培養學生數學核心素養的九年級教學實踐
——以“反比例函數”復習課為例

☉安徽省宣城市第六中學 葛福壽

一、問題提出

九年級新課結束后，學生還要在中考前進行一兩輪的復習，其中復習課是提高學生學習能力的關鍵.復習既要鞏固、消化數學基礎知識，進一步提高學生分析問題、解決問題的能力，又要查缺補漏、歸納解題方法，吃透中考考點及常見題型，深化對知識的提升，提高復習效果.本文以“反比例函數”復習課為例，探討、構建并完善九年級數學有效復習的模式，結合新課改下數學核心素養的滲透，談如何才能激起學生在數學復習課上的興趣，讓他們形成完整的知識體系，提高他們運用知識、解決問題的能力，談高效的中考數學復習課的設計策略，以期拋磚引玉.

二、設計思路

反比例函數是函數的重要知識，是中考必考內容，核心知識是反比例函數的概念、圖像、性質與應用.從學生學習情況分析，反比例函數的增減性與一次函數的增減性容易混淆，用函數觀念看待方程、不等式、函數間的關系，在理解上、思維方式上存在一定困難，用反比例函數解決實際問題需要建模的思路與策略，需要一定的生活背景知識，對學生有較高要求.基于以上分析，以學習函數最本質的思想——數形結合思想為立意，設計腳手架——函數圖像，在課堂探究的過程中，加深對反比例函數的理解，以期達到本節復習課的教學目標.

三、教學過程

教學環節一：師生合作，“溫故”核心知識

1.觀看微課，整理核心知識

考點1：反比例函數的概念.

考點2：反比例函數的圖像與性質.

函數的圖像：

表1

函數的性質：

表2

k的幾何意義：

表3

考點3：反比例函數解析式的確定.

求解析式的一般步驟：

（2）根據已知條件列出含k的方程；

（3）求待定系數k的值；

求解析式的兩種途徑：

（1）根據問題中兩個變量間的數量關系直接寫出；（2）在已知兩個變量x、y具有反比例關系y=（x≠0）的前提下，根據一對x、y的值，列出一個關于k的方程，求得k的值，確定出函數的解析式.

考點4：反比例函數的應用.

利用反比例函數解決實際問題，首先建立函數模型.一般地，建立函數模型有兩種思路：一是通過問題提供的信息，知道變量之間的函數關系，在這種情況下，可先設出函數的解析式y=（k≠0），再由已知條件確定解析式中k的取值即可；二是問題本身的條件中不確定變量間是什么關系，此時要通過分析找出變量的關系并確定函數的解析式.

設計意圖：通過學生觀察核心知識要點，幫助學生梳理中考考點，讓學生建構知識框架，培養學生的數學抽象核心素養.

2.結合核心內容，整理出中考試題與之相關的情境要點

PPT：呈現中考試題“要點”（見表4）.

表4 安徽中考試題“要點”

設計意圖：通過整理近10年安徽省中考數學試題中考查的核心“要點”，讓學生明確復習的方向，及時查漏補缺，養成良好的學習習慣，為學生升入高中的學習奠定基礎，培養學生的數學綜合素養.

教學環節二：師生探究，復習新知

（一）考點互動探究，基礎訓練

1.反比例函數的圖像和性質

A.1 B.2 C.-2 D.-1

圖1

（3）（2017年天津）若點A（-1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）在反比例函數的圖像上，則y1、y2、y3的大小關系是（ ）.

A.y1＜y2＜y3B.y2＜y3＜y1C.y3＜y2＜y1D.y2＜y1＜y3

2.反比例函數的對稱性

（2015年蘭州）點P（1x1，y1）、P（x2，y2）在反比例函數y=（k＞0）的圖像上，若x1=-x2，則（ ）.

A.y1＜y2B.y1=y2C.y1＞y2D.y1=-y2

3.反比例函數與方程不等式

A.1＜x＜6 B.x＜1 C.x＜6 D.x＞1

圖2

圖3

變式：圖3是反比例函數y1=和一次函數y2=mx+n的圖像，若y1＞y2，則相應的x的取值范圍是______.

4.反比例函數中k的幾何意義

（1）（2015年齊齊哈爾）如圖4，點A是反比例函數圖像上一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點C、D在x軸上，且BC∥AD，四邊形ABCD的面積為3，則這個反比例函數的解析式為______.

圖4

圖5

（2）（2015年孝感）如圖5，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，點A在反比例函數y=的圖像上.若點B在反比例函數y=的圖像上，則k的值為（ ）.

