大學數學基礎課中待定系數法的應用策略分析

摘 要：數學是一門具有較強抽象性和邏輯性的科目，學生在數學學習中經常會遇到困難，抓不住數學概念的本質，解題技巧性不強，面對題目無從下手，影響了學習效果。待定系數法是一種簡單易懂的有效數學方法，適用于初中、高中、大學數學課程內容。本文以大學數學基礎課為例，從實際例題出發，探討了大學數學基礎課中待定系數法的應用。

關鍵詞：應用；待定系數法；大學數學基礎課

大學數學基礎課教學中，待定系數法作為一種有效的數學方法對數學題目論證和運算有著重要作用。所謂待定系數法簡單來說就是在題目已知答案形式的基礎上進一步確定題目所有目標的過程，利用引入相應的待定系數，將復雜的數學問題演變成代數方程組，在解方程后得到待定系數值，最后求得題目問題的表達式。應用待定系數法解答大學數學題目不僅能提升解題效率和準確性，還能夠有效培養學生總結歸納的能力，加深學生對各個知識點區別與聯系的深刻理解，達到融會貫通的學習效果，有助于學生抽象思維能力和綜合分析能力的提升。因此，研究大學數學基礎課中待定系數法的應用十分必要。

一、 待定系數法在微分方程中的應用

在大學數學學習中，微分方程是重要的學習內容，多位的微分方程簡單來說就是指含有未知函數和其導數的方程關系式，學生解微分方程的過程實際上就是找出這個未知函數的過程。由于微分方程知識和題目涉及的范圍比較廣，包括物理動力學、運動學、導數知識等，學生在理解起來有一定困難，面對微分方程題目時，常常無從下手，不得其解。教師利用待定系數法教學，能夠引導學生應用待定系數方式，降低題目難度，將復雜的微分方程簡單化，厘清解答思路，進而提升解題效率，得到準確答案。

例1 已知微分方程y″-5y′+6y=xa2x，求方程的解。

解析：在看到微分方程題目后，分析題目性質可知這是一道二階系數非齊次線性的微分方程。由已知條件可以判定f（x）的型呈現為aλxPm（x）型，（其中Pm（x）=x，λ=2），進而得到對應題目方程的齊次方程式y″-5y′+6y=0，在得到這一方程后可知它的特征方程為

r2-5r+6=0，經過計算得到方程兩個實根數值r1=3，r2=2。計算到這里可以知道Y=C1a2x+C2a3x是題目方程對應的齊次方程通解。運用待定系數，因為特征方程的單根為λ=2，因此可以設方程y*=x（b0x+b1）a2x。將它代入題目方程，能夠得到x=-2b0x+2b0-b1。接著比較等式兩端同次冪的系數，可以得到1=-2b0，0=2b0-b1。進一步計算得到b1=-1，b0=-12。由此可知特解是y*=x-12x-1a2x。最終得到本道題的方程解y=C1a2x+C2a3x-12（x2+2x）a2x。

二、 待定系數法在不定積分中的應用

在不定積分數學題目中，不定積分和定積分間的關系實際上是由微積分基本定理來確定的，實際解題過程中，運用理論基礎知識加之待定系數法，能夠降低復雜的有理函數積分問題，攻克解題難關，降低被積函數分項難度，把題目的有理函數通過待定系數的方式分解成為多個簡單化分式和，進而逐一求解，得到答案。

三、 待定系數法在空間解析幾何中的應用

目前，我國高等學校數學教材中，空間解析幾何根據課程大綱主要分為五個章節，內容主要研究了空間曲線與空間曲面、空間直線與平面、矢量與坐標、二次曲線、其他二次曲面等，知識點討論了矢量的各種運算。在教學中教師有效應用待定系數法引導學生解答這類問題，能夠提升解題效率，豐富解題方法，促進學生思維能力的提升，有利于學生數學思維的構建。

例2 設x，y和z軸與一平面的交點分別為M（A，0，0）、N（0，B，0）、F（0，0，C），其中A≠0，B≠0，C≠0，求這一平面的方程。

解析：在讀完題目后，根據已知條件可先設所求平面方程是ax+by+cz+d=0，由于M（A，0，0）、N（0，B，0）、F（0，0，C）這三個點均在方程平面上，因此，這三個點坐標均滿足于方程，利用待定系數法，即可得到Aa+d=0，Bb+d=0，Cc+d=0，在進一步計算后可知a=-dA，b=-dB，c=-dC，在代入后并除以d（d≠0），最終得到本題答案，平面方程式xA+yB+zC=1。

四、 待定系數法在矩陣運算中的應用

待定系數法在矩陣運算中的應用一般體現在抽象矩陣求逆過程中，通常在解答求逆時只是利用因式分解加之觀察題目，雖然能夠得到答案，但在面對題目非常復雜或者題目等式不能進行分解因式時，就要運用待定系數法，簡化題目，讓求逆過程不再困難重重。

例3 現有一n階方陣M，設方陣滿足條件（M-F）3=（M+F）3，求（M-2F）-1的值。

解析：在題目已知條件（M-F）3=（M+F）3下，能夠得到M3-3M2+3M-F=M3+3M2+3M+F，簡化等式得到3M2+F的值為0。

這時我們可以令（M-2F）（3M+mF）=pF，將這一等式開展進行整理計算后得到m=6，p=13，最后得到本題答案（M-2F）-1=-313（M+2F）。

五、 結束語

總而言之，在大學數學基礎課中待定系數法有重要應用作用，有效利用待定系數法可以解答大學數學微分方程題目、不定積分題目、空間解析幾何題目、矩陣運算題目，是一種降低題目難度、簡化解題過程的有效方法。因此大學數學基礎課程教師要在教學中重視待定系數法的講解和運用，拓展學生解題思維，打開數學學習思路，從而提升數學學習能力和解題水平，為學生的數學學習打下堅實基礎。

參考文獻：

[1]郭國安，宋洪雪.待定系數法在三角函數積分計算中的應用[J].大學數學，2017，33（2）：102-108.

[2]李衛高.待定系數法求自然數冪和[J].大學數學，2014，30（1）：114-116.

作者簡介：張娜，寧夏回族自治區銀川市，中國礦業大學銀川學院。