重心下移促參與，結構教學助遷移

☉山東省淄博市臨淄區教學研究室 楊靜霞

新基礎教育提出初中數學學科教學的特征“結構關聯地教，互動生成地長”，因此本設計首先根據學生成長的長程進行整體性系統策劃和關聯性結構教學，學生在整體感知的基礎上，整體占有知識，在經歷解決問題、遭遇困難的過程中主動發現，逐步形成了學習的方法結構，然后把方法類比遷移，自覺運用到研究其他同類的問題中去，起到舉一反三、觸類旁通的作用，最后設計的微課程，則以集合的思想滲透了直線與點的關系.

一、設計說明

跟隨吳亞萍教授學習了“長程兩段：教結構、用結構”“三放三收”“重心下移”等新基礎教育的課堂教學理念，遵循這些先進的理念，我對魯教版《義務教育教科書·數學》七年級上冊“正比例函數的圖像與性質”的課堂教學做了貼地式實踐教學研究，此課堂教學得到了華東師范大學吳亞萍教授的指導，我在此基礎上又進行了創新，把直線與點的關系做了更加深入的探索，現在把教學實踐成果與大家共享.

二、理念體現

1.重心下移1：整體感知，巧分類

活動1：整體進入，討論常數k的取值.

（1）思考并回答：你認為k都可以取什么樣的數呢？

（2）為了更好地研究正比例函數，現在我們要選出一些特殊的、具有代表性的正比例函數，根據k的可能取值，你認為哪些正比例函數比較特殊，便于我們研究且具有代表性呢？

師生行為生成：學生口答k的取值范圍，互相補充完善，認識到k可取正整數、負整數、正分數、負分數等，并對應得到正比例函數解析式y=x，y=-x，y=2x，y=-2x，y=x等.在教師的引導下，學生對k的取值范圍進行有序定性分類.

設計意圖：整體感知k的取值范圍，并對應得到特殊的正比例函數的解析式，通過對k賦值感受初始的研究既要簡單又要有代表性，研究的輻射區域盡量全面.通過對k的取值進行分類，為下一步研究提供素材.

教學點評：活動1是本節課的“一放一收”，放的是“開放舉例”，收的是“典例分類”.通過枚舉k的取值，由k的取值得到特殊的正比例函數，如y=x，y=-x，y=2x，y=x等，進而對k進行分類，為下一步從學生的枚舉中選擇最簡單、最基礎的來研究奠定基礎，體現了學生立場和以學定教的教學思想.

2.重心下移2：個例研究，教結構

活動2：嘗試畫圖像.

由前面對k賦值的研究，我們知道當k=1時的正比例函數y=x最簡單.下面首先實踐操作：嘗試畫一畫y=x的圖像.

（1）列表：根據正比例函數的解析式，填寫表1：

表1

（2）描點：分別以所取x的值和相應的函數值作為點的橫坐標和縱坐標，并在平面直角坐標系上畫出這些坐標所對應的點.

（3）連線：用光滑曲線（包括直線）把描出的這些點按照橫坐標由小到大的順序連接起來.

教師進一步追問：在畫圖像的過程中，你都有哪些發現？

師生行為生成：學生填寫表格，進而得到點的坐標，然后在平面直角坐標系中描點、連線.對于出現的問題，學生評價、糾錯、補充、完善.教師對學生出現的問題進行點撥，比如，自變量x的取值不全面，如只取正整數或只取負整數；取值無序，導致觀察到的圖像只經過一個象限；將描好的點用線段連接，得不到函數圖像是直線這一特征等.學生主動觀察，發現圖像特點并嘗試用語言描述：正比例函數的圖像是直線，經過一、三象限（位置）；除此之外，正比例函數的圖像還經過原點（特殊點）；y隨x的增大而增大（增減性）.

設計意圖：通過對x的取值的討論，在學生陳述觀點的過程中，幫助全班學生對自變量x的取值要兼顧對稱性、代表性、無限性、有序性形成共識；通過畫出正比例函數y=x的圖像，發現圖像的形狀是一條直線，為下一步觀察并總結性質奠定基礎.有層次地推進是為了幫助學生從圖像的形狀、位置、特殊點、增減性四個維度對函數的性質有整體認識，并鍛煉用語言表達的能力，初步理解掌握正比例函數性質的研究方法.

教學點評：活動2是本節課的“二放二收”，“二放”的目的是讓學生直面困難，“二收”的目標是順藤摸瓜.學生遇到的第一個困難就是列表時x如何取值，本節課設計讓學生直接獨立完成，目的是讓學生遭遇困難，學生可能無序、可能局限、可能無典型意義，針對學生的問題，教師引導學生，從而收獲x的取值要有代表性、對稱性、無限性、有序性.

3.重心下移3：枚舉研究，用結構

活動3：（1）多向探究.

在原來的平面直角坐標系中繼續畫出y=-x的圖像，組內分工合作，再選取k為正整數、負整數、正分數、負分數中的各一個來完成，你發現其他的正比例函數有怎樣的特征？

（2）對比研究.

觀察y=x和y=-x這兩個函數圖像，對比它們的異同點，并嘗試用語言敘述.

