三個環節為預備階段.“學習單元選擇與設計”是指教師需要根據學情、教學目標等對一個整體的數學單元進行設計，以便于深刻而全面地把握知識塊之間的聯系.“預評估”及“營造積極的數學文化”是為了深入了解學情，創造活潑而生活化的數學情境，讓學生在文化熏陶下追隨數學先賢的思維脈絡探索知識生成.“激活原有知識”和“接受新知識”環節為導入階段.該階段為一般學習活動過程中都具備的環節，能為深度學習活動的開展提供知識基礎.深度加工階段則分為兩支線、一創造、七環節進行：陳述性知識通過“復述與精加工”使得“知識結構重組建構”，以便“提取知識進行應用”；程序性知識通過“不同情境下的變式訓練”使得“知識轉化為技能”以便“遷移運用”.兩種類型知識的最終“創造”體現信息加工的深度.最后為評價階段.事實上，評價貫穿整個深度學習活動環節，而遷移運用、信息整合、批判理解、知識建構等特征在四個階段，尤其是深度加工階段循環交錯，貫穿整個活動過程.

問題鏈設計則強調嚴密貼合數學深度學習各個環節.在預備階段，問題鏈的設計應在單元目標、學情等指導下，梳理知識脈絡以確立教學聯結點，明確具體課型和學習目標設計主干問題鏈.在導入階段和深度加工階段，問題鏈的設計則要充分考慮學生的最近發展區，于細微之處編排富有層次的問題，為學生搭建合理的階梯.最后，在問題鏈實施后，在評價階段，教師需要及時反饋把控學習結果.

二、基于問題鏈的數學深度學習案例設計

根據基于問題鏈的數學深度學習過程模型，結合浙教版八年級上冊第二章第三節“等腰三角形的性質定理”的學習目標，設計相應的教學實踐方案，來說明如何在問題鏈設計、實施、評價中促進學生數學深度學習目標的達成.

1.預備階段：確立教學聯結點

圖2 等腰三角形的性質定理的教學聯結點

數學深度學習要求把握數學本質，因此在“學習單元選擇與設計”環節中，以數學單元核心知識群作為深度學習的切入點和載體.本節“等腰三角形的性質定理”是學生學習了全等三角形、定義與命題、軸對稱等相關知識后所安排的內容，為特殊三角形章節的重要部分.此時學生具備進一步綜合探究、證明等腰三角形性質的理論基礎，同時具備了初步的自主探究能力和邏輯推理能力.因此本節課摒棄“給出定理—分析、證明定理—應用定理”的教學方法，而是以折紙活動作為主線，讓學生在動手操作中“發現猜想—解析結構—證明定理—應用定理”；以探究環節順序設主干問題鏈，并在各個環節串聯軸對稱、命題、全等三角形等知識，從而助力學生的自主探究.以上為本節課的教學聯結點（如圖2）.

2.導入階段和深度加工階段：建構主干問題鏈

在教學聯結點的基礎之上，為使所設計的問題富有層次而又貼合學生認知水平，設計了如下“等腰三角形的性質定理”的主干問題鏈.

問題1：（導入——情景設疑） 新農村建設中，樓房都有房梁，并且房梁保持水平狀態.你們知道木匠師傅是用什么方法確定房梁是否保持水平嗎？下面這個方法可不可行：如圖3，房梁上放一把等腰直角三角尺，在頂點A處掛一條鉛錘線，使得線經過三角尺斜邊的中點O？你能用等腰三角形相關知識回答嗎？

圖3

問題2：（導入——實驗與猜想）如何利用手上的一張長方形紙片得到一個等腰三角形紙片？從折疊方法中你能發現等腰三角形有何特點？把剪出的等腰三角形沿折痕對折，你還能發現等腰三角形存在哪些等量關系？觀察這些結論，你能發現什么？請做進一步梳理.

以上兩個問題鏈針對導入階段設置.導入階段為知識的初步感知.問題源于情境，情境是產生問題的沃土.問題1創設生活情境引發學生思考，而當學生意識到已有等腰三角形概念知識無法解答該問題時，自然激起求知欲.問題2借助折紙活動引導學生通過觀察等腰三角形對折重合，直觀得出軸對稱這一特點，并繼續從軸對稱的角度出發，發現并總結邊、角的等量關系.層層推進的問題鏈設計幫助學生在情境交互中感受等腰三角形性質結論的猜想與歸納，發展數學抽象、合情推理的思維能力，體現數學深度學習情景交互的特征.

問題3：（深度加工——解析結構）利用實驗操作的方法，我們發現并概括出等腰三角形的特征，對于結論1：等腰三角形的兩底角相等，若要證明其為真命題，請寫出該命題的題設和結論是什么.結論2的題設和結論又是什么？

問題3引導學生對“定義與命題”相關知識進行遷移運用，明晰針對等腰三角形歸納的命題的題設與結論.這一步是合情推理到演繹推理結合的關鍵一步，也是學生對新知的認知結構組建的一個重要步驟，即突出數學深度學習知識建構的特征.

問題4：（深度加工——分析論證）數缺形時少直觀，請根據畫出的圖形，用符號語言翻譯命題的內容，并寫出已知和求證.證明角和角相等有哪些方法？通過折疊等腰三角形紙片，你認為用什么方法證明該等腰三角形兩個底角相等？證明中作輔助線的方法有幾種？請采取任意一種方法進行證明.

