活動啟思維，證法顯本質
——“三角形內角和定理證明”教學感悟

☉江蘇省宿遷市實驗學校 王曉明

教學活動的根本任務不僅是向學生傳授知識，更重要的是培養學生的多種能力.然而在應試教育的大背景下，追求考試分數是所有教師不能回避的客觀現實，這往往會導致教學過程中“涸澤而漁”.數學課堂突出表現為輕數學定義和定理的探究和發現過程、重結論的應用，導致數學教學啟發學生思維、提升學生能力這一作用的缺失.本文以“三角形內角和定理證明”為例，談談“滿足應試需求與培養數學能力”和諧統一的做法與思考.

一、基本情況分析

“三角形的內角和”是三角形的重要內容，是許多有關角度計算問題的重要依據，蘇科版教材將它編寫在七年級下冊.安排了如下內容：第7章的“章頭圖”，用做一做，引導學生通過做（操作、實驗等）嘗試解決問題，激發學生探索三角形內角和的熱情；“7.5多邊形的內角和與外角和”中通過旋轉三角形的一邊，來探索三角形內角和為180°并對定理做基本應用；第12章“12.2證明”中，通過將三個內角剪拼成平角得到啟示，添加平行線實現移角，來完成定理的證明.

教學目標：探索驗證三角形三個內角之間的關系.經歷觀察、操作、猜想、歸納、驗證、交流等活動過程，發展空間觀念和有條理的表達能力.

教學難點：將三角形的三個內角“搬”到一起.

二、教學過程與分析

活動1：拼圖

活動：把圖1所示的△ABC的3個內角撕開，然后把它們的頂點A、B、C重合在同一點B處，∠A、∠C可以拼到∠B兩側，也可拼到∠B的同側，分別如圖2、圖3所示，但拼得的最終都是如圖4所示的圖形.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

思考：（1）拼圖的本質是什么？是將三角形的三個內角移到它所在平面內的任意一點處組成一個平角.（2）觀察拼成的新角的兩邊，發現在同一條直線上，于是猜想任意三角形的內角和都等于180°.

驗證：觀察圖2，發現新角的兩邊在一條直線上，得到啟示：過△ABC的頂點B作AC的平行線得到圖5；觀察圖3，得到啟示：將AB延長、過△ABC的頂點B作AC的平行線得到圖6；觀察圖4，△ABC的三個內角放在它所在平面的任意一點處，拼成一個新角，這個新角的兩邊在一條直線上，啟示我們，可以在△ABC所在平面內任意一點分別作三角形三邊的平行線，得到圖7；圖5、6、7均是通過作平行線，實現將三角形的三個內角平移到它所在平面內的同一個點處得到平角.

證法1：如圖5，過點B作AC的平行線EF.由平行線的性質，得到∠CBF=∠C，∠ABE=∠A.因為∠CBF+∠ABC+∠ABE=∠EBF=180°，所以∠A+∠ABC+∠C=180°.

證法2：如圖6，延長AB至點E，過點B作BF平行于AC.由平行線的性質，得到∠CBF=∠C，∠FBE=∠A.因為∠ABC+∠CBF+∠FBE=∠ABE=180°，所以∠A+∠ABC+∠C=180°.

證法3：如圖7，過△ABC外任意一點O，分別作三邊的平行線DE、FG、HK.由平行線的性質，得到∠A=∠KOE，∠B=∠FOD，∠C=∠FOK.由于∠FOD+∠FOK+∠KOE=∠DOE=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°.

設計意圖：數學本質是數學的基本概念、公理（定理）、法則（公式），是解決問題的基本策略、思路、方法，是數學問題中蘊含的抽象、推理、模型等基本思想.以上正是基于數學本質，用好教材提供的素材，抓住新知識和舊知識的矛盾沖突點，抓住思考問題的關鍵點，在教學數學知識的同時發展了學生的能力.

圖7

活動2：拼圖

活動：把一張長方形紙片按圖8所示對折兩次得到圖9；在圖9中畫一個不等邊三角形并剪下，得到圖10中4張形狀、大小相同的三角形紙片.（蘇科版教材七年級下冊第7章的“章頭圖”）

圖8

圖9

圖12

圖10

圖11

思考：你能用這4張小三角形紙片拼成一個大三角形嗎？（能拼成一個大三角形）觀察拼成的大三角形的三邊，每條邊上都有一個新拼成的平角，由于這4張小三角形紙片完全一樣，因此每條邊上的平角的三個角相當于由一個三角形的三個內角組成.這一操作也讓我們猜想到任意三角形的內角和都等于180°.

驗證：觀察圖12得到啟示，可以過△ABC三邊上任意一點作另外兩邊的平行線，實現將三角形的三個內角同時移到三角形的邊上某一點處構成平角.

證法4：如圖12，過△ABC的邊AB上任意一點O，分別作DE平行于BC，GH平行于AC.由平行線的性質，因為AC∥GH，所以∠A=∠HOB，∠DOH=∠ADO；因為DE∥BC，所以∠B=∠DOA，∠C=∠ADO，所以∠DOH=∠C.因為∠DOA+∠DOH+∠HOB=∠AOB=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°.

