波利亞數學解題思想在有余數除法中的應用

萬敏

摘 要 本文主要探究用波利亞數學解題的基本思想來指導小學數學解題法的探究過程，期待能優化小學數學解題方法，為數學課堂提供理論和實踐參考，培養學生養成有邏輯性，層次性，嚴密性的數學解題思想。本文以《孫子算經》中的“物不知數”題目為例，探究以學生為主體，應用波利亞數學解題的基本思想指導數學解題理論和實踐的微課堂。

關鍵詞 波利亞數學解題思想 數學核心素養 數學解題 微課

中圖分類號：O13 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.12.013

The Application of Polya's Idea of Mathematical Problem Solving

in Division with Remainder

WAN Min

（College of Mathematics and Statistics in Guangxi Normal University， Guilin， Guangxi 541004）

Abstract This paper mainly explores the basic idea of using polya mathematical problem solving to guide the primary school mathematical problem solving method exploration process， looking forward to optimize the primary school mathematical problem solving method， to provide theoretical and practical reference for the mathematics classroom， to cultivate students to develop logical， hierarchical， strict mathematical problem solving thought. In this paper， the topic of "the unknown number of things" in "Sunzi suanjing" is taken as an example to explore the micro-class in which students are the main body and the basic thought of solving mathematical problems is applied to guide the theory and practice of solving mathematical problems.

Keywords Polya mathematics problem solving thought; mathematics core accomplishment; mathematics problem solving; micro-class

教會學生如何思考是開設數學課程的主要目的。教會學生在數學解題過程中的思考訓練可以鍛煉學生的獨立思考能力、判斷能力、獨創性和想像力。George Polya認為“教會思考”意味著數學教師不僅僅應該傳授知識，而且也應當去發展學生運用能力，在技能、技巧、思考方式和思維習慣。[1]所以本文以波利亞數學解題的基本思想為指導。基于波利亞數學解題的基本思想，根據波利亞怎樣解題表，實現弄清問題，擬定計劃，實現計劃，回顧檢驗的四部曲解題過程。用理論來優化小學數學解題方法，提供理論和實踐參考，培養學生養成有邏輯性，層次性，嚴密性的數學解題思想。案例選自南北朝時期的數學著作《孫子算經》中的“物不知數”題目，增加學生學習的趣味性，并體會到中國數學的博大精深。在例題講解中，立志于滲透數學核心素養，將數形結合思想，類比思想穿插其中，讓學生體會到數學的靈活性，為以后學習數學插值法，學習數學知識，建立堅實的基礎。

1 波利亞數學教育思想簡述

波利亞數學教育的根本目的是發展學生的解決問題的能力，教會學生思考。其兩大原理是理解數學和理解教學法。三條原則分別是：（1）主動學習，學東西的最好途徑是親自去發現它。（2） 有最佳動機，重視引入問題，盡量詼諧有趣，在做題前讓學生猜該題的結果，激發興趣，培養探索習慣。（3）講解過程中循序漸進，人類知識以直觀開始，由直觀進至概念，形成結構。 基于三條原則，優化學習過程，使學生經歷探索，闡明，吸收，三大學習過程。[2]

2 數學核心素養數簡述

教育部在《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》提出，創建“核心素養體系”，聚焦本學科的本位核心素養。數學核心素養中，要體現數學學科本質，學科育人價值。其中邏輯推理，本案例主要圍繞直觀想象和邏輯推理。

2.1 直觀想象

本文案例用畫圓來分析包含問題，輔助學生理解題意，應用數形結合的思想。案例中滲透數形結合思想，培養學生直觀想象能力。直觀想象，借助幾何直觀，空聞想象判斷事物的形態與變化。[3]

2.2 邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素辨。一個是從特殊到一般的推理，歸納、類比，二是一般到特殊的推理，演繹。邏輯推理是得到結論、數學體系。[3]在本位的案例的拓展題目中，應用類比思想，培養學生邏輯推理能力。通過類比，發現插值問題與“有物不知其數的問題” 結構相同，因此可以考慮用“疊加法”解決類似問題。

