轉化思想在立體幾何中的運用

黃菊

[摘? ?要]運用轉化思想，將立體圖形平面化，幾何問題代數化，特殊圖形一般化，線線、線面、面面位置關系的相互轉化，能有效解決立體幾何問題.

[關鍵詞]立體幾何;轉化思想;運用

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）08-0029-02

解決立體幾何問題，貴在轉化.學會轉化，是學習立體幾何的根本所在.轉化思想是解決立體幾何問題的“根本大法”.那么，立體幾何中的轉化思想主要體現在哪些方面呢？

一、立體圖形平面化

將立體幾何問題轉為平面幾何問題來解決，這種“降維”思想，是解決立體幾何問題始終如一的原則.如立體幾何的最值問題，往往利用側面展開圖，轉化為平面上的最值問題.又如，與球有關的相切、相接問題往往可轉化為平面上的圓的相切、相接問題.

點評：（1）解決空間幾何體表面上的最值問題的一般思路是：將空間幾何體的“面”展開后放在一個平面上，于是立體幾何的問題就轉化為了平面上的最值問題.

（2）如果已知的空間幾何體是多面體，則根據問題的具體情況可以將這個多面體沿多面體中某條棱或者兩個面的交線展開，把不在一個平面上的問題轉化到一個平面上.如果是圓柱、圓錐，則可沿母線展開，把曲面上的問題轉化為平面上的問題.

二、幾何問題代數化

在立體幾何的有關計算問題中，往往可將變量間的關系轉化為方程或函數關系，從而將幾何問題代數化，即將幾何問題轉化為代數問題解決.

點評：對于第（1）問，要求圓錐的體積，必須先求出底面圓的半徑和圓錐的高，于是通過建立方程組來求得，體現了方程思想在立體幾何中的應用.在第（2）問中，四面體體積的大小取決于[AD]的大小，于是把[AD]看成自變量[x]，將四面體體積轉化為函數問題，進而通過求函數的最值求得四面體體積的最值，體現了函數思想在立體幾何中的應用.

三、特殊圖形一般化

在求幾何體的體積時，我們常常會遇到一些不規則的幾何體，這時通常采用“割補法”將不規則的幾何體轉化為常規的簡單幾何體.

點評：割補法適用于求不規則幾何體的體積， 就是通過對不規則幾何體進行切割或是補體，將其轉化為常見的多個或一個規則幾何體，再利用這些規則幾何體的體積之和或是差來表示該幾何體.這種解題思想體現了特殊向一般轉化的原則.

四、線線、線面、面面位置關系的轉化

在立體幾何證明中，無論是線面平行與垂直，還是面面平行與垂直，都是通過線與線的平行與垂直來轉化的，這種“三維”向“二維”轉化為“降維”思想，是平行與垂直的關系證明的最基本的思想方法.在處理實際問題的過程中，可以先從題設條件入手，分析已有的垂直關系，再從結論入手分析所要證明的垂直關系，從中架起已知與未知之間的“橋梁”.在討論平行與垂直關系時，應注意用“線線平行[?]線面平行[?]面面平行”與“線線垂直[?]線面垂直[?]面面垂直”進行雙向轉化，即注意有關判定定理與性質定理的聯袂使用，尤其是性質定理的應用，一直是高考命題的熱點.

點評：立體幾何證明題，是歷年高考必考題型，難度不大，命題者一般不會在試題的難度上下“猛藥”，而是處處考查考生的轉化思想，如要證線垂直于線，常常通過線面垂直轉化，要證線平行于面，常常通過線面平行或面面平行轉化.

轉化，是數學解題的主旋律，尤其是對于立體幾何來說更是如此.只要掌握好轉化的方法與技巧，那么立體幾何問題真的可以成為“送分題”.

（責任編輯 黃桂堅）