基本事實與公理*

☉內江師范學院數學與信息科學學院 趙思林

☉內江師范學院數學與信息科學學院 黃成世

一、基本事實、公理化思想與公理的含義

1.基本事實的含義

辭海對“基本”的解釋是：根本，根本的；對“事實”的解釋是：事情的真實情況.由此推之，基本事實是指基本的事實，或者說是指根本的事實.顯然，基本事實具有可感知性、真實性、基礎性等特點.基本事實的可感知性是指借助于人的眼、耳、手等感覺器官可以感知這個基本事實；基本事實的真實性表示可以驗證或證明；基本事實的基礎性是指能反映數學某個子系統最基本的規律或特點.數學基本事實是數學研究中獲得的相對獨立的程式化的思考模式［1］.把數學基本事實直接看成“思考模式”未必會被學界普遍接受.研究者認為，數學基本事實是指能反映數學某個子系統最基本的規律或特點的事實，數學基本事實需得到數學界的普遍認可.

2.公理化思想方法的含義

公理化思想方法（又稱公理化方法）最早出現在歐幾里得的《幾何原本》.歐幾里得選取了幾個不加定義的原始概念（或稱基本概念）和一組不需證明的幾何命題作為公理（或公設），使它們成為全部歐幾里得幾何的出發點和邏輯推理的前提，然后應用亞里士多德提出的三段論推理，推演出一系列幾何定理，從而把關于幾何的知識整理為一個（比較）嚴謹的幾何學理論體系，這就形成了《幾何原本》.公理系統中的基本概念和公理（或公設），必須反映該學科中基本對象最簡單、最本質的內部關系，它并非是人們憑自己的主觀意志或愿望而隨意創造的.在歷史上，公理化思想方法的發展經過了4個時期：一是歐幾里得的直觀性公理化時期；二是非歐幾何的思辨性公理化時期；三是希爾伯特的形式主義公理化時期；四是法國的布爾巴基的結構主義公理化時期［2］.中學幾何包括平面幾何和立體幾何，屬于直觀性公理化時期的歐幾里得幾何.中學幾何知識可以借助于人的眼、耳、手等感覺器官去感知并輔助學習，可以動手做幾何模型，但非歐幾何更多的是靠思辨、想象、推理等方式去學習或理解.

3.公理的含義

很顯然，公理（或公設）是《幾何原本》最具有原創性的核心概念，也是公理化思想方法精髓的基本概念.辭海對“公理”的解釋是：“在一個系統中已為反復的實踐所證實而被認為不需要證明的真理.”這里所說的真理是相對真理而非絕對真理.這個解釋適合于歐幾里得幾何，但對非歐幾何中的一些公理未必適合，例如，非歐幾何中的平行公理就沒法被“反復的實踐所證實”.公理一般需要數學中的一些基本概念來表達，而數學基本概念是理性思維的產物，因此，公理也是理性思維的產物.從嚴格意義上講，公理一般不能證明，它是不證自明的，它可以作為數學證明中的論據.但考慮到中學生的認知水平，為了降低教學的難度，節省教學時間，在中學教材里把一些重要的但其證明的難度較大的定理也作為公理，即中學幾何的公理體系是擴大了的公理體系，也就是說，中學幾何的公理體系中的一些公理實質上是定理，這些定理是可以證明的，但其證明的難度較大或較為麻煩.在中學，把一些難以證明的定理當作公理，體現了“教育數學”理念，從教學實踐來看是可行的、成功的.

二、基本事實是公理嗎？公理是基本事實嗎？

基本事實和公理是兩個不同概念，它們既有聯系又有區別.在《義務教育數學課程標準（2011年版）》［3］（以下簡稱《課標2011版》）的第31、32、33、37頁提出了要求學生掌握的關于“圖形與幾何”的基本事實共9個，如“基本事實：兩點之間線段最短”.［3］這9個基本事實在課改之前都叫作公理.《普通高中數學課程標準（2017年版）》［4］（以下簡稱《課標2017版》）也把課改之前的公理全改為基本事實.有意思的是，《課標2017版》在第28頁的腳注中指出“基本事實1-4也稱公理”，《課標2017版》顯然把“基本事實”和“公理”當成了同一個概念.既然“基本事實”和“公理”是同一概念，那么就沒有必要用4個字的“基本事實”去替換僅有2個字的“公理”.

