如何在幾何定理教學(xué)中培養(yǎng)作圖能力

張艷 洪燕

摘? ?要：作圖能力的培養(yǎng)需要一定的實(shí)踐，這種實(shí)踐一方面可以通過(guò)完成有針對(duì)性的習(xí)題，在習(xí)題講練的過(guò)程中獲得，另一方面可以通過(guò)新授課中對(duì)一些定理的探究，動(dòng)手作圖中獲得.通過(guò)三節(jié)幾何定理課教學(xué)片斷的展示，初探如何在幾何定理探究與證明的教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生重視作圖順序，避免畫圖時(shí)過(guò)度添加條件以及利用圖形的構(gòu)造增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀.

關(guān)鍵詞：幾何直觀;定理教學(xué);作圖順序;圖形構(gòu)造

培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力，可以增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀，發(fā)展空間觀念，從而提升學(xué)生在直觀想象方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[ 1 ].近幾年的中考試題命制越來(lái)越注重作圖能力的考查，然而當(dāng)題目沒(méi)有圖，或者題目中涉及到圖形的構(gòu)造時(shí)，學(xué)生作圖意識(shí)和作圖能力是非常薄弱的.在幾何習(xí)題課教學(xué)中，常見(jiàn)到教師通過(guò)有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生自己畫圖，培養(yǎng)作圖意識(shí)，或者通過(guò)習(xí)題點(diǎn)評(píng)，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力.而在幾何定理教學(xué)中，卻因?yàn)閭?cè)重于定理的論證與應(yīng)用，而忽略了作圖能力的培養(yǎng).筆者在教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)一些幾何定理在探究和論證時(shí)都能很好的培養(yǎng)學(xué)生作圖，并能發(fā)現(xiàn)和糾正學(xué)生在作圖中易犯的錯(cuò)誤.下面將用三個(gè)幾何定理探究與證明的教學(xué)案例來(lái)具體闡述如何在課堂教學(xué)中滲透作圖意識(shí)，提高學(xué)生的作圖能力.

1? 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

例：（人教版八下18.2.1矩形）教師要求先寫出已知，求證，并請(qǐng)一位學(xué)生上臺(tái)演示如何畫圖;學(xué)生很快寫出了已知：如圖1，在ABCD中，AC=BD，求證：ABCD是矩形.但在畫圖中卻遇到了問(wèn)題：學(xué)生一開始先用直尺畫出線段AD并記錄它的長(zhǎng)度，然后拿直角三角板的一條直角邊靠著AD，沿另一邊畫出AB，再用推平行線的方式畫出BC，且保證了BC=AD;最后連接DC.這種畫法雖然能得到已知條件AC=BD，但在畫的過(guò)程中實(shí)際已經(jīng)用到了∠BAD=90°，也就是默認(rèn)了ABCD是矩形.第二種畫法學(xué)生先畫一個(gè)任意的平行四邊形，再連對(duì)角線AC，BD，發(fā)現(xiàn)又保證不了AC=BD.該如何嚴(yán)格根據(jù)已知條件作出圖形呢？學(xué)生陷入了沉思……

教師引導(dǎo)學(xué)生思考可否在畫圖時(shí)將已知中的兩個(gè)條件ABCD和AC=BD顛倒順序，先畫AC=BD，再連接A，B，C，D四點(diǎn)，得到平行四邊形;學(xué)生在操作時(shí)發(fā)現(xiàn)顛倒順序后，不僅要畫出兩條相等的線段AC，BD，且這兩條相交線段還需要互相平分，這樣才能保證連出的四邊形ABCD是平行四邊形。從而成功的畫出了該命題的圖象.

在學(xué)生獨(dú)立作圖時(shí)，正確的作圖順序是成功作出圖形的關(guān)鍵.此定理教學(xué)中利用矩形判定1的準(zhǔn)確作圖，讓學(xué)生意識(shí)到命題證明的作圖是需要嚴(yán)格遵照已知條件的，既不能隨意添加，也不能缺漏，更不能直接將結(jié)論在圖形中畫出來(lái).當(dāng)作圖遇到困難時(shí)，適當(dāng)調(diào)整作圖順序，可能問(wèn)題就能迎刃而解.

