數(shù)學(xué)建模案例

黃文婧

摘 要：近年來，糖尿病發(fā)病率呈逐年上升的趨勢，影響糖尿病的因素有很多，例如睡眠不足、飲食不合理等等，這些都與我們的生活習(xí)慣息息相關(guān)。本文以數(shù)學(xué)建模賽題為例糖尿病發(fā)病率問題進(jìn)行分析。針對問題一，首先，根據(jù)糖尿病診斷的相關(guān)資料本文將空腹血糖濃度分為三個階段，以此為標(biāo)準(zhǔn)來判斷發(fā)病率大小。其次，從性別、年齡和總體情況三個方面來比較兩家單位的發(fā)病率。年齡方面，通過相關(guān)分析比較兩家單位患病率與年齡之間的相關(guān)性，得到設(shè)計研究院中的年齡與發(fā)病概率的相關(guān)系數(shù)大于網(wǎng)絡(luò)公司。并且兩家單位的患病率都隨著年齡的增長而增長。性別方面，通過獨立樣本非參數(shù)檢驗來判斷，得到不同單位的性別相同的員工患病情況不存在顯著性差異，且網(wǎng)絡(luò)公司男女患病率之間的差異要略大于設(shè)計研究院?？傮w上，直接比較兩單位的平均患病率，設(shè)計研究院的糖尿病發(fā)病率為12.76%，要高于網(wǎng)絡(luò)公司的發(fā)病率11.64%。針對問題二，題目要求分析不同的工作、生活行為方式對糖尿病患病率產(chǎn)生的影響。因為樣本數(shù)據(jù)量過少，所以采用建立灰色模型的方法對影響因素進(jìn)行分析。首先，計算出每種情況的人數(shù)占總體的概率，其次，通過灰色生成中的均值生成對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)充，并利用灰色關(guān)聯(lián)分析求出各種情況與患病率的關(guān)聯(lián)度。結(jié)果表明，不加班和自帶飯與患病率關(guān)聯(lián)度最大，關(guān)聯(lián)度分別為0.4593和0.4478，且兩種因素與患病率都呈負(fù)相關(guān)，即經(jīng)常加班和吃盒飯容易誘發(fā)糖尿病。總體上，加班情況和用餐情況與患病率的相關(guān)度分別為0.4634及0.4145，也就是說加班情況對糖尿病患病率的影響比用餐情況更大。

關(guān)鍵詞：相關(guān)分析;獨立樣本非參數(shù)檢驗;均值生成;灰色關(guān)聯(lián)分析

中圖分類號：R184 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-2064（2019）06-0190-04

1 問題重述

糖尿病是一種常見的內(nèi)分泌代謝疾病，其發(fā)病率呈逐年上升的趨勢。本文計劃通過研究不同年齡、不同職業(yè)人群中糖尿病患病情況，分析各種工作、生活行為方式對糖尿病患病率的影響，對糖尿病防治提供參考。附件中給出了某設(shè)計研究院和網(wǎng)絡(luò)公司體檢數(shù)據(jù)，以及對兩家單位員工訪談的數(shù)據(jù)。問題一：請根據(jù)上述附件的數(shù)據(jù)資料比較兩家單位糖尿病發(fā)病率，提出本文的結(jié)論;問題二：在前一問基礎(chǔ)上分析不同的工作、生活行為方式可能對糖尿病患病率產(chǎn)生的影響。

2 問題假設(shè)

（1）假設(shè)糖尿病診斷結(jié)果由空腹血糖濃度決定;（2）假設(shè)附錄中血糖數(shù)據(jù)可以反映樣本的真實血糖狀況，即樣本空腹血糖濃度高于7.0mmol/L情況下一定患糖尿病，空腹血糖值低于6.1mmol/L一定不患病;（3）假設(shè)在空腹血糖受損階段（6.1mmol/L-7mmol/L），血糖越高發(fā)病率越大，且概率服從均勻分布;（4）假設(shè)抽取的訪談人數(shù)能反應(yīng)兩家單位的基本情況。

3 符號說明

符號說明表1所示[1-2]。

4 模型的建立

4.1 問題一模型的建立和求解

4.1.1 衡量發(fā)病率

通過查閱有關(guān)糖尿病診斷的資料得知[3]，血糖濃度高于7mmol/L即診斷為患糖尿病，發(fā)病率視為1，血糖濃度低于6.1mmol/L為正常或者低血糖狀況，發(fā)病率視為0。血糖濃度介于7mmol/L和6.1mmol/L之間為空腹血糖受損階段，也是從正常到糖尿病的一個過渡階段，有可能發(fā)展成為糖尿病，發(fā)病概率可以視作幾何概型，空腹血糖受損階段發(fā)病率表達(dá)式如下：

