高中數學教學中開展研究性學習的途徑

鄭必強

【摘要】 研究性學習是學生在教師指導下，以類似科學研究的方式主動地獲取知識、應用知識、解決問題，并在研究過程中通過多種渠道主動地獲取知識、應用知識、解決問題的學習活動.在此指導下，筆者結合數學課程內容，以學生動手動腦主動探索實踐和相互交流為主要學習方式，開展基礎性、拓展性的學習研究活動.

【關鍵詞】 數學教學;研究性學習;途徑

一、在課堂教學中設計“研究性學習”的教學過程

數學教學不應是“結果”的教學，而應是“過程”的教學.數學活動的教學，就是要把知識的形成、發展過程展現給學生.具體來說，就是要把問題的提出過程、知識的獲取過程、結論的探索過程、問題的深化過程等分析、解決問題的艱難曲折過程展現出來.

例如，筆者在“正弦、余弦的誘導公式”的教學中，把這個問題作為小組研究課題進行分析探討：

1.提出學習課題（使學生明確研究方向）：銳角三角函數，可以查表求其值;能否利用已有的銳角三角函數表解決任意角的三角函數求值的問題？

2.確定研究方案（引導學生，如何把這個課題逐步具體與明確化，即要明確做什么？怎樣去做？尋求解決問題的思想方法）：我們已學了誘導公式一，有了它就可以把任一角的三角函數求值的問題，轉化為0°～360°間角的三角函數求值的問題.那么能否再把0°～360°間角的三角函數求值，繼續化為我們熟悉的0°～90°間角的三角函數求值的問題？

通過引導，學生逐步得到了解決問題的思想方法：

（1）分象限來解決——把范圍縮小到0°～360°，由于終邊在坐標軸上的角的三角函數值可求，與終邊相同的角的三角函數值完全相同，故可取（0°，90°）、（90°，180°）、（180°，270°）、（270°，360°）作為四個象限的代表.

（2）進一步轉化為銳角來解決——變為具體研究180°-α與角α的三角函數關系（這里，關鍵要講清楚如何用銳角α來表示各象限周內角）.通過數形結合很容易得到這種關系，即：若銳角用α表示，則第二象限周內角用180°-α表示，第三象限周內角用180°+α表示，第四象限周內角用360°-α表示.

到此，學生已明確了具體的任務：要研究180°-α，180°+α，360°-α，-α，α的三角函數關系（增加-α是為了利于負角變正角，使計算更為簡捷）.

3.班級小組研究學習：抓住主要矛盾來解決——結合單位圓及正弦、余弦的誘導公式推導.

4.班級討論研究：其余公式的推導與規律的概括.首先根據推導公式sin（180°+α）=-sinα，cos（180°-α）=-cosα，筆者提出如下問題讓學生討論：上述公式是在角α為銳角的情況下推導出來的.如果把α擴展到定義域中的任意角時，公式是否仍成立？通過研討后，同學們發現對誘導公式中的α，開始我們只要求為銳角就足夠了，但推導結果卻打破了我們的限制，即公式對任意角都適合，這個收獲大大提高了公式的應用價值，使學生從中領略到數學的某種妙處.從銳角到任意角這一改進，是認識規律的一個飛躍.其次，從一節課中所推導的四組誘導公式，要求學生通過觀察分析，能否概括出其統一的規律？（引導）——“=”左右兩邊函數的名稱有什么聯系？函數值前面的號的放置有什么規律？從而得出“函數名不變，符號看象限”的規律.

這個課例，不僅使學生掌握運用單位圓推導誘導公式這種數形結合研究數學的思想方法，更重要的是學到了研究問題的方法.例如，研究事物必須提出具體化的問題，即確定好課題十分重要;在研究問題時，應該講究策略，應該抓住問題的主要矛盾來解決;掌握一定的素材后，就要善于分析，進行抽象概括.

二、在課堂上設置數學開放題引導學生研究學習

數學開放題體現數學研究的思想方法，解答過程是探究的過程，數學開放題可以用來培養學生思維的靈活性和發散性，使學生體會學習數學的成功感，使學生體驗到數學的美感.因此，數學開放題用于學生研究性學習是十分有意義的.

開放題是數學教學中的一種新題型，通常是改變命題結構、改變設問方式、增強問題的探索性以及解決問題過程中的多角度思考，對命題賦予新的解釋，進而形成和發現新的問題.近年高考題中也出現了開放題的“影子”，如下列高考題：“關于函數f（x）=4sin（2x+ πn 3 ）（x∈ R ），有下列命題：① 由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是n的整數倍;② y=f（x）的表達式可改寫為y=4cos 2x- π 6? ;③ y=f（x）的圖像關于點 - π 6 ，0 對稱;④ y=f（x）的圖像關于直線x=- π 6 對稱.其中正確的命題是 .（注：把你認為正確的命題的序號都填上）”顯然高一《數學》第一冊下第63頁例4“畫出函數y=3sin 2x+ π 3? 的簡圖”可作為其原形.在講此例時，筆者設計了開放的問題.再如，在講集合有關概念時，筆者設置問題：“是否存在這樣的集合，它的某一個元素又同時是它的子集？”學生通過對這樣開放題的研究學習，逐步形成自覺的開放化和個性化，從發現問題和解決問題中培養自己的實踐能力.

研究性學習的開展需要有合適的載體，而數學開放題作為研究性學習的載體，滿足了學生求知的欲望，充分調動了學生學習數學的積極性，使學生的創造潛能得到了極大的發揮.實踐證明，數學開放題用于研究性學習是合適的.

總之，注重設計“研究性學習”的教學過程，設置數學開放題引導學生研究學習，其目的在于改變學生以單純地接受教師傳授知識為主的學習方式，為學生構建開放的學習環境.滿足學生在開放性的現實情境中主動探索研究、獲得親身體驗、培養解決實際同題能力的需要.