1.幾何中的“點”是基本事實嗎？

幾何圖形一般可以看成“點”的集合.“點”是幾何中最基本的概念，“點”是基本事實嗎？著名數學家龐加萊說：“許多人都認為空間中的點的概念是人們熟知的，沒有必要給出什么定義.但是在我看來，像數學中的點那樣沒有長短、大小、厚薄之分的微妙概念，并不是世人想象的那樣直觀明了，而是需要作完整說明的東西.然而，我們并不打算在這里給‘點’下個定義，因為如果把定義按順序追序上去，就會到達不能給出定義的地步，到了那時就不得不停下定義了.那么，我們應該在什么時候停下來呢？大體是到達我們的感官能感覺到的程度，或者到達我們能夠產生影像的地步時就停止.到這時，定義就失去了作用.”［5］龐加萊對“點”這個概念，想下一個定義但最終沒有給出定義，想把它說清楚但他又感到說不清楚.他認為，“點”是個微妙概念，意味著口欲言而不能；“點”不是世人想象的那樣直觀明了，“不直觀”意味著不能被看見或者難以被看見，進一步講，“點”是不能或難以被感知的.事實上，不能給“點”下一個定義，這是因為“點”作為原始（基本）概念是沒有定義的.大家知道，幾何中的基本概念如“點”“直線”“平面”等是沒有任何物質屬性的.由于“點”沒有大小，“直線”沒有粗細，“平面”沒有厚薄，因此“點”“直線”“平面”這些基本的幾何研究對象，用人的眼睛是看不見的，用手也是摸不到的.再有，“直線”“平面”都具有無限延伸或無限延展的特點，人用有限的眼光（人眼的視力總是有限的）是不可能看到無限遠的，這也決定了“直線”和“平面”是永遠看不到盡頭的，這是因為它們本身就沒有盡頭.“點”“直線”“平面”等這些基本的幾何研究對象，都不會發出任何聲音，用人的耳朵去聽是聽不出任何聲音的.因此，幾何中的“點”“直線”“平面”等基本概念靠眼、耳、手等感覺器官是無法感知或難以感知的.即“點”“直線”“平面”等幾何研究對象都不是基本事實.由此從嚴密邏輯性的角度講，“兩點之間線段最短”不是人們能夠感知到的基本事實，而是人類在感性認識的基礎上理性思維的結果.

可能有人會說，“點”“直線”“平面”我們可以畫出來.但應注意的是，“點”沒有大小、“直線”沒有粗細、“平面”沒有厚薄，“直線”和“平面”還具有無限性的特點，它們能真實地畫出來嗎？回答是否定的.我們能夠畫出來的只是“點”“直線”“平面”的示意圖而非其本身.

2.基本事實是公理嗎？

基本事實未必是公理.由于公理是描述基本概念之間內在基本關系的真命題，因此，刻畫“點”“直線”“平面”等幾何對象的關系的一些公理被直接認定為真命題.

在人們的實踐和生活中，有很多基本事實都不能作為數學中的公理，比如，“熟了的梨子是甜的”，這顯然是一個基本事實，但它永遠不能作為一條數學公理.非數學的其他科學中的基本事實也不能直接作為數學中的公理，如“硫酸具有腐蝕性”是化學中的基本事實，但此性質永遠都不能作為數學中的公理.這是因為數學不會直接研究梨子、硫酸等，也不能用數學的方法去證明梨子是甜的、硫酸具有腐蝕性.

3.公理是基本事實嗎？

張楚廷教授認為，“歐幾里得的《幾何原本》所體現的公理化思想，不是來自于任何自然現象，而是來自于古希臘圣哲們的邏輯思想，并非來自于自然和社會.而邏輯思想來自人的思想本身，來自人的心靈”.“是人締造了數學”.［6］既然歐幾里得幾何不是直接來自于任何自然現象，也不是直接來自于人類生活，那么歐幾里得幾何中的基本概念和公理（公設）也不是直接來自于任何自然現象和人類生活.也就是說，歐幾里得幾何中的基本概念和公理（公設）不是自然現象和人類生活中的基本事實.因此，歐幾里得幾何中的公理（公設）未必都是基本事實.

當然，有的基本事實可以看成公理，有的公理可以看成基本事實.以《課標2011版》的第31頁的“基本事實：兩點之間線段最短”［3］為例，人們普遍能夠接受“兩點之間線段最短”這個結論，因此，把“兩點之間線段最短”看成基本事實或者看成公理，都不會有異議.但也有一些基本事實不能看成公理，也有一些公理不能看成基本事實.以《課標2011版》的第32頁的“基本事實：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”［2］為例，這實質上是歐幾里得的《幾何原本》中的平行公理（又叫第五公設）.在數學發展的歷史中，很多數學家認為這不是一條獨立的公理，總是想盡辦法試圖去證明它，但均以失敗告終.羅巴切夫斯基、鮑耶、高斯、黎曼等數學家研究了失敗的原因，對“《幾何原本》中的平行公理可以證明”開始是質疑（懷疑），接著他們認為《幾何原本》中的平行公理不能證明，于是就創造性地提出了非歐幾何中的平行公理，由此就創立了非歐幾何.因此，數學中的一些公理一般不能看成人們的實踐和生活中的基本事實.

