工科線性代數(shù)教學(xué)方法的思考

毛衛(wèi)紅 張正娣

摘 要：《線性代數(shù)》是中國大學(xué)工科專業(yè)的重要公共基礎(chǔ)課之一，也是很多學(xué)生認(rèn)為枯燥而且學(xué)不透徹的一門課程。文章從降低學(xué)習(xí)心理難度、提高學(xué)習(xí)興趣出發(fā)，對其教學(xué)方式、方法做了淺顯的探討。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；教學(xué)策略；學(xué)習(xí)興趣

作為大學(xué)工科專業(yè)的必修課，《線性代數(shù)》也是學(xué)習(xí)其他后繼課程的重要工具之一。其主要研究內(nèi)容是代數(shù)學(xué)中線性關(guān)系的經(jīng)典理論，內(nèi)容主要包括行列式，矩陣，線性方程組，向量組的線性關(guān)系，方陣的特征值理論以及二次型，線性空間（按照教學(xué)大綱屬于選學(xué)內(nèi)容）。概念的高度抽象性和定理的邏輯推理性是它固有的特點，這在一定程度上造成了學(xué)生在理解上的困難，不易掌握教學(xué)內(nèi)容；再加上較少的教學(xué)時數(shù)以及龐大的計算量，《線性代數(shù)》成了一門比較難學(xué)好的基礎(chǔ)課程。

經(jīng)過多年的發(fā)展積淀，《線性代數(shù)》的教學(xué)內(nèi)容、難易程度幾乎是不可以改變的。因此，教學(xué)過程的策略與方法變得尤為重要。鑒于有限的教學(xué)時數(shù)和教學(xué)工具，通過多年的教學(xué)實踐，筆者發(fā)現(xiàn)從如下思路和角度出發(fā)，在一定程度上會使學(xué)生對《線性代數(shù)》的學(xué)習(xí)變得不那么枯燥，甚至產(chǎn)生一定的興趣，提高學(xué)習(xí)效率，也為后繼學(xué)習(xí)做好鋪墊和準(zhǔn)備。

一、 引入方式的策略

《線性代數(shù)》最初是由解決線性方程組的問題而產(chǎn)生的，而且線性方程組的概念、解的存在性以及求解方法貫穿于本課程的始終。因此本課程的前面部分都可以圍繞學(xué)生相對熟悉的線性方程組展開討論，體會各種新概念產(chǎn)生的依據(jù)，即將行列式、矩陣、向量組等概念作為研究線性方程組問題的工具、方法和手段。例如，線性方程組的定義可聯(lián)系矩陣的概念：決定線性方程組的系數(shù)和常數(shù)按照一定的原則做成的數(shù)表就是矩陣；利用高斯消元法求解線性方程組時用到的三種方法可聯(lián)系矩陣的初等行變換的概念；同時可以明顯地看到：矩陣的秩其實就是方程組中的有效方程的最少個數(shù)；最難以理解的概念——向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)，即考慮對應(yīng)線性方程組是否含有多余方程的問題，對于齊次線性方程組而言，即考慮是否僅有零解的問題；而方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)的線性方程組的解的形式可聯(lián)系行列式的概念。這樣，線性方程組得到了全方位、多角度的詮釋，更重要的是通過從已有的熟悉的知識出發(fā)，讓學(xué)生從心理上降低了學(xué)習(xí)難度，不再排斥、抵觸這門課程，自然而然地進(jìn)入新課程的學(xué)習(xí)。

二、 幾何工具的巧妙、合理應(yīng)用

高度抽象是線性代數(shù)這門課的根本特點，將線性代數(shù)的概念用具體的、直觀的幾何形象加以解釋，從而在一定程度上克服抽象性的困難和形式上的障礙，加強直觀上的理解，建立感性思維，降低概念和定理在理解上的難度，達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量以及學(xué)習(xí)效果的目的。例如，線性變換可轉(zhuǎn)化為幾何上空間中的點，也即向量的變換；正交變換就是保持空間圖形幾何形狀不變的變換（也可以看作是向量的旋轉(zhuǎn)變換）；對于矩陣相似對角化中用到的重要工具——特征向量，只從概念上理解很抽象，學(xué)生會覺得不知所云，但若用幾何的觀點解釋，就會非常清晰、簡單。以二維向量為實例，向量可以看作平面上的點，特征向量則可轉(zhuǎn)化為在某種線性變換下與自身共線的向量，特征值即經(jīng)過線性變換后特征向量的伸壓系數(shù)；再比如，實對稱矩陣的相似對角化即實二次型的標(biāo)準(zhǔn)化，而實二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問題，以二元實二次型為例，即二次曲線的坐標(biāo)系的變換問題，這樣可易求得二次曲線的幾何量，如橢圓的長、短軸等；對于向量組的線性關(guān)系問題，則可以結(jié)合平面上的共線或者空間上的共面問題進(jìn)行教學(xué)。

三、 注重探究式教學(xué)以及與學(xué)生的教學(xué)互動

盡管學(xué)時較少，在課程教學(xué)過程中也不宜采用填鴨式教學(xué)，需注重探究式教學(xué)，即探索、討論式教學(xué)，啟發(fā)式問答，師生互動，有目的地引導(dǎo)學(xué)生積極主動思考，尤其是采用已有的知識，自然地獲得新知識，達(dá)到融會貫通、舉一反三的效果。這在一定程度上能激發(fā)學(xué)生的求知欲，也能培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和洞察力。例如矩陣的逆的定義、作用、存在條件都可以聯(lián)系數(shù)的逆的相關(guān)知識；矩陣的初等變換可借鑒行列式的三大性質(zhì)；根據(jù)高等數(shù)學(xué)中非齊次線性微分方程和對應(yīng)的齊次線性微分方程的解的關(guān)系，會更容易理解和掌握非齊次線性方程組和對應(yīng)的齊次線性方程組的解的關(guān)系。

教學(xué)互動不僅僅適用于中小學(xué)生，在重點、難點之處適當(dāng)?shù)靥釂枴⒈惶釂枺m時地請同學(xué)在黑板上做題同樣適用于大學(xué)生，讓學(xué)生參與到教學(xué)過程中，不僅有利于及時發(fā)現(xiàn)、處理課堂問題，同時可以讓學(xué)生在思想上緊張起來，思維活動起來，知識也就自然地掌握起來。

四、 理論與實踐適當(dāng)?shù)亟Y(jié)合

俗話說，興趣是最好的老師，而專業(yè)的數(shù)學(xué)教師相對缺乏對專業(yè)知識的了解及應(yīng)用。同時，《線性代數(shù)》教材缺乏應(yīng)用性，比較枯燥。教師如果通過身邊的實例和合適的科技案例，通過建模等方式讓學(xué)生初步接觸到線性代數(shù)與豐富的實際生活的聯(lián)系，不僅會加深理論知識的理解，而且有助于培養(yǎng)學(xué)以致用的能力。同時能拓寬學(xué)生的視野，活躍課堂氣氛，增加教學(xué)的吸引力，提高學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

五、 結(jié)束語

鑒于《線性代數(shù)》在實際應(yīng)用中的重要性，在課時允許的情況下，其教學(xué)如果可以從側(cè)重枯燥乏味的單純的課程內(nèi)容轉(zhuǎn)向側(cè)重培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)思維，提高邏輯思維能力與創(chuàng)新能力，最終提高解決實際問題的能力，將會更值得期待。

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作者簡介：毛衛(wèi)紅，張正娣，江蘇省鎮(zhèn)江市，江蘇大學(xué)。