言近而指遠守約而施博

劉玉琴 張秀花

【教學內容】

蘇教版第61—62頁例3及相應的“試一試”“練一練”，練習十一第1、2題。

【教學目標】

1.使學生理解反比例的意義，能正確判斷成反比例關系的量。

2.經歷反比例意義的構建過程，培養學生的探索發現能力和歸納概括能力。

3.使學生體會反比例與生活的聯系，進行辯證唯物主義觀點的啟蒙教育。

【教學重點】引導學生正確理解反比例的意義。

【教學難點】正確判斷兩種量是否成反比例。

【教學準備】教具——多媒體課件、作業紙。

【教學過程】

一、復習舊知，感受新知

“桃花怒放古城揚州，美景勝似十里桃林。”同學們，讓我們去桃花林游覽吧！

1.桃林里一棵桃樹占地面積4平方米，我們一起來對口令，好嗎？（課件展示如下表）

師：這里占地面積與桃樹棵數成什么比例？為什么？

生：占地面積與桃樹棵數成正比例。因為它們是兩種相關聯的量，桃樹棵數增加或減少若干倍，占地面積也隨著增加或減少若干倍，并且它們相對應比的比值（每棵桃樹的占地面積）一定。

師：是的，成正比例的量具有兩個特征：（課件出示）

（1）兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化;

（2）比值一定。

【評析：由于學生對判斷兩種量是否成正比例關系有了一定的體會，所以教學時可以適當放手，利用知識遷移規律，讓學生自行探索，給學生足夠的時間和空間進行思考。】

二、對比探究，獲取新知

1.師：桃花林主人準備擴大桃林，用300元購買桃樹苗，購買桃樹苗的單價和數量如下表

師：同學們，這里的單價與數量還成正比例嗎？（不成）任何變化都是有規律可循的，猜一猜，這兩種量到底是一種什么關系呢？（反比例關系）怎樣的兩種量成反比例關系？今天我們就一起來研究反比例的意義。（板書課題）

（1） 師：同學們，請仔細觀察表中數據， 表中的兩個量是怎樣變化的？這種變化有什么規律？同桌討論。

生：表中列舉了單價和數量兩種相關聯的量，一個量擴大另一個量反而縮小，一個量縮小另一個量反而擴大，在變化的過程中相對應的量的乘積始終是3000。我想這兩種量之間就是成反比例的關系。

師引導觀察：我們一起從左往右看，你發現什么？從右往左看呢？上下對應看呢？

師：乘積都是3000，你們是怎樣算的？（課件出示算式）數量關系式是什么？

生：單價×數量=總價（一定）

師：這時，我們就說單價和數量成反比例關系。

（2）概括得出反比例的意義。

師：現在你知道什么樣的兩種量成反比例關系了嗎？

生1：每個表中的兩種量都相關聯。

生2：一種量變化，另一種量也隨著變化。

生3：從變化規律上看，單價越高，購買的數量越少，單價越低，購買的數量越多。

生4：表中兩種量相對應的兩個數的乘積是一定的。

（3）師：大家太棒了，剛才我們通過觀察數據、分析討論發現：這種的關系叫作反比例關系，像這樣的兩種量，叫作成反比例的量。

2.感知幾種不同的變化規律

師：你能根據表中已有的信息將表填寫完整嗎？

（1）① 導游帶領60名游客來到“十里桃林”游覽，讓游客們分組活動，提出的分組建議如下表。

表3 “十里桃林”游覽表

每組人數 3 6 15 …

組數 20 ? 6 …

② 師：從這個表中你發現了什么規律？

生：總人數60人沒變，每組人數和組數的乘積是一定的。

師：積是多少？怎么算的？你能用式子表示它們之間的關系嗎？

生：每組人數×組數=總人數（一定）。

（除了積一定，你還發現了什么？）

每組的人數在擴大，組數反而縮小……

師：當總人數一定時，每組人數和組數成什么關系？（反比例關系）

師：同學們可真棒！能很快地在變化中尋找規律，發現關系。

③ 師：看，這是我們剛才研究的兩張表格，它們有哪些共同點呢？

結合生回答，板貼：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，積一定。

生1：它們提供的兩種量都是相關聯的量。一種量擴大，另一種量縮小;一種量縮小，另一種量擴大。

生2：兩種量的變化方向正好相反。

④ 師：其實反比例關系也可以像正比例關系那樣，用字母式子來表示。

師：如果用字母x和y分別表示兩種相關聯的量，用k表示它們的積，反比例關系可以用：x×y =k（一定）來表示。

（2） 晚上，導游寫了一篇游記，要把它打成電子稿。

表4 游記電子表

打字速度（字/分） 100 80 60 40 …

時間（分） 24 30 80 …

（1）教師：打字速度和時間成反比例嗎？為什么？

師：你認為要判斷兩種量是否成反比例，要從哪幾個方面來考慮？

生：一要看這兩種量是否相關聯，二要看乘積是不是一定。

（3）師：其實，反比例關系也可以像正比例那樣用圖像來表示。

師：請同學們觀察這幅圖，能看懂嗎？（把你看到的說給大家聽聽。）

①這幅圖中橫軸表示什么？縱軸表示什么？

那A點表示什么？B點呢？（與表格中哪一組數量相對應？）

②乘積總是等于多少？圖像上任意一點所對應的數的乘積也都等于2400。

③從A點到B點你看出了什么？那從B點到A點你又看出了什么？

④變化規律是什么？積都等于2400。（一定）

【評析：通過讓學生多次經歷判斷正反比例的量的思考過程，使學生進一步積累對正反比例的量的感知。“有比較才有鑒別”，把相類似的問題放在一起找出區別和聯系，分清異同，通過對比的方法可加深對概念的理解，增強記憶效果。辯思理解同樣也是概念學習的好方法，在這里學生又可學到一招。】

