關注數學實驗，優化學生的數學學習

☉江蘇省南京外國語學校 劉 輝

實驗不僅僅是物理、化學、生物等學科的根基，它與數學學科的發展也有著密不可分的關系，大數學家高斯曾經說過，他的很多數學發現是從實驗中歸納出來的，證明只是一項補充工作.類似地，當我們指導初中生學習數學時，也要關注數學實驗的價值，恰當利用實驗，能夠為學生的數學學習帶來優化作用，對學生的核心素養發展也有著非常顯著的意義.

一、數學實驗能夠啟迪學生的思維

數學最大的難度在于其抽象性，這也是初中生數學學習過程中的主要障礙，為此，數學教師在指導學生建構數學認識時，都會千方百計地利用某種直觀化的手段創設情境，為學生的抽象思維提供更加現實而可靠的載體，數學實驗就是可行的方法.通過實驗，教師可以讓學生積極而有效地形成直觀認識，并深度把握問題的本質，此外，還能在實驗過程中把握數學原理的變形和發展，形成綜合性的理解.

比如，有關三角形的內心、重心、外心等概念，這是一組非常抽象的概念，很多版本的教材對此也沒有進行證明，如果只是讓學生在作圖中體會這些概念，則存在一定的難度，因為作圖時稍微存在偏差就可能導致問題解決的失敗.筆者在教學過程中，讓學生采用折紙實驗的方法進行探索和體會，取得了較好的效果.在上課之前，筆者先安排每一名學生自備一個三角形形狀的紙片，在課堂實驗中要求學生探索∠BAC的平分線，學生在思考中展開研究.如何構建角的平分線？如果讓學生作圖，他們可以用量角器或圓規等工具來操作，但是在實驗中，學生的方法更加靈活：過A點進行折疊，讓AB邊恰好落在AC邊所處的直線上，得到折痕AD.學生按照類似的方法找到了三角形的另外兩條角平分線CF和BE，他們能夠非常清楚地把握到：這三條折痕最后相交于同一個點.在此基礎上，筆者引導學生總結概念：內心.筆者又啟發學生在實驗操作中構建外心和重心，他們都顯得格外活躍，甚至有學生提出：能否構建三角形三條邊上的高，尋找交點的特點？這樣學生又形成了“垂心”的概念.

圖1

折紙是初中幾何最常見的實驗方法，它在三角形內角和定理、全等三角形的性質、勾股定理等數學知識的探索中有著相當廣泛的應用.這些數學知識其實都可以通過嚴謹的數學證明得到有關結論，但是結合實驗操作，學生將更加直接地發現有關理論，然后進行數學證明，學生的思路更容易打開，探索的效率也更高.

筆者認為，將實驗操作引入初中數學課堂，可以讓課堂的組織形式更加活潑而多樣，學生的思維也將更加活躍，他們也更容易得到富有創新性的認識和見解.波利亞就曾經表示，數學學科有著兩個側面，其一是歐幾里得式的嚴謹科學，從這一角度講，數學研究更像是一門系統化的邏輯演繹過程；另一方面，數學的創造性過程也讓數學好像一門實驗科學.從這一點上來講，在數學教學中積極而有效地開展數學實驗，是非常有效的.

二、數學實驗能夠激起學生的學習興趣

對學生而言，純粹的理論演繹是相當枯燥而乏味的，動態化的實驗能夠給課堂添上一抹亮麗的色彩，成為激活整個課堂的重要因子.在數學實驗的過程中，學生將全方位地參與操作，他們將不再是單一的旁觀者，他們將成為數學知識探索的參與者.而且學生在實驗過程中，也將被一些奇妙的數學現象所打動，從而產生強烈的好奇心與探索欲，他們也將以更加飽滿的熱情參與到探索之中，學習興趣將得到前所未有的激活，這一切又將反作用于課堂，學生的探索興趣和思維成果會在課堂上進行發酵，讓學生產生更加深刻而有效的理解與認識.