2? 四條邊都相等的四邊形是菱形

例：（人教版八下18.2.2菱形）教師要求學(xué)生寫出已知，求證，并畫圖;學(xué)生迅速寫出了已知：如圖2，AB=BC=CD=AD，求證：四邊形ABCD是菱形;并畫出了一個(gè)如圖2的形似菱形的四邊形;這四條線段是否相等很含糊，因此針對(duì)畫圖過(guò)程師生有了以下對(duì)話：

師：畫的四邊形中四條線段看起來(lái)的確很像等線段，這是怎么做到的呢？

生：用尺子量的;

師：那我們來(lái)試一試，每條線段都按2cm的長(zhǎng)度，看看是不是真能畫出這么像的圖形？

教師拿出尺子畫出了三條2cm的線段，AD，DC，BC，然后停了下來(lái)（圖3），問(wèn)：第四段怎么畫？

生1：連接AB;

師：那怎么能保證線段AB的長(zhǎng)也是2cm呢？

生2：以B為端點(diǎn)畫線段AB等于2cm.

師：以B為端點(diǎn)畫出的2cm線段怎么能保證另一個(gè)端點(diǎn)就剛剛好落在A處呢？你看我就能畫出另一端點(diǎn)不在A處的圖（圖4）;

在這段對(duì)話中，教師糾出了學(xué)生在作圖中常見(jiàn)的錯(cuò)誤——條件過(guò)多：既要連接AB，又要求線段AB長(zhǎng)度為2cm，這種錯(cuò)誤主要出現(xiàn)在幾何題添加輔助線時(shí)。避免這個(gè)錯(cuò)誤關(guān)鍵看作輔助線涉及到的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若是有兩個(gè)點(diǎn)，則作圖中連接兩點(diǎn)后就不能再額外要求這條線段有其他位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系.

糾錯(cuò)之余，如何準(zhǔn)確的畫出該命題的圖呢？還需要另一個(gè)畫圖工具——圓規(guī).教師繼續(xù)引導(dǎo)：（1） 如果圖5中的點(diǎn)A會(huì)動(dòng)，把它移動(dòng)到A'的位置就好了，問(wèn)題是怎么挪A？滿足條件的點(diǎn)A移動(dòng)軌跡應(yīng)該是怎樣的？（2） 在紙上可以用什么畫圖工具來(lái)實(shí)現(xiàn)這種移動(dòng)？學(xué)生通過(guò)思考發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A的軌跡應(yīng)該是一個(gè)圓.因此可以利用圓規(guī)描出點(diǎn)A的軌跡，同時(shí)點(diǎn)A所在的這段弧可能與線段A'B沒(méi)有交點(diǎn)，因此再次利用圓規(guī)以B為圓心，2cm的長(zhǎng)度為半徑，畫弧，A'點(diǎn)就在這段弧上;而這兩段弧的交點(diǎn)就滿足到點(diǎn)D和點(diǎn)B的距離都是2cm.（圖6）

教師總結(jié)：當(dāng)圓規(guī)的張角不變時(shí)，所畫圓的半徑不變。那么即使圓心變了，所畫弧上任意一點(diǎn)與對(duì)應(yīng)圓心的連線長(zhǎng)度依舊相等，即兩弧交點(diǎn)到兩個(gè)圓心的距離也相等.由此可以看出圓規(guī)是刻畫相等線段一個(gè)很好的工具.

3? 角平分線性質(zhì)的探究

探究任務(wù)：（1）在紙上畫∠AOB，并畫出角平分線OC，在OC上取一點(diǎn)P;（2）利用圓規(guī)，直尺或量角器等數(shù)學(xué)工具，在OA和OB上各找一個(gè)點(diǎn)M，N，使△OMP≌△ONP;

學(xué)生利用刻度尺、圓規(guī)、量角器進(jìn)行作圖.教師從旁收集到了兩種構(gòu)造方法：

第一種構(gòu)造：利用圓規(guī)在角兩邊截取OM=ON ，并連接MP，NP.（圖7，8）構(gòu)造兩個(gè)三角形全等的理由是SAS.

