新中考背景下初中數(shù)學(xué)“好題”例析

潘振南

摘要：本文及本課題所說的“新中考背景”，指從2017年開始以來的福建省中考統(tǒng)一命題、統(tǒng)一考試等中考改革的新背景，本次新中考改革強(qiáng)調(diào)落實(shí)“立德樹人”的根本任務(wù)，強(qiáng)調(diào)中考命題要符合義務(wù)教育特點(diǎn)，要有利于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，要重視考查學(xué)科知識的綜合應(yīng)用能力，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。本課題所說的“初中數(shù)學(xué)考試”，指初中學(xué)段數(shù)學(xué)科的各種考試，包含課時小測、章節(jié)考試、期中考試、期末考試、畢業(yè)考試、升學(xué)考試。本課題所說的“命題導(dǎo)向研究”，指從命題的指導(dǎo)思想、基本原則、考試內(nèi)容、試題結(jié)構(gòu)、試卷難易度等方面隨著新背景、新時代的變化而進(jìn)行指導(dǎo)性、方向性的研究。本課題組經(jīng)過一年多的探索研究，收集積累了一些“好題”。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);好題例析;立德樹人

中圖分類號：G633.6 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? 文章編號：1992-7711（2019）09-0123

對初中數(shù)學(xué)教師來說，深入研究命題導(dǎo)向，是教師反思自身教學(xué)行為、改進(jìn)教學(xué)方法的重要環(huán)節(jié)之一。因?yàn)榇蠹叶贾溃踔袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)是以“題”為載體的，處在教育一線的數(shù)學(xué)教師要善于圍繞教學(xué)的主線和每節(jié)課的核心內(nèi)容，精選“好題”、改編“好題”;要善于從數(shù)學(xué)知識的相互聯(lián)系及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，用好題、巧解題、多變式，要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，突出以問題設(shè)計為數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的重點(diǎn)，讓學(xué)生少做題、輕松學(xué)、有興趣，最終培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考。教師要研究“數(shù)學(xué)好題”，可從不同的課型、課后作業(yè)及各級各類考試等設(shè)計中不斷積累和總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。

一、初中數(shù)學(xué)“好題”的理論標(biāo)準(zhǔn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）明確指出：數(shù)學(xué)課程評價的根本目的是為了促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，改善教師教學(xué)。命題應(yīng)發(fā)揮數(shù)學(xué)課程評價的多種功能。數(shù)學(xué)考試命題的出發(fā)點(diǎn)和歸宿應(yīng)該是促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，試題要給學(xué)生的生命舒展、個性發(fā)展留下空間，從內(nèi)容到形式都要朝著有利于學(xué)生發(fā)展的方向變革，這樣的試題才具有效度、信度。就新中考背景下評價一道初中數(shù)學(xué)題是否為“好題”的理論標(biāo)準(zhǔn)，筆者認(rèn)為可以歸納以下幾個要點(diǎn)。

1. 科學(xué)性原則：試題內(nèi)容符合科學(xué)性，沒有出現(xiàn)科學(xué)性的錯誤，沒有涉及到學(xué)術(shù)上的爭議;

2. 規(guī)范性原則：試題編制符合規(guī)范性，題型使用得當(dāng)，敘述表達(dá)規(guī)范，版面格式規(guī)范;

3. 公平性原則：試題素材、背景材料等的使用公平（比如城市與農(nóng)村學(xué)生均能接受的情景、素材）;

4. 導(dǎo)向性原則：試題導(dǎo)向明確，能體現(xiàn)近幾年中考數(shù)學(xué)命題改革的變化趨勢;

5. 思想性原則：試題能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育價值觀和數(shù)學(xué)的文化性的考查;

6. 創(chuàng)新性原則：試題在背景、形式、內(nèi)容或解答方法等方面具有一定的新穎性與獨(dú)特性，能診斷考生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力。

二、初中數(shù)學(xué)“好題”的特征例析

初中數(shù)學(xué)教學(xué)本身就有不同情境，在不同情境中用不同的題，其教育教學(xué)的價值、效益就不同。同一道題，在不同情境中的教育教學(xué)價值、效益也不一樣。因此，筆者認(rèn)為所謂的“數(shù)學(xué)好題”，撇開具體的題型，就是試圖找到一種大家都能接受的相對合理的“數(shù)學(xué)好題”的一些基本要素。現(xiàn)例析數(shù)學(xué)“好題”所具備的一些特征。

1. 關(guān)注課標(biāo)教材，重視基礎(chǔ)考查

一道好試題不一定就是一道難度很高、很完美的題目。例如，每年的各地市質(zhì)檢卷及中考卷等綜合卷都會突出對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想及基本活動經(jīng)驗(yàn)的考查，選擇題、填空題、解答題這三種題型的前半部分一般情況下都是基礎(chǔ)題中的容易題，絕大多數(shù)學(xué)生都能得分，這些試題注重通性、通法，淡化特殊技巧，較好地體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、公平性及普及性，這里就不一一舉例了。