3 基于波利亞解題思想，設計數學解題微課案例

3.1 數學解題案例的基本背景

案例選擇南北朝時期的數學著作《孫子算經》中的“物不知數”題目：有物不知其數，三三數之剩a，五五數之剩b，七七數之剩c，問物幾何？ （學生已學過有余數的除法）

3.2 數學解題微課的課堂實錄分析

階段一：弄清問題。

【片段設計】問題1：你要求解的是什么？

問題2：隱藏關鍵信息是什么？

問題3：你能畫張圖，理清思路嗎？畫圖，引入適當的符號。

【片段實錄】：

師：南北朝時期的數學著作《孫子算經》中有一道的、“物不知數”題目。請大家將這道“物不知數”的題目朗讀一遍，請問讀的時候需要注意哪些數學信息？

生：要審題，圈出關鍵詞，找到已知條件，所求問題是什么。

師：正是如此！審好題目，讀懂題目是關鍵。

師：先請同學們翻譯下這段文字。

生：已知一個數被3除余數是a;被5除余數是b;被7除余數是c，求：這個數是多少？

師：根據什么原則可以判斷這道題目中的a，b，c可能是幾？

生：根據余數比除數小的原則，一個數被3除余數a可以是0、1、2;被5除余數b可以是0、1、2、3、4;被7除余數c可以是0、1、2、3、4、5、6。

師：同學們真棒，一眼就分辨出了這道題就是考察我們是否掌握了余數定理。

所求的數要滿足這三個條件中的幾個條件，還是同時滿足，請同學們分析。

生：老師，我覺得可以用畫圓來分析包含問題。

師：這位同學真棒！我們可以應用數形結合的思想，畫圓來分析包含問題。

【片段評析】課改后，關鍵在于培養學生的讀題能力，獨立思考能力，數學核心素養和。波利亞解題表中，步驟一弄清問題向學生提出：（1）未知是什么？已知是什么？（2）各部分分開，理清條件。（3）畫圖，理清思路。三個步驟明確指導學生獨立思考，讓學生對問題的思考有邏輯，有層次。滲透數形結合，培養學生直觀想象能力，用畫圓理解三個條件之間的包含關系。

階段二：擬定計劃。

【片段設計】

問題1：是否解決過問題相同，而形式不同題目？

問題2：可解決一個有關的問題。想出一個更容易解決問題？一個更普遍，特殊問題，類比問題？

【片段實錄】：

師：現在我們根據畫圖分析得到，所求的數可以除以3，5，7分別除盡或有余數，三個條件滿足一個或幾個都要滿足。這時候我們可以用什么方法？

生：疊加法的方法，可以試試把三個條件寫到同一個式子中。

師：把三個條件寫到同一個式子中時，a，b，c的取值有多種，這時候怎么研究方便？

生：老師，我知道，我們可以取特殊值，具體分析。

生：我們可以從最簡單的入手，取a=1，b=1，c=1。

師：同學們這個想法非常棒，當問題復雜的時候，我們可以取特殊值，從特殊到試一試。

生：我先找到用3除余1、用5和7除均能除盡的數—— 70;再找到用5除余1、用3和7除均能除盡的數—— 21; 找到用7除余1、用3和5除均能除盡的數—— 15。

生：我還找到這三個圓交集的部分，就是同時能被3，5，7除盡的最小數為[3，5，7]=105。

【片段評析】學生通過獨立思考，發現不能解決所提出的問題。根據波利亞解題表，教師啟發學生可先解決一個更容易著手的有關問題，一個更普遍的問題，一個更特殊的問題，一個類比的問題。在波利亞解題思想的指導下，學生思考問題由易到難，由淺入深，從而使學生的思維更具有層次性，邏輯性。在解題過程中，志在培養學生的數學核心素養。教師的每一次啟發性提問，對學生的自主探究引導性話語皆在訓練學生的邏輯推理能力。

