給學習動力，讓思維飛翔
——一節“規律探究”課的教學過程與點評

☉山東省東營市實驗中學 曲藝慧

☉山東省東營市實驗中學 王 瑩

學生的學習動力來源于對問題的興趣、積極的參與和探索的收獲，調動學生“學”的興趣，激發學生“思”的潛能，才能讓學生的思維盡情翱翔.下面是一節初三的專題課“規律探究”，展示了教師的教學思路和學生的活動過程，讓我們一起來感受其精彩，點評其得失.

一、報數游戲導入

師：咱們做一個游戲，我說出一組數，大家來報下面的三個數.看誰反應快！

師：第1組：1，3，5，7.

生1（搶說）：9，11，13.

師：這組數有什么變化規律？

生1：前面的數加2是后面的數.

師：也就是依次加2.很好，下面你們不僅要報出接下去的三個數，還要回答它們的變化規律.會的請舉手.

師：第2組：5，8，11，14.

（約80%的學生舉手）

生2：17，20，23，依次加3.

師：第3組：4，9，14，19.

（幾乎全部學生舉手）

生3：24，29，34，依次加5.

師：第4組：1，4，9，16.

（約30%的學生舉手）

生4：25，36，49，前面是1、2、3、4的平方，后面的應該是5、6、7的平方.

師：也就是連續整數的平方.

師：第5組：2，5，10，17.

（個別學生舉手，教師建議小組交流）

生5：這4個數分別是1、2、3、4的平方加1，后面應該是5、6、7的平方加1，也就是26，37，50.

師：哦，它們的規律是：序號的平方加1.非常好，鼓勵一下.

師：第6組看誰能找出來：2，6，12，20.

（學生面面相覷，教師建議小組合作，經過交流，有幾個學生舉手）

生6：30，42，56.它的規律好像是：加4、加6、加8，所以，后面3個數依次加10、加12、加14.

師：很好！你知道第100個數是什么嗎？（生6不好意思地搖搖頭）

師：（導入課題）我們今天就來探究如何尋找規律.（板書課題：規律探究）

點評：教師以游戲的形式導入，調動學生學習的興趣，吸引學生的注意力；選題由易到難，使不同層次的學生都能參與其中.前三題幾乎全員參與，學生積極性很高，而后三題思維量逐步加大，在教師的引導下，通過同學之間的互助交流完成，可以充分發揮優生的作用，取長補短，培養學生的合作意識.同時，教師的順勢總結，又在不經意間培養學生語言表達的簡練與準確性，而適時的追問，在深化思維的同時，又激發了學生進一步探究的欲望.為下一步的教學做好鋪墊.是一則成功的導入.

二、探究數列規律

師：我們首先探究數列的規律.（多媒體展示）

探究1：數列規律.

問題1：每組數列的第n項是什么？

（1）1，3，5，7，….

（2）5，8，11，14，….

（3）4，9，14，19，….

生6：第1題：2n-1.

生7：第2題：3n+2.

生8：第3題：5n-1.

（學生回答的同時，教師用多媒體展示結果）

（1）1，3，5，7，…. an=2n-1

（2）5，8，11，14，….an=3n+2

（3）4，9，14，19，….an=5n-1

問題2：在這三組數列中，每組數列相鄰兩數的差值有什么數量關系？

生：差值相等.

師：歸納1：當相鄰兩數的差值相等時，第n項是n的一次函數.

點評：探究1從開始的游戲數列入手，由于有剛才的鋪墊，學生能比較順利地找到數列的規律，用n表示出來.這里的關鍵是教會學生如何從同類規律中提煉方法，同時讓學生感受從特殊到一般的過程.

建議1：引導學生發現：這些數列相鄰兩數的差是相同的，而這個“差值”就是一次項系數；

建議2：在這里加一道“學以致用：數列-3，1，5，9，…的第100項是______”.讓學生體會“特殊—一般—特殊”的數學思想.

