同心圓錐曲線一個統一性質及簡證

江蘇省蘇州市相城區陸慕高級中學 (215131) 萬福昌江蘇省蘇州市相城區實驗中學 (215131)

朱萬華

2018年6月在某公眾平臺中出現了兩道有關圓錐曲線問題研究的有獎征解題，引起廣泛的討論.其中第1個問題如下：

定義設兩圓錐曲線有著公共的焦點F，且與F相應的準線f也是公共的，則稱這樣的兩個圓錐曲線為同心圓錐曲線.

圖1

問題1如圖1，設橢圓和拋物線為同心圓錐曲線，作一直線交橢圓于A、B,交拋物線于C、D，那么∠AFC=∠BFD.

此題公布后，很多老師參與解題研究，共提供了五種證明方法，但這五種解法都比較復雜，且不具有一般性.筆者經過研究，發現了任意兩個同心圓錐曲線更一般的結論，并給出統一的簡單的證明.

圖2

結論如下：如圖2，設兩不同的同心圓錐曲線Ω1,Ω2，焦點為F,準線為f，作一直線交Ω1于A、B,交Ω2于C、D，那么∠AFC=∠BFD.

可得Ω1和AB交點的極角：θA=arcsinm1+φ+2k1π,k1∈Z或θB=π-arcsinm1+φ+2k1π,k1∈Z.同理可得Ω2和AB交點的極角：θC=arcsinm2+φ+2k2π,k2∈Z或θD=π-arcsinm2+φ+2k2π,k2∈Z.∴∠AFC=arcsinm2-arcsinm1+2(k2-k1)π，∠BFD=arcsinm2-arcsinm1+2(k1-k2)π.因為∠AFC,∠BFD∈(0,π)，所以∠AFC=∠BFD.