拆解高考數學壓軸題教學應用一例

江蘇省南京外國語學校仙林分校 (210046) 魏安龍

高考數學試卷中的壓軸題往往都是難題中的難題，但是具有較高的教學價值.學生怕做，教師不愿意講.在這樣的情況下，試題的價值除了考試選拔功能外其教學價值就很難得到發揮.為了有效的利用高考壓軸題的教學功能，充分發揮試題的指導以及復習價值，本人嘗試將高考壓軸題進行拆解，根據試題的知識方法背景，編制出一組由易到難的題組，低起點，高輸出.這樣的拆解，化難為易,由易到難,教師選擇以后，可以適合于所有學校所有層次學生的教學.還難題于教學,還難題于本來面目.

一、試題

(1)求f(x)=f1(x)對所有實數x成立的充分必要條件(用p1,p2表示)；

這是2008年江蘇高考數學試卷最后一題，即第20題.

圖1

二、試題的拆解

問題1 畫出函數y=|x-1|的圖像，并寫出其單調區間及其對應的單調性.

簡解：(方法1)分類討論;方法2：直線y=x-1翻折;方法3：y=|x|平移.

參見示意圖1.

圖2

問題2 在同一坐標系中畫出f1(x)=|x-1|和f2(x)=|x-3|的圖像，并寫出函數h(x)=

簡解：參見示意圖2，(-∞,1),(2,3)減,(1,2),(3,+∞)增.

圖3

問題3 在同一坐標系中畫出f1(x)=3|x-1|和f2(x)=3|x-3|的草圖，并寫出函數h(x)=

簡解：參見示意圖3，(-∞,1),(2,3)減,(1,2),(3,+∞)增.

圖4

問題4 如果f1(x)=|x-1|和f2(x)=1+|x-3|，定義函數h(x)=

問題5 如果f1(x)=3|x-1|和f2(x)=31+|x-3|，定義函數h(x)=

圖5

圖6

問題6 如果f1(x)=|x-p1|和f2(x)=|x-p2|(p1,p2為常數)，定義函數h(x)=

圖7

圖8

簡解：參見示意圖7，m≥2.

問題8 如果f1(x)=|x-p1|和f2(x)=m+|x-p2|(p10)，定義函數h(x)=

簡解：參見示意圖8，m≥p2-p1.

圖9

問題9 如果f1(x)=3|x-p1|和f2(x)=3m+|x-p2|(p10)，定義函數h(x)=

簡解：參見示意圖9，m≥p2-p1.

圖10

簡解：參見示意圖10，log32≥|p2-p1|.

圖11

問題11 若已知函數f1(x)=3|x-p1|,f2(x)=2·3|x-p2|(x∈R,p1,p2為常數)，函數f(x)定義為:對每個給定的實數x,f(x)=

f(x)=f1(x)對所有實數x成立的充分必要條件(用p1,p2表示).(此題為2008江蘇高考第20題(1))

簡解：參見示意圖11，log32≥|p2-p1|.

問題12 如果f1(x)=|x-1|和f2(x)=m+|x-3|(m>0)，定義函數h(x)=

問題13 如果f1(x)=|x-p1|和f2(x)=m+|x-p2|(p10)，定義函數

圖12

問題14 如果f1(x)=|x-p1|和f2(x)=log32+|x-p2|(p1,p2為常數)，定義函數h(x)=

變更分析處理對變更調查的精度和準確性有著直接影響，而重構數據的拓撲關系是這一內業處理環節中的難點之一。在實際應用中，只有部分區域會發生變更，因此，本系統對局部拓撲的方法進行了設計。局部拓撲主要包括增刪合并圖斑與改變部分圖斑的界址點數據2種方式，這2種方式均可促進系統運行效率的提高。

簡解：參見示意圖12，當log32≥|p2-p1|時，(p1,b)增.當log32<|p2-p1|時，(p1,

圖13

問題15 如果f1(x)=

|x-p1|和f2(x)=m+|x-p2|(p10)，定義函數h(x)=

設a,b為兩實數，滿足a

問題16 若已知函數f1(x)=3|x-p1|,f2(x)=2·3|x-p2|(x∈R,p1,p2為常數)，函數f(x)定義為:對每個給定的實數x,f(x)=

圖14

三、原試題的完整解答

解：(1)由f(x)的定義可知，f(x)=f1(x)(對所有實數x),等價于f1(x)≤f2(x)(對所有實數x)這又等價于3|x-p1|≤2·3|x-p2|，即3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2對所有實數x均成立.(*)

由于|x-p1|-|x-p2|≤|(x-p1)-(x-p2)|=|p1-p2|(x∈R)的最大值為|p1-p2|，故(*)等價于3|p1-p2|≤2，即|p1-p2|≤log32，這就是所求的充分必要條件.

(2)分兩種情形討論

圖15

圖16

f(x)=

在區間[a,b]上，f(x)=

四、感悟與收獲

為了讓學生在知識能力方面做到站的高看得遠，就需要教師在教學過程中，在備課環節做到腳踏實地，從基礎開始，從學生的最近思維發展區開始，一步一個腳印.這樣穩扎穩打，有利于打牢基礎,提高能力.對于具有價值的典型問題,作為教師,作為高考研究者,要做好的一件事情就是抽絲剝繭,讓試題現出真容.再通過教學,做到使學生對戴了帽子口罩架墨鏡的問題我還認識你！作為教師,需要多角度審視各種題目,尤其是有較高價值的高考試題.走出迷宮需要思想，帶領學生走出題海需要教師的智慧！對于高考命題人員來說,他們的做法是從1可以到n,而我們老師需引導學生從n聯想到1.