理解教材：在整體中思考每節(jié)課*

☉江蘇省泰州市海陵學(xué)校 韓新正

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識(shí)結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源.［1］章建躍博士說，“從一堂數(shù)學(xué)課”的角度看，我認(rèn)為還是“三個(gè)理解”，即：理解教材、理解學(xué)生、理解教學(xué).所以，正確理解教材是上好一節(jié)課的前提.關(guān)于理解教材，有人說就是在課標(biāo)的指導(dǎo)下，認(rèn)真閱讀教材，并對(duì)教材進(jìn)行適當(dāng)改造，以方便學(xué)生接受，就是常說的“用教材教”.顯然，在他們看來，“用教材教”就是要改造教材，他們把“教教材”和“用教材教”截然對(duì)立起來.其實(shí)，教材凝聚著編寫者的心血和智慧，他們中許多人也是課程標(biāo)準(zhǔn)的編寫者，他們對(duì)課標(biāo)的理解要比普通的教師深刻得多.“教教材”本沒有錯(cuò)，關(guān)鍵是要正確理解教材，那么如何準(zhǔn)確理解教材呢？筆者認(rèn)為“把每個(gè)章節(jié)、每節(jié)課放在整體中思考”的做法有助于大家準(zhǔn)確地理解教材.下面結(jié)合《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》相關(guān)內(nèi)容予以說明，供參考.

一、站在數(shù)學(xué)本真的高度理解教材

案例1：《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》蘇科版七年級(jí)上冊(cè)第1章“數(shù)學(xué)與我們同行”，共設(shè)計(jì)了兩課時(shí)，分別是：“1.1生活 數(shù)學(xué)”介紹了身份證號(hào)碼、奧運(yùn)五環(huán)旗、北京奧運(yùn)會(huì)徽等，“1.2活動(dòng) 思考”安排了折紙剪紙、用火柴棒搭三角形、觀察月歷等三個(gè)活動(dòng).顯然，本章沒有具體的知識(shí)點(diǎn)，教師在教學(xué)時(shí)一般把教材的內(nèi)容梳理一遍，補(bǔ)充適當(dāng)?shù)睦?，?duì)相關(guān)內(nèi)容做適當(dāng)?shù)耐卣咕屯瓿闪说谝徽碌慕虒W(xué).然后從第二章開始按照有理數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)等順序安排教學(xué)內(nèi)容.

教材分析：許多老師產(chǎn)生了這樣的疑問，第一章安排的目的是什么？如何認(rèn)識(shí)第一章的意義和價(jià)值呢？它既沒有具體的知識(shí)點(diǎn)，又不屬于相關(guān)章節(jié).數(shù)學(xué)特級(jí)教師卜以樓先生站在全書的高度分析教材，可謂高屋建瓴，值得學(xué)習(xí)借鑒：不同的學(xué)科、不同的年級(jí)、不同的主題、不同的教師，可能有不同情懷訴求，但是，助力學(xué)生知識(shí)生長(zhǎng)、生命成長(zhǎng)，發(fā)揮學(xué)科特質(zhì)、凸顯學(xué)科內(nèi)涵、增強(qiáng)學(xué)科引擎，讓學(xué)科知識(shí)、方法、思想、素養(yǎng)在第一課中積聚發(fā)力，應(yīng)是共同的價(jià)值追求.［2］為此，第一章的核心要義就“不是傳授知識(shí)，而是傳播文化.第一課就應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感受究竟什么是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的靈魂是什么，數(shù)學(xué)的價(jià)值是什么，數(shù)學(xué)和其他學(xué)科有什么區(qū)別；不是盲人摸象，而是整體勾勒.第一課就應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的外貌、結(jié)構(gòu)有一個(gè)大致的了解，要對(duì)研究數(shù)學(xué)的基本視角、基本方法有一個(gè)結(jié)構(gòu)性的回顧與提升，即要對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性的東西有個(gè)基本的把握；不是紀(jì)律約束，而是助力生長(zhǎng).第一課教師要選用具有震撼力的教學(xué)素材，給學(xué)生提供積極思考的載體，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力，以對(duì)初中數(shù)學(xué)產(chǎn)生美好的情愫”.［2］基于這樣的認(rèn)識(shí)，我們對(duì)第一章的安排就有了全局性的認(rèn)識(shí).