（1）

由此我們可以得到每一個樣本較為準(zhǔn)確的發(fā)病率。

4.1.2 年齡因素比較

由于直接觀察圖一無法得出患病率和年齡的關(guān)系，也難以比較兩家單位的患病率。所以將年齡按每五歲為一區(qū)間分成8類[4-5]。求出每一區(qū)間的患病率平均值，如圖1所示。

在年齡這一因素下比較兩家單位患病率。兩家單位的不同點在于：由圖1可見，在中年階段設(shè)計院平均患病率要高于網(wǎng)絡(luò)公司，在青年和老年階段網(wǎng)絡(luò)公司的平均患病率高于設(shè)計研究院。兩家單位的相同點在于，患病率都隨著年齡的增長而增長，由圖1中的趨勢線可以判斷。

比較兩家單位年齡與發(fā)病率的相關(guān)程度，通過相關(guān)分析中的雙變量相關(guān)來分析，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入SPSS，得到表2、 表3的數(shù)據(jù)[6-7]。

由表2、表3可以得到設(shè)計研究院中的年齡與發(fā)病概率的Pearson相關(guān)系數(shù)為0.091，而網(wǎng)絡(luò)公司年齡與發(fā)病率的Pearson相關(guān)系數(shù)為0.046，這兩個相關(guān)系數(shù)都是小于0.3的，所以可以得知兩家單位的年齡與發(fā)病率相關(guān)性較小。又由于設(shè)計研究院的年齡與發(fā)病率的Pearson相關(guān)系數(shù)大于網(wǎng)絡(luò)公司，所以得到設(shè)計研究院的年齡與發(fā)病率的相關(guān)性要略大于網(wǎng)絡(luò)公司年齡與發(fā)病率的相關(guān)性。

4.1.3 性別因素比較

分別求出設(shè)計研究院和網(wǎng)絡(luò)公司的男女患病率進(jìn)行比較，結(jié)果如表4所示。

由表4可見，在設(shè)計研究院中女性的患病率比男性高;在網(wǎng)絡(luò)公司中男性患病率比女性高。

在比較兩家單位的發(fā)病率的過程中，對兩家單位男女的患病率進(jìn)行頻率估計，得到兩家單位患病率的頻率分布直方圖如圖2-3所示。

通過觀測圖發(fā)現(xiàn)兩家單位的患病率數(shù)據(jù)明顯不服從正態(tài)分布，并且無法通過變量變換將發(fā)病率的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為近似正態(tài)分布。為了達(dá)到分析兩家單位男女患病率是否存在顯著性差異的目的，本文通過獨立樣本非參數(shù)檢驗中的檢驗來判斷：單位內(nèi)部男女患病率是否存在顯著性差異，以及不同單位的同一性別樣本是否存在顯著性差異[8]。

首先計算網(wǎng)絡(luò)公司男女員工患病率是否存在顯著性差異，將男性記為1，女性記為2，根據(jù)之前求出的男女患病率，代入中進(jìn)行計算，得出含有檢驗統(tǒng)計量和概率值的表5所示。同理得到表6所示。

通過分析表5可以得到，檢驗統(tǒng)計量為0.349，概率值為1.000，因為顯著性水平，即檢驗統(tǒng)計量取值為0.349時，原假設(shè)成立的概率為1.000，所以接受原假設(shè)，即網(wǎng)絡(luò)公司的男女的患病率不存在顯著性差異。通過分析表6可以得到，檢驗統(tǒng)計量為0.562，概率值為0.910，同理可得設(shè)計研究院男女的患病率不存在顯著性差異。但是通過比較漸進(jìn)顯著性可以得到，網(wǎng)絡(luò)公司男女患病率之間的差異要略大于設(shè)計研究院。

其次分別計算設(shè)計研究院和網(wǎng)絡(luò)公司中男性和女性患病率是否存在顯著性差異，同樣將男性記為1，女性記為2，根據(jù)之前求出的兩家單位中男女的患病率，代入進(jìn)行計算，得到含有檢驗統(tǒng)計量和概率值，如表7、8所示。

通過分析兩表可以得到，判斷兩家單位男性患病率顯著性差異情況時，檢驗計量為0.603，概率值為0.860。因為顯著性水平，，即在檢驗統(tǒng)計量為0.603時，原假設(shè)成立的概率為0.860，所以接受原假設(shè)，網(wǎng)絡(luò)公司的男性患病率和設(shè)計研究院的男性患病概率不存在顯著性差異;判斷兩家單位女性患病率顯著性差異情況時，檢驗統(tǒng)計量為0.463，概率值為0.983，，同理可得，兩家單位的女性的患病率同樣不存在顯著性差異。

4.1.4 總體比較

算出兩家單位患病率平均值，并繪制兩家單位患病占總體的百分比情況，如圖4-5所示。

發(fā)現(xiàn)設(shè)計研究院的平均發(fā)病率為12.76%，網(wǎng)絡(luò)公司平均發(fā)病率為11.64%。也就是設(shè)計研究院的平均發(fā)病率要高于網(wǎng)絡(luò)公司。