比如，在有關“頻率”的概念探索過程中，教師可以設計學生實驗——“拋圖釘”，讓學生將圖釘一次次地豎直向上拋出，然后記錄并統計圖釘“針尖向上”的頻率，最終隨著拋出次數的增加，學生發現相關數據在0.65附近擺動.實驗現象往往能夠給學生提供最可靠的信息，但是學生的質疑也由此而產生：（1）為什么“釘尖朝上”的頻率是0.65呢？盡管初中數學無法給學生一個確定而可靠的答案，但是播下了懸疑的種子，這也將成為學生后續研究和學習的動力；（2）為什么頻率可以充當概率的估計值呢？這一問題將激起學生探索概率論的欲望；（3）還激起了部分學生進一步增大實驗次數的好奇，這種好奇也將演變為學生進一步探索數學的激情.

再比如，有關“角”的認識，學生在小學階段也有所認識，在初中引導學生重構這一概念時，教師可以采用數學實驗的方式創設情境，學生將倍感新鮮，他們也將更加投入地參與到學習中.為了讓學生更加有效地結合實驗來探索，筆者設計了以下實驗：安排學生自己制作一個鐘面學具，讓學生在操作中感受兩根針重合與垂直的場景，實驗很簡單，但是將角度的變化和調整都展示了出來，學生將對相關概念產生更加生動而形象的認識.更加重要的是，原本枯燥而乏味的知識經過這樣的處理變得更加鮮活而生動，學生容易產生新鮮感，也更容易產生學習的興趣.

三、數學實驗有助于學習難點的攻克

在初中數學的學習過程中，學生必然會遇到大量的學習疑難點，教師有責任多方位地設計教學，引導學生克服這些疑難點.很多時候，教師設計實驗，讓學生結合實驗展開探索，能夠有效調動學生的積極性，而且實驗可以展示更加形象而直觀的場景，這些有助于學生思路的拓展，并有助于學生問題的解決.

比如，有這樣一個問題：某正方形紙片的邊長等于20厘米，現在如圖2（a）所示將其對折兩次，在折角的位置剪下一個等腰三角形，這個等腰三角形的腰等于4厘米，請求解這個正方形紙片剩下面積的大小.部分學生在處理這個問題時陷入了困境，筆者經分析發現，學生出現問題的原因主要在于抽象思維不夠成熟，無法在頭腦中構建相對真實的場景，為此教師鼓勵學生自主進行實驗操作，用紙根據題目所提出的要求進行折疊，最終得出了如圖2（b）所示的形狀，學生在觀察和比較中，很快就得出了問題的解決思路.

再比如，有關“質量分數”的應用題，學生為什么在這一塊問題的處理過程中顯得頗為頭疼？原因就在于學生缺乏相應的生活體驗，因此很難產生深刻的理解.為此，教師在教學過程中，就可以讓學生自己參與溶液的配置和調和，讓他們體會濃度概念的真正含義.教師為學生準備燒杯、量筒、兩份0.05kg的蔗糖，引導學生先將一份蔗糖溶解在水中，引導學生計算溶液的質量分數，然后讓學生將另外一份蔗糖加在溶液中，再一次讓學生計算溶液的質量分數，同時讓學生通過品嘗來體會不同質量分數對溶液的意義，這樣的操作在不知不覺中就讓學生克服了認知上的難點，提升了學生的學習效率.

綜上所述，在初中數學教學中，數學實驗應該是教師值得嘗試的一種教學手段，它在學生的思維啟迪、興趣激發和難點突破等方面有著非常顯著的效果，而且實驗還包含著大量的探究思想，學生在實驗中能夠更加深入地感受到知識的本質，他們的探究經驗也將由此而得到豐富.為了做到這一點，數學教師要立足于教學內容的基本特點，研究學生的學習方法和習慣，設計精彩的實驗來優化數學教學.

圖2