教學(xué)設(shè)計(jì)：根據(jù)上面對(duì)第一章的的價(jià)值思考，卜以樓先生給出這樣的課堂設(shè)計(jì)，以將教學(xué)理念轉(zhuǎn)化為教學(xué)行為.本節(jié)課共設(shè)計(jì)三個(gè)活動(dòng)板塊.活動(dòng)1——數(shù)學(xué)研究的對(duì)象.通過舉例讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”和“形”的，并知道“數(shù)”和“形”存在于我們的生活中.活動(dòng)2——學(xué)好數(shù)學(xué)的視角.讓學(xué)生明白用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界——數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)的思維思考生活——數(shù)學(xué)說理，用數(shù)學(xué)的語言描述生活——數(shù)學(xué)符號(hào).活動(dòng)3——思維活動(dòng)的方法.分別介紹數(shù)學(xué)的思維方法——觀察、抽象、舉例、類比、計(jì)算、歸納、說理等.通過這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以讓學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)是什么，數(shù)學(xué)學(xué)什么，數(shù)學(xué)怎么學(xué).也許我們不能期望在這一節(jié)課中就能解決學(xué)生所有的疑問，但是站在回答數(shù)學(xué)本真的高度來理解教材的安排，可謂匠心獨(dú)運(yùn)，值得借鑒.

二、從全章的系統(tǒng)性理解教材

案例2：《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》蘇科版八年級(jí)上冊(cè)“2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性（第1課時(shí)）”.教材是這樣安排的，通過把等腰三角形紙片沿頂角的平分線折疊，引導(dǎo)學(xué)生觀察，得出等腰三角形的兩底角相等和三線合一性質(zhì)，接著引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法證明該性質(zhì)，再引導(dǎo)學(xué)生用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC，使得底邊BC=a，高AD=h，最后安排例題鞏固.

教材分析：這是一節(jié)比較難上的課.在一次教學(xué)公開課中，一位教師做了這樣的設(shè)計(jì)，既有通過折紙活動(dòng)發(fā)現(xiàn)等腰三角形性質(zhì)的過程，又訓(xùn)練學(xué)生對(duì)性質(zhì)的證明（三種方法）；既使用PPT教學(xué)，又規(guī)范板書；既有教師講授，又安排學(xué)生合作交流；例題教學(xué)既尊重教材，又適當(dāng)拓展.應(yīng)該說教師考慮到了教學(xué)的所有要素，面面俱到，生怕教學(xué)活動(dòng)不完整，所以整節(jié)課下來，課堂密度很大，幾無學(xué)生思考時(shí)間，教師教得匆匆忙忙，學(xué)生學(xué)得慌慌張張.之所以出現(xiàn)這樣的問題，是我們備課時(shí)沒有真正理解教材，沒有把本節(jié)課置于全章來思考，故而詳略不當(dāng)，抓不住重點(diǎn).其實(shí)，本章是“軸對(duì)稱圖形”的最后一節(jié)，從整章設(shè)計(jì)來看，思路非常清晰.本章先后設(shè)計(jì)了軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱的性質(zhì)、設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案、線段、角的軸對(duì)稱性、等腰三角形的軸對(duì)稱性.所以，本章的安排都是基于軸對(duì)稱來設(shè)計(jì)的，等腰三角形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，應(yīng)該是通過折紙基于實(shí)踐操作，合情推理即可得出；性質(zhì)的證明可以引導(dǎo)大家思考折痕的三個(gè)屬性（頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線），然后分類展示；圍繞課本例題適當(dāng)向前鋪墊，既鞏固所學(xué)，又交代出處，再向后拓展，既擴(kuò)大應(yīng)用，又鍛煉思維，形成一個(gè)“知識(shí)組塊”；證明的規(guī)范性可以安排在例題講解中進(jìn)行，既節(jié)約了時(shí)間，又對(duì)癥施治，這樣安排詳略得當(dāng)，張弛有度.

教學(xué)設(shè)計(jì)：我們可以預(yù)設(shè)這樣的教學(xué)環(huán)節(jié).

【片段1】

師：大家拿出課前做好的等腰三角形紙片（可以是教師做好發(fā)給大家），能否對(duì)折使圖形重合？

生：可以.

師：折疊重合，說明等腰三角形是什么圖形？

生：軸對(duì)稱圖形.

師：重合的部分相等嗎？可以分成幾類來描述？

生：有角相等，等腰三角形的兩底角，還有頂角被對(duì)稱軸分成相等的角；有線段相等，對(duì)稱軸分底邊成相等的線段.

師：怎樣把發(fā)現(xiàn)用語言表達(dá)出來？如何用符號(hào)表示這些語言？

……

【片段2】

師：剛才折紙中發(fā)現(xiàn)，中間的折痕可以有三種表述方式，請(qǐng)大家試著表述.可以相互交流自己的表述.

生：中間的折痕既是頂角的平分線，也是底邊上的中線，還是底邊上的高.

師：請(qǐng)分別說說理由.分別按照三種表述來證明等腰三角形的性質(zhì)，一會(huì)兒分別展示.

……

【片段3】

師：已知兩條線段a、h，可以作一個(gè)等腰三角形嗎？

生：可以.若a為底邊，以線段a的兩端為圓心，h長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)就是等腰三角形的頂點(diǎn).

師：有需要補(bǔ)充的嗎？

生：必須滿足2h＞a，否則兩弧無交點(diǎn).