設計意圖：教學的基本原則：讓學生深度思考，讓學生在思考中收獲對知識本質的理解，讓學生在思考過程中收獲對方法策略的領悟.以上兩個操作活動正是基于此原則，使學生經歷在活動中探索、驗證三角形內角和定理的過程，積累數學活動經驗，發展有條理的思考與表達能力.

活動3：旋轉

活動：如圖13，在△ABC的邊AC所在的直線繞點A按逆時針方向旋轉的過程中，直線AC與邊BC的延長線分別交于點C1、C2、C3……

圖13

圖14

問題：（1）在上述過程中，△ABC哪些角的大小發生了變化？（2）度量∠BAC與∠ACB、∠BAC1與∠AC1B、∠BAC2與∠AC2B、∠BAC3與∠AC3B，并求它們的和，你發現了什么？（3）當直線AC繞點A旋轉到AC′，使AC′∥BC時，度量∠BAC′的度數，你發現了什么？結論：邊AC所在的直線繞點A按逆時針方向旋轉的過程中，∠BAC逐漸變大，∠ACB逐漸變小.通過度量計算，4組角度的和相等.當AC′∥BC時，度量∠BAC′的度數，發現與前4組角度的和相等.

思考：我們知道兩直線平行同旁內角互補即和為180°.當AC′∥BC時，∠B+∠BAC′=180°.在△ABC中，如果∠BAC+∠ACB=∠BAC′，則∠B+∠BAC+∠ACB=180°，通過旋轉變換，我們直觀猜想到任意三角形的內角和都等于180°.

驗證：由圖13得到啟示.

證法5：過△ABC的頂點A作AC′∥BC，如圖14，由平行線的性質，得∠CAC′=∠C，∠B+∠BAC′=180°，則∠B+∠BAC+∠CAC′=∠B+∠BAC+∠C=180°.

設計意圖：通過運動變化的觀點，來探究證明過程，這使得合情推理、演繹推理及圖形運動有機結合.活動1、2通過作平行線實現角的平移，構造平角180°模型；活動3通過旋轉變換，啟示過三角形任一頂點作對邊的平行線，構造兩直線平行同旁內角互補的幾何模型.

三、關于幾何定理證明教學的反思

1.注重新知識和舊知識的聯系

幾何命題的證明我們通常采用分析法和綜合法.分析法從“和等于180°”來思考，學生的已有知識結構中有“平角及平行狀態下的同旁內角和是180°”，因此確定證明三角形內角和定理的兩條基本思路：一是如何將三角形的三個內角放在一起組成一個平角，二是如何將三角形的三個內角放在兩直線平行同旁內角互補的背景下.綜合法結合操作活動的實物圖，抽象出添輔助線的方法，然后利用平行線的性質實現：將三個內角放在一起組成一個平角、三個內角放在兩直線平行同旁內角互補的背景下，從而證明三角形的內角和是180°.

教師通過引導學生復習與三角形內角和相關的舊知識、回憶學生在小學借助測量法和拼圖法知道三角形的內角和為180°；教師通過放手讓學生經歷剪、拼過程，得到直觀圖形，再次感知三角形的內角和為180°；由于直觀判斷不可靠，靠直觀無法做出準確的判斷，因此提出新的學習任務，怎樣通過理論證明任意三角形“三個內角的和等于180°”.注重知識銜接，注重知識間的相互關系，教學知識自然生長.

2.注重問題解決的過程

數學定理的結論固然重要，但如何得到結論更重要.數學教材為了便于知識的傳授，往 往略去數學發現的過程.對定理的知識掌握是顯性知識起作用，對概念的得到、理解和應用則是隱性知識起作用.三角形內角和定理的證明，是學生接觸到的第一個真正意義上的定理證明.為了培養學生的數學思維能力，提高學生的自主學習能力，教師教學中一個重要的任務就是要依據課堂教學的思維過程而精心設計，還原數學思維的過程.教師著重分析證明思路，將證明思路的探索過程盡可能暴露在學生面前，學生經歷了試驗、歸納、猜想等發現思考的探索過程，從而逐步掌握分析問題、解決問題的方法.

3.注重數學能力的培養

學生學完數學知識后能夠做什么，這是我們數學教師思考關注的重要內容.教學中，不僅要學生理解和掌握定理，重要的是讓學生領悟隱含于數學問題探索中的數學思想方法，使學生從中掌握關于數學思想方法方面的知識，獲得和應用策略性知識，使之學會高效學習.教學中從多角度探索，問題解決是經過學生思考理解后完成的，學生是學會的，而不是教會的.這使得學生在學會知識的同時更發展了能力.

數學是思維的體操，實踐操作活動是培養學生思維的重要手段；探索多種解法是鍛煉學生思維的最佳途徑.在活動操作中，抓住問題的本質和規律，給學生留有思考和探索的余地，通過追根究底，讓學生不僅“知其然”更“知其所以然”；在定理證明中，抓住問題的關鍵點，給學生留有思考的時間和空間，通過探索多種證明方法，讓學生在解決問題中，不僅學到了知識更發展了解題能力.正如數學家波利亞所說：教師講了什么并非不重要，但更重要千萬倍的是學生想了些什么，學生的思路應該在學生自己的頭腦中產生，教師的作用在于“系統地給學生發現事物的機會”.F