從一個數的歸類失敗談試題命制的嚴謹性

☉江蘇省徐州市賈汪區英才中學 徐 倩

“0.1010010001…，這是個什么數？”“無理數，還是有理數？”一次測試后，學生追著老師問.原本很簡單的一個數的歸類，怎么就整出這么多的問題呢？筆者對試題及網上的相似考題進行了認真分析，發現了考題中存在的問題，現將分析所得呈現，供大家參考.

一、考題分析

試題：在這6個數中，無理數的個數為（）

A.1 B.2 C.3 D.4

考點分析：本題是實數單元的常見考題，是指向概念的基礎題.一般出現在學習了算術平方根、平方根、立方根、無理數、實數等知識之后，重點考查立方根和算術平方根的計算、無理數的概念等知識.

解法分析：本題的解答是較為簡單的，我們只需先將一些帶根號的數進行化簡，如然后確定其中的無理數，數一下個數便可得出答案.

考情分析：在考試時，不少學生沒有把握住無理數“無限不循環小數”的本質屬性，而是從數的“外形”上辨別無理數，誤以為“含根號的數”“含π的數”“人為構造的有規律的數”都是無理數，這樣得出的結果顯然是不對的.考試時，不少學生對0.1010010001…的歸類是心存疑慮的.有學生認為，0.1010010001…是一個有規律的無限不循環小數，應該是無理數；也有學生認為，題目并沒有明示省略號中所隱含的規律，無法知曉這個數是不是具有“無限不循環”的屬性，因而也就不能將其歸入到無理數序列.所以，得出本題的答案與0.1010010001…的歸類是有很大關系的.事實上，學生對0.1010010001…的不同理解讓題目成為試卷的“問題考題”，嚴重影響了試卷的信度.

二、考題存在的問題

為了進一步摸清這道考題存在的問題，筆者搜索了網上的相似考題.通過分析發現，包含0.1010010001…或類似數的題目大致分為兩類：一類除了給出數外，還在省略號后添加了規律說明——相鄰兩個1之間0的個數逐次增加1（下稱“題型1”）；另一類是只給出了數，沒有任何的規律說明（下稱“題型2”）.不管題型1還是題型2，其解題指向都是“判斷該數是否為無理數”.細細分析，題型1是規范的考題，學生能順利地找尋出其中的規律，并將其歸入到無理數中去，而題型2由于沒有規定數中省略掉的規律，省略號中究竟包含著怎樣的數不得而知，因而將其歸入有理數和無理數中的任何一類都是不適合的.上面的考題，就是以題型2的形式出現，因而學生解題時猶豫、解題后有疑慮也就不奇怪了.

在考試結束后，筆者與命題人進行了交流，摸清了命題人的命題意圖.在教無理數時，命題人在得到無理數的定義后，還從外形上給無理數進行了分類，給出了“根號型”“π型”“構造型”三個類別.然而，由于教學中沒有明確“構造型”無理數中數字規律的呈現方式，僅給出了幾個口述規律的數讓學生認識了此類數的表象.在考卷命制時，命題人以為只要給定與課堂教學中形式類似的數，學生便可以識別“構造型”無理數.這種“想當然”的命題思路，導致給出的試題嚴謹性缺失.在呈現給學生的文本中，看似給出的0.1010010001是有著規律的，命題人也以為學生會沿著這一“規律”解讀后面的省略號.然而，事實并不如命題人所愿，不少學生在考試中因省略號造成了思維障礙，沒能給出如命題人所愿的答案.

筆者認為，命題人給出的這種數的表述，確實容易造成學生理解方面的差異.如果像本文中的考題那樣，對數后的省略號含義如果不以文本的形式加以明確，我們是無法讓學生對省略號形成統一的理解的，因而其解答也就難免出現偏差.事實上，對于0.1010010001…是什么數，不要說學生說不請，就是老師也說不清楚.試想，如果給定3.141592653…，而不去明確它就是圓周率π，誰能說這個數一定是無理數，它會不會是3.1415926533333…或3.141592653653653…，我們不得而知，從這個角度看，說3.141592653…是圓周率π顯然是不妥的.

