高中數學立體幾何問題解析方法分析

韓嘯天

摘要：高中立體幾何在我們學生的高考中占有較大的比重，是高考的必考知識點，近來立體幾何已成為各大試題中的新寵。但在具體的試題解析中其題型復雜多樣，對于我們學生來說解題時具有一定的難度，如何提升立體幾何解題質量對我們學生來說至關重要。因此對于高中數學立體幾何我們要全面掌握其解題技巧，從而提升解題質量。本文從函數思想和空間解題思想出發對高中數學立體幾何的解題方法進行了全面的分析和探討。

關鍵詞：高中數學;立體幾何;解題技巧;法向量

引言

從近年來的高考試題中分析可以看出，立體幾何在高考試題中的出現的頻率越來越高，且題型復多變，難度也在逐年增加，為我們的學習增加了一定的難度。立體幾何對于空間想象能力較強的同學來說顯得格外容易，但立體幾何中涉及的定義、定理較多，且不同的解題思路，其解題方法存有較大的差距，因此我們在學習中一定要充分掌握相關知識，勤于練習，在解題中開發自己想象空間，準確把握解題技巧，從而實現立體幾何能力的提升。

一、函數思想在立體幾何中的運用

在立體幾何的題型中常常會出現求距離的題型，這一類型的題屬于立體幾何中較難的題型，因為立體幾何本身對我們的學生的想象能力就有一定的要求，同時解析幾何方面的知識也有所涉及，如此在一定的程度上增了難度。我們在解決立體幾何中的距離問題時，可借助函數知識來輔助解答，函數本身與圖形就是與相聯系的，因此在解析異面直線距離的問題時，我們首先要找出異面直線即面與面之間的最短距離，當我們無法找出這條直線時就借助函數來解決，建立函數假設x，列出相關函數，然后結合異面直線的范圍，取最小值的x，如此異面直線的距離問題就可輕易解決了[1]。

例如，如圖所示，AB是圓O的直徑，PA是垂直于圓O的所在平面，點C是圓上的任意一點，設角BAC為α，PA=AB=2R，求異面直線PA與AC之間的距離。

解析，我們無法直接構建空間直角坐標系，那么就無法直接用法向量的方式來求解，那么這是就需要我們利用空間思維來進行轉化，將所求得的PB與AC之間的距離轉化為PB上任意一點與直線AC 之間距離，從而設定設定變量，構建函數，求出的最小值即為異面直線的距離。

解題步驟：取PB上任意一點M，讓MD與AC垂直，并于點D相交，從而就可得出信息MH垂直于AB，MH也與面ABC垂直，設置函數，令MH=x，因此列出函數關系式MD2=X2+[（2R-X）sinα]2，對函數進行進一步解析，求得結果，取最小值。因此我們在進行立體幾何解析時可將距離問題轉變為函數的最大值最小值問題，從而簡化了解題步驟。

二、利用空間幾何解題思想解析立體幾何問題

將高中的空間幾何圖形其平行關系概括為面與面平行、線與線平行、面與線平行，垂直關系可概括為面與面垂直、線與線垂直、面與線垂直，這些都可以借助向量的關系進性轉化。很多時候我們采用立體幾何的方法來證明垂直會有一定的難度，但通常情況下我們可以建立空間直角坐標系。我們可以利用空間坐標標注立體幾何的位置，如（x1，x1，z1），在試題中如果想要證明線與面的垂直我們可以先分別解出直線的方向向量與面的法向量，通過證明法向量與方向響亮的平行來得出面和線的垂直[2]。

例題，平面α的法向量為，直線l的方向向量為，兩條直線l1和l2的方向向量分別為1與2，平面α1與α2的法向量為1與2，那么以上向量關系可以表示為：l1平行于l2推導出1平行與2推導出n2=k1，k（線與線的平行）、l平行于α推導出垂直于或者是與α內的兩個相交向量1與2（線與面的平行）、α1平行于α2可推導出1平行于2推導出2=k1，k（面面平行）;l垂直于α可推導出平行于推導出=k，k（線面垂直）、l1垂直于l2推導出1垂直于2推導出1·2=0（線與線的垂直）、α1與α2推導出1垂直于2推導出1·2=0（面與面的垂直）

三、利用幾何思想分析空間圖形間的距離和夾角

立體幾何圖形的解題過程中認真審題也是解析的過程，很多時候題干中會隱藏很多信息，如在題目給出的距離和夾角，我們通過認真分析即可發現其中很多夾角和線段距離都是相等的，很多時候并不是題干中直接給出的，而是我們通過已知條件去推理，只要稍作證明即可獲取我們所需的條件。例如，P為平面α外的一點，A為平面α內的任意一點，平面α的法向量為1，那么PA與α之間的夾角β=sinθ=COS（，1），根據推導可知夾角即為在1上的投影的絕對值。在高中數學空間立體幾何題型中處理距離和夾角的問題，首先需通過計算平面外的一點與平面之間距離，然后再計算兩異面直線之前距離，從而轉變思想獲得新的解題方法。如果碰到立體幾何中的動態問題，在解析時首先運用函數的思想來解決，一旦碰到幾何角度的問題就要順著動態的角度來借助空間幾何思想解題，如此即使幾何中的問題由復雜變得相應簡單起來。

四、學會化曲為直來解決立體幾何問題

在立體幾何的解題中我們常常發現立體幾何所給題目中的圖形較為復雜，且其中條件較多，這無疑增加了立體幾何的題型的難度，但通過實際解析過程我們發現某些題型中的一些已知條件可以簡化，同時在解題時要學會運用化曲為直來解決立體幾何問題。直線上某個移動的點為P，求該點到點0兩點之間的距離和最小值的題型。當我們遇到這種題型時，我們首先要簡化已知條件和圖形，畫出其中的直線，然后再根據簡化的圖形來求解。

結語

高中立體幾何對我們學生來說既是學習的重點同時也是難點，為了在高考中做好充分的準備我們學生在日常的學習中要注意技巧的掌握，通過習題的練習從而打下堅實的基礎，對于簡單的題型爭取不丟分，對于較難的題型要合理選擇方式技巧，通過在解題中運用函數思維、空間幾何思維將一些難題轉化為向量、函數的解析方式，從而簡化解題方法，提升解題質量。

參考文獻：

[1]史洪波.高中數學立體幾何問題的解析方法探討[J].課程教育研究，2014（04）：150-151.

[2]楊涌.高中數學中立體幾何問題的兩種解析方法[J].中國新技術新產品，2009（14）：248.