小組有序分工，畫出更多的正比例函數的圖像，在畫出圖像的過程中，對k是分數時，若x仍然選取整數，則函數值為分數，不容易描點，產生困惑，激發學生主動思考選取點的坐標時是有技巧的.

師生行為生成：學生主動歸納，師生互動補充完善得到以下結論.兩函數的圖像相同點：都是直線，都經過點（0，0）；不同點：經過象限不同，增減性不同.兩函數的聯系：兩函數的圖像關于x軸對稱，關于y軸對稱，關于坐標原點成中心對稱.

設計意圖：幫助學生在已有認識及研究方法框架的支持下，通過自主探究得到正比例函數圖像的特征，為歸納性質奠定基礎.通過對比、概括歸納，形成完整的知識體系，學會研究的方法（個例研究與枚舉研究的關聯），體會數形結合思想，培養學生數學交流的習慣.

教學點評：活動3是本節課的“三放三收”，個例有限，猜想無限.僅僅觀察一個正比例函數得到的結論是有局限性的，因此從個例研究到枚舉研究，從k＞0到k＜0，從組內學生的分工合作，不完全歸納得出正比例函數的圖像與性質.

4.廣泛驗證

教師利用幾何畫板作出不同k值的正比例函數圖像，說明正比例函數圖像的直線上有無數個點，直線上每個點的坐標都與函數解析式一一對應.

師生行為生成：學生認真聆聽幾何畫板的演示解讀，仔細看不同的解析式得到的圖像，用心想圖像之間的聯系，主動在組內展開質疑交流.

設計意圖：通過幾何畫板的展示，實現從用手描點連線到幾何畫板的動態生成，進一步體會點與線的關系，學會不完全歸納法.幫助學生在已有認識及研究方法框架的支持下，通過自主探究得到正比例函數圖像的特征.

教學點評：此環節技術助力，力求技術與教學高度融合，采用了幾何畫板的動態顯示功能，顯示了k任意取值得到的正比例函數的圖像都為一條直線，化有限為無限，突破了本節課的重、難點，增強了說服力.

5.歸納提升

觀察以上正比例函數的圖像，歸納總結y=kx（k是不等于0的常數）的性質.

師生行為生成：學生從圖像的特征發現性質，從而表達出函數所具有的性質，是一個從直觀到文字語言再到符號語言的過程.并對比k的兩種不同的取值導致的圖像變化規律，用語言描述知識之間的聯系與區別，實現正比例函數性質的一般化.

設計意圖：通過對學生枚舉和教師用幾何畫板驗證的正比例函數圖像的研究，促進學生掌握從四個維度即形狀、位置、特殊點、增減性進行有序研究的方法，利于形成系統的知識結構，并促進學生之間的流暢交流.

教學點評：此環節主要采用分層推進、方法滲透的形式，歸納了“三步、四維、四法”.“三步”指的是在學習的過程中學會了如何研究問題，畫函數圖像的步驟：列表、描點、連線三步走.“四維”指的是學會了：從形狀、位置、特殊點、增減性四個角度觀察圖像，總結出正比例函數的性質.“四法”指的是課堂中滲透的數學思想方法：類比研究、分類討論、個例枚舉、數形結合，提升了學生的學科素養.在學習的過程中，學生的數學運算能力、數學建模能力、直觀想象能力等都得到了不同程度的發展.

6.微課導學

認識描點法畫函數圖像，感受描點法畫圖像的科學依據，初步理解集合的思想.

師生行為生成：跟隨微課程，體悟點與直線的關系，讓思維從點的有限延伸到直線的無限.

設計意圖：體會正比例函數的圖像中直線與點的關系，為今后學習集合的思想奠定基礎.

教學點評：追根溯源是這節課的畫龍點睛之筆.在說明為什么正比例函數的圖像是直線這一環節，則為學生提供了微課程引導學生進一步思考描點法畫圖像的科學依據，抓住學生在畫圖像過程中產生的困惑，引導學生深入探究，揭示正比例函數的圖像是直線的淵源，形成解決新問題的策略與方法.

三、目標達成

本節課教與學有效互動，信息技術支持得當.在課堂教學中，白板很好地支持了課堂教學中教與學內容的展示，幾何畫板為學生深刻理解正比例函數的圖像是一條直線立下了汗馬功勞；微課程為引導學生深入研究集合的思想奠定了良好的基礎.在教學的過程中，較好地發揮了學科育人的價值，數學課堂主要以培養學生的邏輯思維能力為主，以提升學生的核心素養為終極目標.教是為了更好地學，從學生的問題出發，由學生提出問題，利用學生的材料資源進行分類研究，充分體現“長程兩段”的教學理念：教結構、用結構.在課堂中不僅鍛煉了學生的分類能力、動手畫圖能力、數形結合能力、歸納概括能力，還實現了研究方法的遷移，為今后學習其他函數提供了研究方法.課堂中從學生的困難入手，把問題真正地放下去，教師做到收放自如，有效收集學生的資源，讓知識一點點地長出來，使得目標越來越清晰，知識越來越有條理，課堂中鍛煉的是學生的思維，發展的是學習的能力，培養的是流暢的表達，發揮的是課堂的育人價值，在每個環節，都留下了學生思考交流、思維碰撞的痕跡，是一節有效提升學科核心素養的好課.