2. 關(guān)注核心素養(yǎng)，滲透思想方法

高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)與初中《新課程標(biāo)準(zhǔn)》的核心素養(yǎng)對比，如下表所示：

《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出的10個核心概念指向?qū)W習(xí)主體（學(xué)生）的特征，是學(xué)生在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程中最應(yīng)得到培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。從初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)與要求出發(fā)，結(jié)合近幾年中考數(shù)學(xué)命題的變化趨勢，我們應(yīng)當(dāng)將數(shù)感融入運(yùn)算能力，將符號意識融入模型思想，進(jìn)而將空間概念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識作為初中階段“好題”編制的關(guān)注點(diǎn)。

（1）空間觀念

例1：下面的幾何圖形是由四個相同的小正方體搭成的，其中主視圖和左視圖相同的是（ ?）。

評析：本題考查簡單幾何體三視圖，屬于基礎(chǔ)性知識的考查，由課本習(xí)題改編而來，但不是單純地讓學(xué)生識別一個幾何體的某一種視圖，而是綜合考查學(xué)生的空間觀念。

（2）幾何直觀

例2：若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組<5x-2≥x+a有且只有四個整數(shù)解，則a的取值范圍是________。

評析：本題沒有給出數(shù)軸，其目的是希望學(xué)生能夠自覺地畫出數(shù)軸，考查學(xué)生對“見數(shù)思形”的敏感性。利用數(shù)軸求不等式組的解集，有利于學(xué)生通過直觀性探索解決問題。

（3）運(yùn)算能力

例3：先化簡÷（-x+1），然后從-

評析：本題屬于分式的混合運(yùn)算，同時考查了分式的意義。運(yùn)算能力要求為第二級水平，這是一種常見的題型，也是本省這兩年中考都考到的題型。本題考查學(xué)生運(yùn)算能力的水平，主要表現(xiàn)在兩個方面：一是在根據(jù)定義、公式、法則等進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中呈現(xiàn)出來的正確、合理、靈活和熟練程度;二是對運(yùn)算的理解和尋求合理簡潔的運(yùn)算途經(jīng)解決問題的水平。

（4）推理能力

例4：在不透明的袋子中裝有一個幾何體模型，兩位學(xué)生摸該模型并描述它的特征。

甲同學(xué)：它有4個面是三角形;乙同學(xué)：它有8條棱。

該模型的形狀對應(yīng)的立體圖形可能是（）。

A. 三棱柱 ? ? ?B. 四棱柱 ? ? ? ?C. 三棱錐 ? ? ? D. 四棱錐

評析：數(shù)學(xué)的每個分支都充滿了推理，所以考查學(xué)生推理能力的載體是全方位的。而考查空間觀念，也可以用排除法，比如本題：三棱柱只有兩個三角形的面，所以排除A;四棱柱沒有三角形的面，所以排除B;三棱錐有四個三角形的面，但是只有6條棱，所以排除C;剩下D選項(xiàng)，且四棱錐符合條件，故選D。

例5：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，其函數(shù)y與自變量x之間的部分對應(yīng)值如下表所示：

點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數(shù)的圖像上，則當(dāng)1

A. y1>y2 B. y1

評析：本題的背景材料是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容——二次函數(shù)。先由表格中的數(shù)據(jù)可以推出該二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為直線x=2，再由函數(shù)的單調(diào)性可以得到答案。本題選擇值的設(shè)置很嚴(yán)謹(jǐn)，等號取不取的問題必須重視。

（5）模型意識

例6：如下右圖，在△ABC中，AC=BC=25，AB=30，D是AB上的一點(diǎn)（不與A、B重合），DE⊥BC，垂足是點(diǎn)E，設(shè)BD=x，四邊形ACED的周長為y，則下列圖像能大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（ ? ? ）。

評析：本題綜合考查函數(shù)的圖像、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用相似構(gòu)造方程表示出DE和BE，再利用周長公式構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式。本題如果改為一道解答題（如：求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系并畫出圖像）效果可能會更好，因?yàn)檫x擇值的設(shè)置，由自變量的取值范圍可以直接舍去A、B、C三個答案。

（6）應(yīng)用意識

例7：建筑工人砌墻時，經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，其運(yùn)用到的數(shù)學(xué)原理是（）。

A. 兩點(diǎn)之間，線段最短

B. 兩點(diǎn)確定一條直線

C. 經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線

D. 以上均不正確

例8：如下圖，小明到小穎家有四條路，小明想盡快到小穎家，他應(yīng)該走第______條路，其中的數(shù)學(xué)道理是____________。

評析：例7、例8這兩題從生活現(xiàn)象入手，揭示看似簡單且習(xí)以為常的行為背后有著深刻的數(shù)學(xué)原理，考查學(xué)生利用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題。類似的，在初等數(shù)學(xué)中，大量的數(shù)學(xué)知識都具有現(xiàn)實(shí)背景，如三角形的穩(wěn)定性等，都提供了從數(shù)學(xué)的角度解釋生活現(xiàn)象的鮮活的命題素材。