設(shè)計研究院和網(wǎng)絡(luò)公司男女比例均為3：2，并且已經(jīng)證明兩家單位男女患病率均無顯著性差異。同時，設(shè)計研究院員工的平均年齡為48.20歲，明顯高于網(wǎng)絡(luò)公司員工的平均年齡36.48歲，所以可以初步推斷年齡可能對患病率的影響比性別大。性別和年齡與患病率相關(guān)性的比較結(jié)果符合我們查閱的相關(guān)資料[9]，可以間接驗證我們的分析是正確的。

4.2 問題二模型的建立和求解

在問題二中，我們需要分析不同的工作、生活行為方式可能對糖尿病患病率產(chǎn)生的影響。各種加班情況的嚴(yán)重程度及各種午餐情況的不健康程度無法進(jìn)行數(shù)量化，所以將八種情況當(dāng)做并列因素。為了便于直觀分析，根據(jù)訪談人數(shù)分別計算在設(shè)計研究院和網(wǎng)絡(luò)公司中經(jīng)常加班、偶爾加班、不加班、說不清、單位餐廳、自帶、盒飯、其他情況的頻率。如表9所示。

由于只有兩組數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)量達(dá)不到數(shù)據(jù)處理的要求，所以通過均值生成法對樣本進(jìn)行增廣擴(kuò)充，將第一組和第二組數(shù)據(jù)求平均得到了第三組數(shù)據(jù)，將第二組和第三組數(shù)據(jù)求平均得到了第四組數(shù)據(jù)，以此進(jìn)行了數(shù)據(jù)擴(kuò)展的處理，擴(kuò)充后的樣本與原樣本如表10所示。

得到擴(kuò)充過的數(shù)據(jù)之后，通過灰色關(guān)聯(lián)分析求各指標(biāo)與患病率的關(guān)聯(lián)度。

（1）確定比較對象（評價對象）和參考數(shù)列（評價標(biāo)準(zhǔn)）。把影響糖尿病患病率的八個指標(biāo)作為比較對象，

。四組糖尿病患病率作為參考數(shù)列，即

（2）對指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化處理并確定各指標(biāo)對應(yīng)的權(quán)重，，為第個評價指標(biāo)對應(yīng)的權(quán)重。無量綱化處理的公式如下：

（2）

無量綱化后的數(shù)據(jù)如下矩陣：

參考數(shù)列，由于本題中八個評價指標(biāo)為平行指標(biāo)并且無權(quán)重差異，所以我們認(rèn)定這八個指標(biāo)權(quán)重相同，。

（3）計算灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)并計算灰色加權(quán)關(guān)聯(lián)度。

計算出無量綱化矩陣后，構(gòu)建綜合評價模型，計算灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)的方程如下：

（3）

為比較數(shù)列對參考數(shù)列在第個指標(biāo)上的關(guān)聯(lián)系數(shù)，分別為兩級最小差和兩級最大差，其中為分辨系數(shù)，分辨系數(shù)越大，分辨率越大，一般情況下取。

計算得到八個指標(biāo)關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣如下：

其中，， =3.9268。

在求出各指標(biāo)的關(guān)聯(lián)系數(shù)后，計算灰色加權(quán)關(guān)聯(lián)度?；疑訖?quán)關(guān)聯(lián)度的計算公式為：

（4）

其中，為第個指標(biāo)與患病率的灰色加權(quán)關(guān)聯(lián)度，因為各指標(biāo)所占權(quán)重相同且均為，所以各指標(biāo)與患病率的關(guān)聯(lián)度分別為：

（4）評價分析，灰色關(guān)聯(lián)度越大，該評價指標(biāo)與患病率關(guān)聯(lián)越緊密。由灰色關(guān)聯(lián)度排序可以看出在八種情況中，加班情況說不清和其他用餐情況這兩種與患病率的關(guān)聯(lián)度最大。在不考慮說不清和其他者兩種指標(biāo)的情況下，關(guān)聯(lián)度最大的是不加班和自帶午餐這兩種情況，關(guān)聯(lián)度分別為0.4593和0.4478。求出加班情況和用餐情況與患病率的相關(guān)度分別為0.4634及0.4145。也就是說在這兩家單位的員工中，加班情況對糖尿病患病率的影響比用餐情況更大。而在其他糖尿病發(fā)病率研究的文獻(xiàn)中，可以得知缺乏睡眠會干擾胰島素的血糖調(diào)節(jié)機(jī)制，對肥胖和胰島素耐受性產(chǎn)生明顯的影響。而飲食對糖尿病患病率的影響也表現(xiàn)在每日鹽和油的攝取上。這說明了不加班和自帶飯與患病率呈負(fù)相關(guān)，即經(jīng)常加班和吃盒飯容易誘發(fā)糖尿病。

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