三、關于考題命制的三點啟示

1.契合學情是考題命制的起點

基于多年調研考試與模擬考試的命題經驗，筆者認為，契合學情是試題命制的起點.任何一次考試，我們都應建立在學生的認知現狀和發展水平之上，任何超出學生認知水平和解題能力的考試都是失敗的.試想，如果我們在考試中給出一道超學情范圍的考題，別說激發學生進一步學習數學的興趣了，就是摸清學生的學習狀況也是不可能的.不管這種試題的難易如何，我們都沒有理由設置一些偏離學情的考題，讓學生將寶貴的考試時間耗費在他們尚未達到的知識領域內.這樣的考題一旦出現，不管是對學業優秀的學生，還是對基礎薄弱的學生，都是十分不公平的.本文中的試題，看似學生已經具備了應試的基礎知識，他們是能夠解決這一問題的，實際上他們對試題中省略號含義的解讀是無法到位的，這不是知識足與不足的問題，而是學生確實缺乏對此類問題進行分析與解答的經驗，課堂中積累的少量與無理數相關的知識是經不住一道不嚴謹的考題的“摧殘”的.考后緊跟教師的追問，直接指向了無理數的本質，這足見他們在問題解決時思維已經走向深處，如果是在課堂上，這樣的探索是十分有益的.而摸底考試中，筆者認為這種不利于學情正向發展的考題還是不命制為妙.

2.理解概念是考題命制的基礎

數學試題，指向的是數學的基本概念，不僅要考查學生對數學知識的理解程度，還會關注到學生對數學知識的應用狀況.因而，命制任何一道試題，命題人務必對試題所指向的數學概念有一個深入的理解，務求在真正理解概念的基礎上形成合格的考題.還是來說說本文中的這道考題，顯然命題人沒有真正理解有理數的概念.通過溝通交流，筆者發現，他在課上注重教給學生的是無理數的外形，而非“無限不循環小數”這一內核.由此足見，他自己也沒能把無理數的概念了然于胸，而是在“外形”是否合規上下功夫，導致試題中給出了0.1010010001…這一形似而缺神的數，造成學生理解上的混亂，嚴重干擾了學生對無理數本質屬性的把握.這樣的考題的出現，從某種意義上來講，與命題人本人對數學概念深度解讀不到位是有著很大的關系的.如此考查成效，也給我們這些身在一線的教師一個啟示，那就是，命制每一道考題要首先厘清其涉及的數學概念，在考核概念的本質上下功夫做文章，而不能出一些“流于數學的外形，無視數學的實質”的考題干擾學生的數學視聽，影響學生數學“四基”的鞏固與“四能”的發展.

3.表意準確是考題命制的要求

不管哪一門學科，哪一場考試，都是指向學情的，都是想要真正了解學生的學習狀況的，因而，從摸清學生的學習狀況的角度考慮，我們所命制的試題其表意一定要準確無誤.這應該成為試題命制的基本要求.在試題命制時，一旦一些含糊其辭的文本作為試題內容呈現，很可能會引發學生在考試中異樣的思考，導致考情失真，讓試卷信度降低.數學試題，尤其是初中數學試題的命制，我們要關注多種不同的信息載體的規范性.命制試題，不僅要關注到文本的敘述是否準確，還要注意符號的使用是否合規，圖形的匹配是否到位……只有當我們把這一切都納入視野，做到極致了，一份好的考卷才有可能出現在學生的眼前，從而成就一次有效的教學測量.很顯然，本文中的這道考題是不合規的.最起碼，它在表述數0.1010010001…的內在規律上是不到位的.命題人誤將自己的想法和學生可能理解的規律自以為是地“埋”在了省略號中，而沒有通過文本進行追加描述，不同的學生產生理解上的偏差是再正常不過的.而那些真正理解無理數含義的學生，考完后追著老師問，足見他們已經知道試題的問題所在了.毋庸置疑，這樣的試卷“敗筆”，問題不在學生，命題人是要為這場意外“埋單”的.