概念教學追求厚重而又靈巧

黃海連

摘 要：如何使概念教學既厚重悠遠，又顯靈巧之意、簡約之美？一方面，概念本質需要教師對數學的理解水平進一步提升，通過有序的、恰當的多個教學環節加以凸顯。另一方面，需要對全過程進行提煉的簡縮思維；需要收放有度、取舍有道并簡捷的教學設計；概念的形成過程需要“簡約”地經歷。

關鍵詞：凸顯本質；厚重悠遠；簡縮思維；簡捷設計；簡約經歷

一、問題提出

隨著課改的深入，概念教學注重概念的形成過程已成為共識。很多教師花費更多的時間和精力在解題上，對概念本質研究不夠，概念教學就像吃壓縮餅干，草草了事，取而代之的是大量的例習題操練，這種現象在常態課上普遍存在。另一種現象恰恰相反，就是“半截課”，所謂“半截課”是指概念形成過程過于冗長，占據大半節甚至近整節課時間，導致概念鞏固或知識運用板塊時間不足，前松后緊、虎頭蛇尾。經常如此顯然會擾亂教學秩序、脫離教學現實。這就需要我們在深入研究概念內涵、著力挖掘概念本質的基礎上，還要做到精中求簡、返璞歸真，呈現數學特有的“教育形態”，使得學生高效率、高質量地領會和體驗數學的價值和魅力，使概念教學既顯靈巧之意又有簡約之美。

本文以筆者執教的蘇科版《義務教育教科書·數學》九年級下冊第七章第一節“正切”為例加以闡述。

二、課堂回放

1.創設情境

教師展示幾張中山陵的圖片。

師：這是南京著名的風景名勝之——中山陵，同學們一定爬過中山陵的臺階。圖1中的兩段臺階哪段爬起來更累？為什么？

生（齊）：上面那個臺階爬起來更累，因為它更陡一些。

【設計意圖】從學生熟識的中山陵臺階引入，過渡到爬哪個臺階更累，再自然地過渡到本節課的主題之——判斷坡面的陡峭程度。

2.探究學習

（1）描述坡面的傾斜程度

師：我們把臺階的坡面抽象成直角三角形的斜邊，如何描述兩個坡面的傾斜程度？

生1：可用坡面與水平線的夾角來描述，夾角越大，坡面越陡。

師：我們把坡面與水平線的夾角稱為傾斜角，傾斜角越大，坡面越陡。

師：坡面的傾斜程度除了和傾斜角有關，還和什么量有關？

生（齊）：邊。

師：邊和角是三角形中兩類基本要素。除了用角來描述，還可以用邊，用一條邊能刻畫傾斜角的大小嗎？為什么？

生2：不能。因為如果一條直角邊相等，另一條直角邊不相等，傾斜角的大小也不相等。

（2）正切的定義

在直角三角形中，我們將∠A的對邊與它的鄰邊的比稱為∠A的正切，記作tanA，即：

【設計意圖】揭示函數關系。接著介紹“三角”的來歷，引出本章課題“銳角三角函數”，同時也了解到“正切”是銳角三角函數之一。將知識置于高位的、整體的、聯系的結構中，有利于學生形成良好的認知結構，還為最后學生提出想要研究的問題“直角三角形中銳角對邊比鄰邊叫正切，那么對邊比斜邊、鄰邊比斜邊叫什么？它們有什么性質？它的圖像是怎樣的？”埋下伏筆，發展學生發現問題、提出問題的能力。

三、幾點思考

1.凸顯主旨突出本質需厚重悠遠

常態課對“正切是銳角的函數”這個本質往往寥寥數語一帶而過，學生并未形成深刻的理解。因為“正切是銳角的函數”，我們可以得到“相等的角，它們的同名三角函數值相等”這個重要方法，通過角的轉移，進行線段比的轉移，進而替代相似更為簡捷地去解決問題；還可以將銳角的三角函數值脫離直角三角形客觀存在，進而學習“使用計算器求銳角三角函數值”、求“特殊角的三角函數”等內容。由此可見，只有理解正切的函數本質，才能在整章的學習過程中，形成真正理解數學的邏輯鏈。

概念本質教學不能停留在刻意呻吟膚淺的層面，而應通過有序的、恰當的多個教學環節加以凸顯，才能使得概念教學厚重而悠遠。

2.收放有度取舍有道方靈巧簡約

（1）靈巧在于簡縮的思維

一節課要小處著手，更要大處著眼。既要有微觀設計，又要有宏觀結構。本課細節上精心設置每一個預設問題，反復推敲每一句過渡語言，以求承上啟下、邏輯連貫、自然銜接。同時，在整體上又將全課結構藏于胸中，以求掌控全局、收放有度。整體一般比局部難以把握，它需要對全過程進行提煉的簡縮思維，對全局進行掌控的駕馭能力。

（2）靈巧在于簡捷的設計

筆者備課時也并非一帆風順，曾嘗試過一種開放式設計：讓學生畫圖探究是不是可以用一邊來描述坡面的傾斜程度。結果學生有的畫圖困難，還有的偏離主題，消耗了許多不必要的時間，影響后面正切概念鞏固和應用環節。新課程提倡開放、民主、探究的課堂，但有放就得有收。“放”培養發散思維、創新精神，“收”體現教師的引導作用。很長一段時間，許多教師上課不敢講，怕評課者詬病灌輸；不敢引，怕評課者詬病牽著學生鼻子走。要辯證地看待這個問題，“倡導”樹立辯證思想，當探則探、當講則講、當收則收、當放則放。一位教師課堂教學若能探講得當、收放自如，那教學技藝定是爐火純青，正所謂“教之道在于度”。一節課的教學內容中可能蘊含很多數學思想方法，我們選擇核心的、典型的、貼切的數學思想加以揭示，做到取舍有道，力求削枝強干。

（3）靈巧在于簡約地經歷

注重概念的形成過程、按照概念的形成方式掌握概念并不意味著要經歷人類認識這一概念的原過程。不錯，中學數學概念經歷了漫長的認識過程。但學生并不需要（也不可能）重復前人的認識活動，而只是“簡約”地經歷。研究表明，學生掌握概念的過程與人類社會認識概念的過程有相似性。這種相似性反映在學生形成概念的心理過程中，包括從大量的具體事例出發，辨別、抽象、分化、提出假設與檢驗假設以及概括，最后用張奠宙教授曾經指出：數學教學是要在很短的時間里，讓學生把握人類幾千年來積累的數學知識，一萬年以后怎么辦？老是探究，自己發現，還有效率可談嗎？關鍵在于掌握數學本質，精中求簡，保持核心價值。

參考文獻

[1]張奠宙，趙小平.當心“去數學化”[J].數學教學，2005，6.

[2]曹才翰，章建躍.中學數學教學概論[M].北京師范大學出版社，2008，4.