問題3：這三組數列中，每組數列相鄰兩數的差值又有什么數量關系呢？與第一種情況一樣嗎？第n項是什么？

（1）1，4，9，16，….

（2）2，5，10，17，….

（3）2，6，12，20，….

師：先自主探究再小組合作.

（教師巡視指導）

生9：對于（1），和第一種情況不一樣，第n項是n2，相鄰兩數的差值是：3、5、7、….

師：如果再一次求差呢？差值是？

生：2.

師：也就是兩次求差相等.第（2）題呢？

生10：第n項是n2+1，相鄰兩數的差值第一次是：3、5、7、…，第二次是2.

師：很好！第（3）組呢？

（沒有舉手的）

師：可轉化為：1×2，2×3，3×4，4×5，….

生11：第n項是n（n+1），即n2+n.

（教師在學生回答的同時用多媒體逐題展示答案）

（1）1，4，9，16，…. an=n2

（2）2，5，10，17，….an=n2+1

（3）2，6，12，20，….an=n2+n

師：歸納2：當相鄰兩數二次作差差值相等時，第n項是n的二次函數.

點評：這組問題，教師采用先自主探究再小組合作的方式完成，可以培養學生的探究精神和合作意識.第（3）題教師通過轉化的方式，化為乘積式，學生更容易看出規律，使難點得到突破，也讓學生體會到，遇到自己不熟悉的問題，可以轉化為熟悉的形式去解決，體現了解決數學問題時轉化思想的應用，總體效果較好.但問題3的設置不符合學生的思維習慣，學生不易按要求回答.

建議1：把問題3分成兩個問題：一是：第n項的表達式是什么？它是關于n的什么函數？二是：相鄰兩數的差值有什么特點？先引導學生探索出每組第n項的表達式，體會得到的都是二次函數，然后去探索它們相鄰兩數的差值有什么共同特點，再進行歸納，效果會更好.板書可以采用對比式.以（3）為例：

2 6 12 20

第一次求差： 4 6 8

第二次求差： 2 2

這樣，學生很容易看出“二次求差差值相等”.

建議2：加一道“學以致用：3，7，13，21，…的第n項是什么”.讓學生明白，即使不能直接看出它的規律，只要發現第二次求差差值相等，就可以用求函數解析式的方法求出第n項.當然，具體解決此題用時較多，教師只需引導學生說出思路即可.

三、探究圖形規律

師：剛才我們研究的是數列的規律，下面我們來看圖形的規律.

探究2：圖形規律.

如圖1，是一組有規律的圖案，第1個圖案由4個基礎圖形組成，第2個圖案由7個基礎圖形組成，…，第n（n是正整數）個圖案由_______個基礎圖形組成.

圖1

（學生思維活躍，教師讓學生到講臺上展示自己的方法）

生12：老師，用函數行嗎？

師：非常好，你說一下做法吧！

生12：第1個圖是4，第2個圖是7，第3個圖是10，相鄰兩數的差都是3，所以是一次函數.設y=kx+b，將（1，4）和（2，7）代入，得到所以規律就是3n+1.

師：大家看，用函數的方法解決規律問題應該先判斷差值是否相等，然后設解析式，用待定系數法求解，最后確定規律.

生13：他的方法太麻煩了！

師：那請你上來說說你的簡單方法.

生13：你看圖形的變化，第2個圖比第1個圖多了3個菱形，第3個圖又比第2個圖多了3個菱形，也就是比第1個圖多2×3個，…，那么第n個圖就比第1個圖多（n-1）×3個，所以第n項是：4+3（n-1），即3n+1.

生14：我還有不同的方法！我們看（用手比畫），橫著的菱形，第1個圖有2個，第2個圖有3個，那第n個圖橫著就有（n+1）個；豎著的菱形，第1個圖有2個，第2個圖有4個，第n個圖有2n個，所以第n個圖共有菱形（3n+1）個.