（7）創(chuàng)新意識

例9：定義：如果一個數(shù)的平方等于-1，記為i2=-1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫這個復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個復(fù)數(shù)的虛部。它的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類似。

例如計算：（2-i）+（5+3i）=（2+5）+（-1+3）i=7+2i;

（1+i）×（2-i）=1×2-i+2×i-i2=2+（-1+2）i+1=3+i;

根據(jù)以上信息，完成下列問題：

①填空：i3=________，i4=________;

②計算：（1+i）×（3-4i）;

③計算：i+i2+i3+…+i2017。

評析：本題向初中學(xué)生提出了一個新的概念——復(fù)數(shù)，約定了一種新的運(yùn)算，通過創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求學(xué)生通過觀察分析、閱讀理解，并與已知認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識進(jìn)行同化，從而創(chuàng)造性地解決問題，對學(xué)生獨(dú)立思考、加工提取信息及知識遷移和創(chuàng)新的能力要求較高。

3. 關(guān)注數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)德育導(dǎo)向

例10：《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚黃金重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意得（ ? ? ）。

A.

B.

C.

D.

評析：本題選自我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作《九章算術(shù)》，以此弘揚(yáng)中華數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)民族自豪感，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程育人功能的德育導(dǎo)向。

4. 關(guān)注數(shù)學(xué)理解，考查運(yùn)用能力

例11：如下圖，反比例函數(shù)y=（k≠ 0）的圖像經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥x 軸，垂足為D，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，連接AO，連接BO交AC于點(diǎn)E，若OC=CD，四邊形BDCE的面積為2，則k的值為_______。

評析：本題背景來源于教材中反比例函數(shù)及相似三角形的性質(zhì)，深入挖掘“反比例函數(shù)”的定義，考查學(xué)生對參數(shù)的準(zhǔn)確理解，還要結(jié)合相似的相關(guān)知識來解題，突出引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成過程和理解概念本質(zhì)的重要性。

5. 關(guān)注操作實(shí)踐，助推思維發(fā)展

例12：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以點(diǎn)B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交線段AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD。

（1）若∠A=28°，求∠ACD的度數(shù);

（2）設(shè)BC=a，AC=b;

①線段AD的長是方程x2+2ax-b2=0的一個根嗎？說明理由。

②若AD=EC，求的值。

評析：本題在設(shè)計上以學(xué)生熟悉的作圖入手，通過實(shí)踐活動，發(fā)現(xiàn)所需要的條件，從而進(jìn)一步解題。當(dāng)然本題設(shè)計的亮點(diǎn)還在于與勾股定理、一元二次方程等知識點(diǎn)的綜合考查。

三、初中數(shù)學(xué)“好題”的一題多變

數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為：“一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題過程中，提高他們的才智與推理能力。”基于上述理念，我們認(rèn)為可以從一道“好題”出發(fā)，借題發(fā)揮，探索一題多解、一題多變、一題多用的價值，以期培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從多層次、廣視角、全方位地認(rèn)識、研究問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

例如：華東師大版初中數(shù)學(xué)教材九年級上冊第2頁，問題1：

如圖1，用總長為20m的圍欄材料，一面靠墻，圍成一個矩形花圃，怎樣圍才能使花圃的面積最大？

改編一：如圖2是一個矩形花圃，除墻一面外，原來的三邊改成中間再增加兩條與AB平行且相等的邊;當(dāng)然還可增加四條邊等。

改編二：（2015年·泉州中考24題）：某校在基地參加社會實(shí)踐活動中，帶隊(duì)教師考問學(xué)生：基地計劃新建一個矩形的生物園地，一邊靠舊墻（墻足夠長），另外三邊用總長69米的不銹鋼柵欄圍成，與墻平行的一邊留一個寬為3米的出入口，如圖所示，如何設(shè)計才能使園地的面積最大？下面是兩位學(xué)生爭議的情境：

請根據(jù)上面的信息，解決問題：

（1）設(shè)AB=x米（x>0），試用含x的代數(shù)式表示BC的長;

（2）請你判斷誰的說法正確，為什么？

改編三：（2018年·福建中考23題）：如圖，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄。

（1）若a=20，所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所利用舊墻AD的長;

（2）求矩形菜園ABCD面積的最大值。

總之，正如波利亞所說：“好的題目和蘑菇一樣，它們都成串生長。”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要求教師要具有一雙善于發(fā)現(xiàn)好題的眼睛，并且面對好題，還要有絕不放過的精神。在平面幾何中，三角形的題目可以改編成四邊形，平行四邊形可以改編成菱形或矩形或正方形等，再結(jié)合圖形的變換，可讓“好題”好上加好。

（作者單位：福建省南安市教師進(jìn)修學(xué)校 ? 362300）