（4）第二天，導游將帶領這批游客行一段路程。

表5 行一段路程表

已行的路程（km） 1 2 3 4 …

剩下的路程（km） 19 18 17 15 …

填這個表時，你是怎樣想的？這里的兩個量成正比例或反比例嗎？集體訂正。

表6 用同樣的速度去游覽

路程（km） 12 20 24 36 …

時間（時） 3 5 6 7 …

填這個表時，你是怎樣想的？

3.分類區別，概括意義

（1）教師：請同學們把這6張表進行分類，你會怎么分？分成哪幾類？帶著這個問題，請同學們分組討論。

生：表1，6成正比例分一類;表2，3，4它們的乘積一定，分成一類;表5是和一定，不成正比例的單獨分成一類。

師：為什么這樣分類？

（2）師：現在我們一起來找出表2，3，4的共同特征。

教師概括：正比例是一種量增加或減少若干倍，另一種量也隨著增加或減少若干倍;而表2，3，4中是一種量擴大或縮小若干倍，另一種量反而縮小或擴大相同的倍數。

表5雖然也是兩種相關聯的量，但是它們的變化規律是增加或減少相同的數，而不是擴大或縮小相同的倍數;它們的和一定，而不是商一定或積一定。所以，它們不成比例。

4.分類與整理

現在我們知道了兩種相關聯的量，當商一定時，成正比例;當積一定時，成反比例。剛才還研究了，當和一定時，不成比例;那差一定時，成反比例嗎？能舉個例子說明嗎？（年齡差一定）還有兩種量相關，如：年齡和身高，不成比例……

三、直觀操作，加深理解

1.完成書第2題：下面每個小方格的邊長都表示1厘米看圖填表，并回答問題? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

① ② ③

周長/cm 14 14 14

長/cm 6

寬/cm 1

① ② ③

面積/cm 12 12 12

長/cm 12

寬/cm 1

（1）長方形面積一定，長和寬成反比例嗎？為什么？

生1：長和寬是兩種相關聯的量，當寬擴大幾倍時，長反而縮小相同的倍數，長×寬=長方形的面積（12 cm2一定），所以在上表中，長和寬成反比例。

（2）長方形周長一定，長和寬成反比例嗎？為什么？

師：很好！你是從反比例的意義說明的，還有不同方法嗎？

生2：從兩方面說明理由，意義：長×寬 = 積（不一定），不成反比例;

數據：長+寬 = 和（一定），不成反比例。

2.下面各題中的兩種量是否成反比例？為什么？

（1）五（1）班人數一定，每組的人數和組數。（成反比例）

（2）被除數一定，除數和商。（ 成反比例）

（3）一條繩子的長度一定，剪去的部分和剩下的部分。 （不成反比例）

（4）三角形的面積一定，它的底和高。（成反比例）

師結合學生回答提醒：面積一定，底×高 =三角形面積的2倍也一定。

3.變式練習：下面的兩種量是否成反比例關系？為什么？

（1）x×y =k（一定），x和y成反比例

（2）x×y =100，x和y 成反比例

（3）5×y =100，5和y 不成反比例

（4）5×20 =100，5和20 不成反比例

【評析：設置此題，體現比較隱晦的反比例關系，突破了難點，同時強化了本節課的重點和難點，使學生更加牢固地掌握反比例關系，有效地培養了學生一題多變的學習習慣，有利于培養學生的發散性思維。】

四、總結回顧，交流收獲

1.今天我們研究了什么？你有什么收獲？反比例與正比例有什么相同與不同的地方呢？

2.經典分享：“任何變化都是有規律可循的，規律是變化中不變的根據。”

五、板書設計

反比例的意義

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化

積一定

x×y = k（一定）

【評析：本課以六個表格類比練習形式，使學生進一步感受函數是反映現實生活中的一種有效模型，進一步深化對函數概念的理解，通過與正比例關系進行對比，與已有認知發生沖突，對反比例形成初步的感性認識。數學知識的獲得離不開生活，數學學習更離不開生活。根據兒童的心理需求和教育教學的規律，要想讓學生學得輕松，對知識掌握得牢固，只有讓數學學習建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗的基礎之上，再加之與生活緊密聯系，才能讓學生真正掌握數學知識。當然允許學生舉的反比例例子可以是錯誤的，通過新課的學習學生也會做自我認識的調整，從而把反比例概念真正納入自己的認知體系。學生經歷知識的探究和生成過程，充分認識到反比例是描繪現實生活中數量關系的一種數學模型，學生在探究中體會收獲新知的快樂，從而激發他們積極參與、大膽實踐的精神。

《數學課程標準》對數學教學要求的一個最突出的特點是遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷“做數學”的過程。本節課從現實生活中的大量反比例關系中抽象出反比例概念，讓學生進一步感受反比例也是反映現實世界中變量關系的有效數學模型，逐步從對具體反比例關系的感性認識上升到抽象的反比例函數概念的理性認識，讓學生經歷了一個“正規化”的數學概念的形成過程，學生不僅感受到 “生活處處皆數學，生活處處有函數”，還認識到研究、思考數學問題的一般方法。】v