生15（一副大家風范）：其實，我發現，差值都是3，一定是3n+幾，只看第一項4=3×1+1，就知道是3n+1.當然，如果你不放心，可以驗證.（大家為他的精彩發言鼓掌）

師：大家的方法都非常好，我們一起總結一下，遇到圖形規律，我們有哪些方法？

方法提煉：

三種思路：將圖形轉化成數字問題；直接從圖形變化找圖形特征；用函數思想解決.

點評：本題的選題很典型，有代表性.教師采取的方法也很好，給學生提供了展示的平臺，激發了學生參與的熱情，打開了學生的思路，學生的發言也很精彩，思維活躍，從不同的角度解決了問題，非常好.最后，教師的提煉也比較到位，讓學生明確了解決圖形規律問題的常用方法，效果不錯.

建議：提醒學生，猜出結論后要學會驗證，并教學生如何驗證.

學以致用：

（2013·南昌）觀察圖2中各圖形上點的個數，若按其規律再畫下去，可以得到第n個圖形中所有點的個數為_______

圖2

生16：三個圖所對應的數字分別是：4、9、16，可以看出這些都是平方數，分別是22、32、42，所以第n項是（n+1）2.

生17：我是根據圖形的排列，發現第1個圖可以看成2行，每行2個點，共2×2個點；第2個圖是3行，每行3個點，是3×3；第3個圖是4行，每行4個點，是4×4；所以第n個圖有（n+1）2個點.

師：還有別的方法嗎？

生18：也可以用函數解決.第1個圖有4個，第2個圖有9個，第3個圖有16個，第4個圖有25個，第一次作差之后是5、7、9，第二次作差之后是2、2，說明兩次作差值相等，所以應該是二次函數.設y=ax2+bx+c，將（1，4）、（2，9）、（3，16）代入求出a、b、c.

師：由于時間關系，咱就不求了，感興趣的同學課后可以試一試.

點評：作為學以致用，選題與上題既有共同點，又有不同點，相同點是解決問題的思路相同，不同點是規律變化不同，第n項是關于n的二次函數，規律更不容易看出來.學生利用上題提煉的方法順利解決了此題，所選用的方法：一是轉化為數的問題，根據數的特點尋找規律；二是利用圖形的變化尋找規律；三是用函數思想解決，由于設的是二次函數，計算量較大，教師為了節省時間，只是引導學生說了思路，沒有具體解決，習題的處理比較恰當，達到了鞏固知識、熟練方法的目的.

四、綜合運用，提升能力

師：如果我們把圖形放在坐標系中，那么又有怎樣的規律呢？請大家來思考一下這道題.

能力提升：

（1）求M1、M2、…、Mn的坐標.

（2）求S△P1M1M2+S△P2M2M3+…+S△Pn-1Mn-1Mn.

圖3

師：先獨立思考，再合作交流.（教師巡視指導）誰來回答？

師：很好，第二問呢？（教師指定學生回答）

生20：我沒算完.

師：那你計算到哪里了？

師：好，你先坐.誰能幫他解決這個問題呢？他算不下去的原因是什么？

生21：他不應該把前面的都乘開，所有三角形的底都是1，高分別是、…，到第n-1個是，所以面積應該是再把它們都加起來，提出×1，得到×1×），然后中間的項都抵消了，只剩下

師：從這道題可以看出，我們在做復雜的規律問題時，不要急于求出最終的結果，因為規律往往蘊含在計算的過程中，同時函數的規律問題我們最終也轉化成了數列問題來解決.

點評：函數中的規律是本節課的難點，是數與形的綜合考慮.此題教師的處理有兩個成功點：一是對原題進行了適當改編，增加了第（1）問，降低了門檻兒，使大部分學生能入手去做；二是教師關注了學生的思維受阻點，在提問時有意識地提問了做題不順利的學生（估計是教師在巡視時尋找的典型），引導其他同學幫助他找到突破的方法.進而得出“我們在做復雜的規律問題時，不要急于求出最終的結果，因為規律往往蘊含在計算的過程中”，處理得還是比較到位的.只是感覺在規律提煉方面略有欠缺.