幾何命題的證明對八年級的學生來說比較抽象，難度過大，為了突破難點，設計的三個子問題層層推進，充分利用折紙活動，調動學生思考，容易聯想到利用全等三角形來證明兩底角相等，以及折痕所在即為輔助線所在，讓學生逐步實現由實驗幾何到論證幾何的過渡，環環相扣，并穿插進行符號語言、圖形語言、文字語言的轉換.另外，在探討命題多樣證法時，可培養學生數學思維的靈活性、廣闊性和深刻性，促進高階思維發展.

問題5：（深度加工——學以致用）（1）等腰三角形一個底角為75°，它的另外兩個角為__________.

（2）等腰三角形一個角為70°，它的另外兩個角為____________.

（3）等腰三角形的周長為13，腰長為5，它的另外兩條邊長為_________.

（4）現在你能否解決該問題：房梁上放一把三角尺（等腰直角三角形），在頂點A處掛一條鉛垂線，使線經過三角尺斜邊的中點O，這根房梁是否保持水平呢？為什么？

問題5中前三個問題是等腰三角形性質①在數學問題中的應用（包括逆用），變式間的辨析促進學生對知識的批判理解.第四個問題則是性質②于生活實際問題中的應用.一方面，全面的應用能發揮數學的實用功能和文化功能；另一方面，在全面的應用中，學生的認知結構將不斷地修改完善，從而進一步促進知識建構.

問題6：（深度加工——回顧小結）回顧今天的學習，你認為數學對象性質的探究過程包含哪幾個環節？等腰三角形性質的證明方法又是如何想到的？

問題6的小結重視對數學對象性質探究的基本過程及方法的回顧，這將為今后的學習提供思維導向路線.

3.評價階段的問題鏈反思與評價

評價階段是學習活動結果的總結階段，其目的是對學習活動及結果等進行多元化的評價，總結經驗、反思缺陷并根據反饋進行改進.在本節的問題鏈中，由于分支問題設置得較為詳細，因此不免存在“教師主導過度”的問題，例如，問題4為了降低學生證明命題的難度，將翻譯命題、尋找證明方法等步驟逐一進行提示.實際教學中則需要教師提出“如何證明該命題”的問題指向，然后適當“留白”，放手讓學生獨立思考解答，接著根據學生反饋進行有針對性的、詳略得當的思路引導，而不是“牽著”學生解題.課后，教師需要根據教學實踐中學生的反應，對該課的問題鏈設計作進一步修改與調整，同時為今后相似類型的問題鏈設計提供依據.另外，對于學生而言，沒有反饋則無法有效建構復雜的認知結構.因此，需要學生在課后站在更宏觀的角度思索、總結課堂中所研究的問題脈絡，從而達到對本節知識及數學思想方法更為深刻的理解與建構.

三、若干反思

毫無疑問，深度學習理論對教與學提出了更高的要求，在保留我國傳統課堂學習模式的前提下，不僅需要從宏觀層面上架構可操作性的深度學習活動環節，凸顯具有數學學科本質特征的“深度”；更需要對教學的目標、內容、操作程序、實現條件、評價等要素在微觀層面上作相應的調整，思考如何在學習者、教學者雙主體的角色轉換間抓住并落實“深度”，體現數學深度學習六大特征.

1.情景互動，提升學生的參與感

問題源于情境，情境是產生問題的沃土，因此數學深度學習提倡打破傳統封閉課堂，創設有價值的、開放的數學情境，促進學習個體萌發問題意識.例如，導入階段為知識的感知，設置情境性問題對新知學習進行鋪墊.案例中房梁水平檢測問題引發學生疑問，在問題5中呼應出現，旨在通過復雜、豐富、多變的情景訓練和應用技能，促進學習個體將所學應用到真實項目與實際問題中，實現對新知識的深度理解與內化.另一方面，數學深度學習強調學習個體在情境中的互動交流，以期發展有效溝通、團隊合作的能力.案例以折紙活動貫穿始終，給學生提供數學發現的工具，又提升學生的參與感.

2.由淺入深，促進知識建構

根據“教學聯結點”梳理的知識脈絡設計問題鏈分支時，往往注重把握學生認知的前概念，立足于學生的認知起點以實現問題設置的梯度性原則，進而促進學生有意義地進行知識建構.例如，深度加工階段為了知識的領會、鞏固和應用，需要利用辨析性問題、應用性問題對知識信息進行挖掘.問題4證明的難度較大，則根據課堂實際，有選擇地將問題鏈從證明條件、證明方法等逐次剖析，為學生搭建腳手架.在這一過程中，學生記憶網絡中的知識被激活，并向外擴展，依次激活相應的知識，從而促進其知識建構.

3.關注評價，實現終身主動

深度學習評價更強調評價的自主性、真實性、過程性和反饋性［8］.學習者在學習過程中能夠進行自我監控、自我評價，這意味著學習個體的學習熱情、意志力等方面也達到一定的深度.因此，教師可提供自我評價表、學習總結表、概念圖等具體的評價方式鼓勵學習者對自身的學習活動及結果進行反思總結，及時發現不足之處，進一步提升自身的思維發展和知識精加工.值得注意的是，中學生對自我的認知存在一定偏差，需要結合教師所觀察到的學生外顯的課堂行為進行綜合評價，從而助力學生形成良好的學習習慣和適合自己的學習策略，為終身主動的學習奠定基礎.

總之，深度學習已引起人們的廣泛關注，但在數學學科中的研究還比較少.本文以數學深度學習的特征為指導，以問題鏈為抓手開展數學課堂教學的設計，試圖為數學深度學習的實施提供一些借鑒.當然，這方面的研究還有待更多的理論與實踐探索.