師：如果a為底邊，h為底邊上的高，可以畫出這樣的等腰三角形嗎？

生：可以.等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高合二為一，可以看成底邊的垂直平分線.只要畫出a的垂直平分線，然后在該線上截取高為h即可.

師：大家可以嘗試畫一下.

三、從一節(jié)課的整體性理解教材

案例3：《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》人教版八年級(jí)上冊(cè)“13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)”.教材是這樣安排的，先探索垂直平分線的性質(zhì)，再探索其逆定理，最后安排一個(gè)例題.

例已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C（如圖1）.用直尺和圓規(guī)求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.

探究作法：

（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁；

（2）以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E；

作弧，兩弧相交于點(diǎn)F；

（4）作直線CF.

圖1

直線CF就是所求作的垂線.

教材分析：這節(jié)課的內(nèi)容比較簡(jiǎn)單，在進(jìn)行例題教學(xué)時(shí)，很多教師一般都是安排學(xué)生自學(xué)，然后根據(jù)畫圖順序作出圖形，并解釋畫圖的理由，最后變換圖形位置作圖，鞏固所學(xué).很顯然，這樣的安排學(xué)生只是作法的機(jī)械執(zhí)行者，學(xué)生只有做完之后才會(huì)明白作法，學(xué)生自然會(huì)發(fā)問“你怎么想到的”.同時(shí)，本節(jié)課的新知和例題之間跨度太大，學(xué)生不知其所以然，這樣的學(xué)習(xí)過程缺少深刻而主動(dòng)的思維活動(dòng)，而這正是數(shù)學(xué)課堂的追求，也是教師主導(dǎo)性的具體體現(xiàn)，所以課堂上解決作法的來源才是教學(xué)的重點(diǎn).

由于本節(jié)課是線段的垂直平分線的性質(zhì)，所以我們一定要把例題放在整節(jié)課來思考，從線段的垂直平分線來思考如何過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線.我們思考把要作的垂線轉(zhuǎn)化為作某條線段的垂直平分線，關(guān)鍵就是尋找到一條線段，且這條線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)C，于是自然想到在直線AB上尋找這樣一條線段，使得該線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)C.課堂上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行這樣的思考正是基于對(duì)教材的充分理解.

教學(xué)設(shè)計(jì)：我們預(yù)設(shè)這樣的教學(xué)環(huán)節(jié).［3］

師：如圖2，已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.方法不限，請(qǐng)大家自由思考.

圖2

圖3

預(yù)設(shè)：把直線AB對(duì)折，使折痕經(jīng)過點(diǎn)C，折痕所在直線就是AB的垂線；用量角器直接量出∠CDB=90°即可，如圖3；使直角三角尺的一條直角邊與AB重合，另一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)C，過點(diǎn)C的直線即為AB的垂線.

師：如果用尺規(guī)作圖，該如何思考呢？從上面的三種方法中能否找到可以借鑒的作法？

顯然，從上面三種作法中找不到可以借鑒的經(jīng)驗(yàn)，這時(shí)教師的引導(dǎo)顯得非常重要.

師：過點(diǎn)C作直線AB的垂線難以下手，結(jié)合我們今天所講的內(nèi)容（線段垂直平分線），我們是否可以做這樣的轉(zhuǎn)化：能否在直線AB上找到一條線段DE，使得線段DE的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)C？如果找到這樣的線段DE，則必有CD=CE，那么如何作出CD=CE呢？（這一步可以留出時(shí)間讓學(xué)生思考、討論，為什么會(huì)想到這樣的轉(zhuǎn)化？把未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想是數(shù)學(xué)的重要思想）

預(yù)設(shè)：以點(diǎn)C為圓心，以足夠長(zhǎng)為半徑作弧交直線AB于點(diǎn)D、E，如圖1.

師：半徑有要求嗎？

預(yù)設(shè)：必須保證所畫的弧和直線AB有交點(diǎn).

師：接下來怎么辦？

預(yù)設(shè)：既然已經(jīng)找到線段DE，下面就是求作DE的垂直平分線了，作法是：分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F，作直線CF，直線CF就是所求作的垂線.

有了這樣的探究過程，學(xué)生不僅親身參與了作圖的操作活動(dòng)，更重要的是思維參與其中.如果本節(jié)課反復(fù)練習(xí)作垂線的各種方法和變式，或許能提高學(xué)生的解題熟練程度，而對(duì)于學(xué)生的思維能力的提高則毫無益處.

教材是學(xué)習(xí)的載體，要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)就必須充分用好這一載體.理解教材、理解學(xué)生、理解教學(xué)是我們正確教學(xué)的前置功課.姑且不談高效課堂，就是有效的課堂，我們也應(yīng)該從這三個(gè)方面加強(qiáng)研究.本文給出理解教材的三個(gè)策略僅僅是筆者在教學(xué)實(shí)踐中一些做法，很膚淺，期待有更多的同行在理解教材上給出更加切實(shí)可行的方法，讓我們的教學(xué)研究走得更加堅(jiān)實(shí).