建議：提醒學生，遇到規律問題中的多項求和，往往可以采用中間項抵消法，因此，要關注每一項是否可以寫成“差”的形式.

師：剛才我們研究了這么多規律問題，下面請同學們獨立完成這道中考壓軸填空題.

如圖4，點A1、A2、A3、…、An在拋物線y=x2的圖像上，點B1、B2、B3、…、Bn在y軸上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn-1Bn都為等腰直角三角形（點B0是坐標原點），則△A2013B2012B2013的腰長=______.

圖4

（離下課還有2分鐘，下課提醒鈴聲響起）

師：看來這道題難度有點兒大，同學們課后再解決.

點評：此題雖然也是函數中的規律問題，但與上面的題的思路不相同，學生做起來會有難度.由于時間關系，留作課后思考題，讓學生有充分的時間思考交流，是可以的.只是希望老師下節課要引導學生把解決問題的方法提煉出來.

建議：通常遇到這類函數中的規律題，可結合函數解析式，求出函數圖像上前三個點的坐標，然后求出目標線段的長.具體方法：

設A（1m，m），代入解析式y=x2，求出m=1，即第1個三角形的腰長是；

再設A（2n，n+2），代入解析式y=x2，求出n=2，即第2個三角形的腰長是2；

同理，設A（3a，a+6），代入解析式y=x2，求出a=3，即第3個三角形的腰長是3……

則△A2013B2012B2013的腰長=2013.

師：回顧一下我們這節課的學習，你都學到了什么呢？

生20：圖形的規律可以看圖形，也可以數個數.

生21：規律問題可以用函數的方法解決.

生22：復雜圖形的規律不要著急求結果，要看過程.

師：很好！想一想，我們這節課用到了數學中的哪種思想方法啊？

生23：是不是轉化？

師：非常好，我們這節課就是用的轉化的數學思想，圖形規律可以轉化成數列規律，函數規律最終也可以轉化為數列規律，然后我們用猜想與歸納的方法寫出規律，這也是將來同學們高中要研究的不完全歸納法，大家到了高中會繼續學習.

（板書設計）

點評：本節課的小結，教師采用的是：學生說出自己一節課的收獲、教師提煉總結，再通過數學思想方法的滲透使認知得到升華，板書的設計也體現了本節課的要點，使知識更系統，這是一種很好的小結方法.

師：今天的作業：必做：學案第141頁第1、3、4、6題，選做：學案第142頁第9、10題.剩下的時間大家可以完成剛才那道題，也可以做今天的作業，如果還有問題可以與我交流一下.

點評：教師能做到對作業分層要求，這很好.第一，如果我們統一要求，一些學習困難的學生做不到，就只能抄襲作業或直接不做，反倒養成不好的學習習慣，還不如讓他們集中精力做基本題，效果會更好些.第二，布置幾道選做題給學有余力的學生，可以避免好學生吃不飽的情況，也可以深化他們的思維.

另外，一節課剩下幾分鐘讓學生消化，給學生答疑，解決本節課遺留的問題，也是提高達成率的有效方法.

建議：可以給有余力的學生布置更個性化的作業，如：結合本節課大家的精彩發言寫一篇小論文，或整理本節課的知識方法，這樣或許能更好地培養他們的能力.

五、總評

本節課是關于規律探究的專題課.探索規律不僅是探索和發現數學規律，更主要的是讓學生經歷從特殊到一般、從一般到特殊這種探索與驗證的過程，體會特殊—一般—特殊的數學思想.“學”的主角是學生，“思”的主角也是學生.要構建“學思課堂”，教師的作用就是：調動學生“學”的興趣，激發學生“思”的潛能.