三、幾點思考

1.公理化思想方法具有較高的教育價值

在數學學科中，某一個分支成熟的標志是該分支建構了（比較）嚴格的公理系統.運用公理化思想方法建立起來的系統的知識體系稱為公理系統.一門科學在其發展的初期和中期，必然會積累大量經驗數據和不少理論知識，也就是當人們對一門科學認知了一定數量的概念（原理）、規律、法則（準則）和算法等之后，就可以運用公理化方法對該門科學進行系統的、嚴密的邏輯整理，使該門科學能夠構成一個（比較）嚴格的公理系統，這時就可以說該門科學嚴密化了、成熟了.

在科學史上，牛頓是運用公理化方法的天才，他在《自然哲學的數學原理》一書中，第一次系統地運用公理化方法演繹了經典力學的理論體系，成為科學史上第一個把公理化方法運用于物理學的典范.

對“公理”的處理，《課標2011版》及配套教材的做法是淡化“公理”的概念，甚至在《課標2011版》根本就看不到“公理”二字.這種做法的本意是想降低初中學生學習平面幾何的難度，其初心是好的，但這樣做的本質是淡化公理化思想方法，進一步講，淡化“公理”概念的必然結果是淡化演繹推理及數學證明的邏輯起點.淡化“公理”的概念和淡化公理化思想方法，容易形成“輕發現”“輕科學”“輕理性”“輕理論”等不良局面，正如張楚廷先生的憂慮：“在我們的文化傳統里，重發明，輕發現；重技術，輕科學；重感性，輕理性；重實用，輕理論.”［7］

2.基本事實與公理是兩個容易混淆的概念

有的基本事實可以看成公理，有的公理可以看成基本事實.比如，“兩點之間線段最短”，既可以看成數學中的基本事實，也是一條公理.

由于“基本事實”與“公理”屬于交叉概念，因此這兩個概念是容易混淆的.

3.基本事實與公理的認知邏輯不相同

基本事實是需要驗證或證明的.基本事實的認知邏輯主要是人們用眼、耳、手等去感知事物的本質屬性，其感知的結果能夠得到主流學術界的認可.在實踐、生活、非數學的學科中，有很多基本事實不能作為數學中的公理.數學中的很多基本事實也不能作為公理.

公理一般是無需驗證的.一個嚴謹的公理體系中的公理一般是不能證明的.公理是描述概念或概念之間關系的真命題.公理是建立在數學基本概念之上的.公理（或公理體系）的認知邏輯是，通過對現實世界中事物的本質、結構、關系、規律和信息等的抽象概括而得到數學基本概念，接著通過對基本概念之間的內在關系的探索與發現得到公理，最后運用邏輯規則優選出一些基本概念和一些公理就構成公理體系.由此可以歸結出建構公理體系的一般模式，即“客觀事物→基本事實→基本概念→公理→公理體系”.從而可以看到，基本概念是連接客觀事物和公理的橋梁，公理是連接數學基本概念和公理體系的橋梁，數學教學的核心任務在于幫助學生認識并建立這兩座橋梁.這個一般模式，體現了發現數學的理念與方法.如果把建構公理體系的一般模式再往前延伸，就能得到完整的數學認知模式，即“客觀事物→基本事實→基本概念→公理→公理體系→定理（公式）→應用（用數學）”.

4.建議把中學數學教材中的基本事實全部改為公理

把數學教材中的“基本事實”改為“公理”有幾大好處：一是“公理”能準確地體現公理化思想方法，而“基本事實”不一定能體現公理化思想方法；二是學生通過對“公理”的學習，可以了解公理化思想方法；三是學生通過對“公理”的學習，可以認識數學理性思維的意義和價值；四是在中學滲透公理化思想，對學生學習高等數學有益；五是中學數學教師都對“公理”很熟悉，在教學時不會產生知識理解上的偏差；六是“公理”比“基本事實”既簡單、又“節約”、還準確，“公理”比“基本事實”少寫、少讀兩個字，其表達和書寫都更簡潔.研究者認為，數學課程標準和中學教材都刻意回避“公理”的概念，是不夠嚴謹、不夠穩妥的，并且對培養學生的理性思維是不利的.基于此，我們建議把數學課程標準和數學教材中的基本事實全部改為公理.