第二種構(gòu)造：利用量角器，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，OP為一邊量取∠OPM=∠OPN等于某個(gè)度數(shù)（任意），交OA，OB于M，N.（圖9，10）全等理由ASA.

從學(xué)生的畫法上看，兩種構(gòu)造，一種是構(gòu)造邊等，一種是構(gòu)造角等，教師引導(dǎo)學(xué)生思考是否有遺漏：1.從構(gòu)造邊等來(lái)看，除了構(gòu)造OM=ON，能不能構(gòu)造MP=NP呢？2. 從構(gòu)造角來(lái)看，除了取∠OPM=∠OPN，能不能取∠OMP=∠ONP呢？

學(xué)生通過(guò)小組討論得出：第一個(gè)角度構(gòu)造MP=NP行不通，因?yàn)檫@樣得到的三個(gè)條件MP=NP，一條公共邊OP，∠AOC=∠BOC組合成了SSA，不能判定三角形全等;第二個(gè)角度從理論上是可以利用AAS得到兩個(gè)三角形全等，但在實(shí)際操作時(shí)卻發(fā)現(xiàn)畫不出來(lái).追問(wèn)原因，原來(lái)是在OB上任取點(diǎn)N時(shí)，∠ONP的大小任意，利用量角器量出∠ONP的度數(shù)，也無(wú)法用量角器畫出相同度數(shù)的∠OMP，因?yàn)閳D中僅僅只有∠OMP兩邊上的點(diǎn)P，O，∠OMP的頂點(diǎn)M找不到.

教師繼續(xù)引導(dǎo)：如果普通的∠ONP畫不出對(duì)應(yīng)的等角∠OMP，可以考慮一些不用量角器能畫出來(lái)的特殊的角度。 學(xué)生再次動(dòng)手操作，這次個(gè)別學(xué)生用上了三角板，發(fā)現(xiàn)當(dāng)利用三角板的兩條直角邊，可以很容易畫出∠OMP=∠ONP=90°，這樣構(gòu)造出兩個(gè)全等的直角三角形（圖11）.三種構(gòu)造方式，畫出的全等三角形既有銳角，又有直角，鈍角。特別地，對(duì)于全等的直角三角形，MP和NP還有一個(gè)特殊的身份：垂線段.過(guò)點(diǎn)P作一直線的垂線段，這條垂線段的長(zhǎng)度可稱為點(diǎn)到直線的距離。因此MP和PN的長(zhǎng)度可表述為點(diǎn)P到角兩邊的距離.通過(guò)剛才的構(gòu)造，可知無(wú)論P(yáng)點(diǎn)位于角平分線的何處，MP與NP總是相等的.也就是說(shuō)，命題“角平分線上的任意點(diǎn)P，到角的兩邊距離都相等”是真命題，我們將這一真命題又稱為角平分線的性質(zhì).

角作為幾何圖形的基本組成元素，本身是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是角平分線所在的直線.在探究角平分線的性質(zhì)時(shí)，構(gòu)造全等的過(guò)程及全等圖形的匯總，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)角軸對(duì)稱這一性質(zhì)的幾何直觀認(rèn)知，在今后的解題中，若出現(xiàn)圖11這樣的基本圖形結(jié)構(gòu)，能迅速反應(yīng)到三角形全等上，收獲更多的邊角關(guān)系，對(duì)開拓解題思路，提高解題速度有很大的幫助.

4? 小結(jié)

任何一種能力的培養(yǎng)都必須以教材為依據(jù)，分析教材、了解教材編排意圖，才能有效地完成發(fā)展學(xué)生能力的任務(wù)[ 2 ]。學(xué)生在初次接觸一個(gè)新定理時(shí)，給予其完整的探究，并在論證定理時(shí)將已知、求證、畫圖留給學(xué)生自己完成，能夠很好啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，誘發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力，從而達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]范林偉.發(fā)展核心要素 提升作圖能力[J].遼寧教育，2014（19）：36-37.

[2]廖芬順.培養(yǎng)小學(xué)中年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力的策略研究[J].亞太教育，2019（6）：79-80.