本節課的可取之處主要體現在以下幾方面：

1.多種方式，調動學生的學習興趣

熱愛數學，對數學學習有自信，是學生學好數學的前提.因此激發學生興趣，調動學生的積極性，就顯得至關重要.本節課教師采取的三種方式達到了很好的效果：一是游戲導入吸引了學生的注意力，讓學生帶著興奮和好奇開始本節課的學習；二是由淺入深的問題設置，使不同層次的學生都有思維空間，體會到解決問題的成功感，使全體學生有了參與的興趣；三是給學生提供了展示自我的平臺，不僅拓展了學生的解題思路，激發了學生的學習熱情，而且展示的學生非常享受別人佩服的目光，很愿意把自己獨特的解法與大家分享，也提高了大家學習數學的興趣，增強了學好數學的信心.

2.合理引導，鼓勵學生積極參與

學習是學生主動建構知識的過程，它不是簡單的灌輸，而主要依靠由內到外的自我生成.學生要獲得數學知識，發展數學能力，就需要經歷獨立思考的過程.很多老師費心費力地從各種不同解題思路中優選最精彩、最簡單的解題方法，在課堂上非常賣力地講給學生，但學生不領情，講過的照樣不會，考試照樣錯.為什么？就是因為學生沒有經過自己的思考，沒有在大腦中留下深刻的印象.本節課通過教師的精心設計，以問題牽引的形式，讓學生參與了整個知識的生成過程，幾乎所有的問題、習題、總結，都是在教師的引導下，學生通過自己的獨立思考，或通過生與生之間的合作交流完成的.他們參與了知識和方法的探究、發現和總結的全過程，當然印象會更深刻.在教學中教師適時引導學生發現、概括，完成新知識的建構，是提高課堂效率、提高教學成績的有效方法.

3.精心設計，開發學生的思維潛能

本節課教師非常注重對學生思維能力的開發和培養.主要表現在以下幾點.一是通過精選習題，培養學生思維的靈活性.本節課的選題非常典型，有代表性，雖然處理的習題不多，但每道題的處理都能達到舉一反三的效果，通過“一題多解—提煉方法—學以致用”，學會從不同的角度解決問題，使思維更靈活.二是讓學生講題，培養學生思維的條理性.要給大家講明白，把自己探究解決問題的策略展示給大家，首先自己的思維要非常清晰、有條理，同時，他的講解對其他同學的思路也會有啟發，在彼此思維的碰撞中，不僅拓展了大家的解題思路，還使彼此的思維都得到發展.三是能正視問題，幫助學生突破思維受阻點.學生在解決問題時遇到阻礙無法前進，這很正常.教師沒有繞過問題，而是有意識把問題展現給大家，通過分析思維受阻的原因，教學生如何化解問題，教他們解決問題的方法，使思維受阻點得到順利突破.四是通過分層遞進，開發學生的思維潛能.本節課，在內容上采用按層次推進、逐步深化、螺旋上升的形式.無論是教師提出的問題，還是設置的習題，都注意了思維的梯度，關注學生的思維最近發展區，層層深入，使不同層次學生的思維都得到有效的訓練.

4.把握機會，培養學生的合作意識

每個學生的生活經驗、學習習慣及思維方式不同，合作交流為學生提供了一個展示思考結果的機會和平臺，通過大家的相互討論，學生對知識的理解會更全面、更深刻.使學生形成積極主動的學習態度，培養當今社會所需要的合作意識和合作能力.但如果內容選擇不恰當，指導和要求不到位，往往“合作”變“聊天”，“交流”變“放松”，反而使部分學生養成懶散的習慣，學習效率大大降低.因此，哪些內容需要合作，怎樣合作，教師要把好關.本節課教師選擇的小組合作的內容都有一定的思維量，靠個人能力完成的很少，用小組合作的方式可以充分發揮優生的作用，有利于學生之間互相幫助，取長補短，還是比較合適的.在合作的同時，教師及時巡視指導，一可以幫助學習困難的學生，解決他們的問題；二可以指導督促學生，提高參與的有效性；三可以及時發現典型問題，給課堂添彩.從而使小組合作真正達到相互學習、共同提高的目的.

總之，學生的學習有了動力，他們的思維才會飛翔.而我們教師，就是學生的動力發動機.