階段四：實現計劃，取特殊值，引入參數。

【片段設計】實施求解計劃，驗證每一步是否正確？

【片段實錄】：師：我們剛才同學們提到了用疊加法來將這三個條件同時滿足，請同學們開動腦筋，你能表示出這個數嗎？

生：我們算出被3，5，7除余1時的特殊值，將這些特殊值分別乘a，b，c即為余數為a，b，c時的值。

【片段評析】擬定計劃后，教師根據波利亞解題表，引導學生實施計劃，檢驗。

階段四：回顧檢驗。

【片段設計】

總結方法，能否一題多解。

【片段實錄】：

師：這道題目解答完成以后，我們應該做什么？

生：檢驗！

生：我們可以把a，b，c分別等于2，3等其他值帶入，判斷得到的數是否符合題目條件。

生：我們也可以從頭到尾，依次檢查每一步是否推理有效。

師：同學們做題真仔細，做任何題目我們一定不能忘記，要回顧檢驗！

師：大家真聰明，和我們古代數學家研究的結果一樣。南宋時期的數學家秦九韶研究出了這題的系統算法。這就是著名的中國剩余定理。再次回顧下這道題目，你從中學到了什么，有沒有什么啟示？

生：古人真聰明！我們要好好讀書，像他們一樣探索問題，為后人留下寶貴的財富。

生：今天我學會了畫圖分析題目，體會到了數形結合百般好，以后我要常用。

生：對于有物不知其數的題目，和我以前看到爸爸看的書中的插值問題看著類似，我們可以借用其的疊加法來解決這類問題。

師：看來同學們今天收獲很多，古人的智慧令我們驚嘆，我們通過自己的研究努力，也做到了正確求解，并且體會到了，數形結合法，類比疊加法的好處。

【片段評析】

（1）先檢驗推理是否有效的，取特殊值，檢驗符合題意。

（2）教師引導學生回顧解題過程，首先培養學生良好的思維習慣。明確解題首先弄清題意，明確數學知識點，即有余數除法的定義、通過類比，發現插值問題與“有物不知其數的問題” 結構相同，因此可以考慮用“疊加法”，并引入參數題目的經驗），并相應將兩組信息資源作合乎邏輯的有效組合。

（3）在解題方法上，這個案例是類比法的一次成功應用，通過類比，發現插值問題與“有物不知其數的問題” 結構相同，因此可以考慮用“疊加法”，并引入參數。

（4）在思維策略上，這采用畫示意圖理解題意，（下轉第60頁）（上接第27頁）數形結合的方法。類比，發現插值問題與“有物不知其數 的問題” 結構相同，因此可以考慮用“疊加法”，并引入參數，從而解決插值問題。

（5）教師揭示案例源自南北朝時期的數學著作《孫子算經》中的“物不知數”題目，在情感上使學生體會到學習的趣味性，中國數學文化的博大精深。

4 基于核心素養的案例拓展應用

教師在教學生解題時，要做到一題多解、一題多變，一題多用。通過類比，發現插值問題與“有物不知其數的問題” 結構相同，因此可以考慮用“疊加法”。案變式：

問題：有函數不知其式，在處取值a，在處取值 b，在處取值 c ，求函數解析式。

通過類比，發現插值問題與“有物不知其數的問題” 結構相同，因此可以考慮用“疊加法”：

先作函數p（x） ，在處值為1，在， 處值均為0;

再作函數q（x），在處值為1，在，處值均為0;

再作函數 r（x） ，在處值為1，在，處值均為0。

通過類比，發現插值問題與“有物不知其數的問題” 結構相同，因此可以考慮用“單因子湊成法”：

不妨設

參考文獻

[1] George Polya.數學的發現（第二卷）[M].美國：科學翻譯出版社.

[2] George Polya.怎樣解題：數學思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2011：11-1.

[3] 中華人民共和國教育部制定.數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2017.