A.-4 B.4 C.-2 D.2

設計意圖：從基本問題出發，層層深入，不斷變式，讓學生掌握函數值大小比較，學會從特殊到一般的研究方法，體會借助圖像，利用數形結合思想解題.設計利用圖像法解不等式，讓學生經歷觀察、發現、比較、抽象的過程，從而更好地認識函數、方程、不等式三者間的關系，開闊學生的思維.既讓學生掌握基本內容，又達到訓練的目的，且能使題型設計層層深入，有梯度、有層次，提升學生的科學素養.

（二）考點互動探究，典例剖析

（2012年安徽第21題，12分）甲、乙兩家商場進行促銷活動，甲商場采用“滿200減100”的促銷方式，即購買商品的總金額滿200元但不足400元，少付100元；滿400元但不足600元，少付200元……乙商場按顧客購買商品的總金額打6折促銷.

（1）若顧客在甲商場購買了510元的商品，付款時應付多少錢？

（2）若顧客在甲商場購買商品的總金額為x（400≤x＜600）元，優惠后得到商家的優惠率為p（p=，寫出p與x之間的函數關系式，并說明p隨x的變化情況；

（3）品牌、質量、規格等都相同的某種商品，在甲、乙兩商場的標價都是x（200≤x＜400）元，你認為選擇哪家商場購買商品花錢較少？請說明理由.

設計意圖：函數是研究現實世界變化規律的重要內容和數學模型，設計反比例函數應用題，讓學生經歷問題情境→建立模型→求解的過程，同時進一步體會數形結合思想的價值，培養學生建模的數學核心素養.

（2011年安徽第21題，12分）如圖6，函數y1=k1x+b的圖像與函數y2=（x＞0）的圖像交于A、B兩點，與y軸交于C點.已知A點的坐標為（2，1），C點的坐標為（0，3）.

（1）求函數y1的表達式和B點的坐標；

圖6

（2）觀察圖像，比較當x＞0時，y1和y2的大小.

設計意圖：本題主要是一次函數和反比例函數的綜合應用，此類題目在中考中很常見，讓學生通過小組交流加深對本習題的理解，提升學生分析問題、解決問題的能力，提高學生的綜合數學核心素養.

教學環節三：復習訓練，鞏固提高

（2018年安徽第13題，5分）如圖7，正比例函數y=kx與反比例函數y=的圖像有一個交點A（2，m），AB⊥x軸于點B，平移直線y=kx使其經過點B，得到直線l，則直線l對應的函數表達式是_________.

圖7

圖8

（2015年安徽第21題，12分）如圖8，已知反比例函數y=與一次函數y=kx＋b的圖像交于點A（1，8）、B（-4，2m）.

（1）求k1、k2、b的值；

（2）求△AOB的面積；

（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是比例函數y=的圖像上兩點，且x1＜x2，y1＜y2，指出點M、N各位于哪個象限，并簡要說明理由.

設計意圖：從函數圖像出發，到函數解析式，再到結合圖像上點的特征，完成了對函數圖像與解析式的相互轉化，蘊含了從數與形兩個角度審視同一問題的觀點，是數形結合思想方法的完美體現.通過這兩題的練習，讓學生了解中考的出題動向，增強學習的信心和勇氣.

教學環節四：自我評價，反思內化

1.總結

（1）這節課主要復習的內容、方法有哪些？

（2）你有哪些收獲？

2.分享收獲

一種思想：數形結合思想（用數表達，用形釋義）；

兩種性質：增減性、對稱性；

三種應用：比較大小問題，方程、不等式、函數問題，實際問題.

設計意圖：學生自我反思，自我整理，教師根據學生的小結，展示歸納好的有關反比例函數的幾點收獲.變教師“一言談”為學生的“群言談”，這有助于學生概括能力、抽象能力、表達能力的提高.教師展示的提煉式歸納起到畫龍點睛的作用，易于學生理解.

四、課后反思

本節課能達成預定的目標，教學方法和手段合理，前后過渡自然，同時關注到師生間的合作，沒有以問代灌.但在某些問題提出后留給學生思考的時間不夠長，在今后的教學中，要加強課堂習題的精選，注意備課的精細化，留給學生更多思考的空間與時間，這樣的課堂才是順暢型課堂、高效型課堂.

數學學科核心素養的培養不是一蹴而就的，核心素養之間的關系也不是彼此獨立的，這就需要我們不斷在教學實踐中，以數學教學內容為載體，將數學知識與技能的學習、數學思想觀念的建構、科學探究與解決問題能力的發展、創新意識等方面的要求融為一體，形成完整的數學學科核心素養體系.W