從中考題到教材看數學史的滲透及啟示

黃錦濤 謝濤 葉濟宇

摘 要：我國著名的數學家吳文俊說過：“數學史和數學教育是分不開的。”文章一方面以福建省2014至2018年的中考數學試卷為研究對象，找出這五年涉及到數學史的考題，對這些題目進行分析；另一方面從人教版義務教育數學教科書（2013版）進行研究，并對教材中出現的數學史知識進行統計并分析；最后對如何加強數學史在數學教學中的滲透提出自己的看法。

關鍵詞：數學史 福建中考 教材 啟示

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2019）05-0036-03

中考是人生的第一個轉折，是進入高中的通行證，也是一次入學選拔比賽。數學在中考中占據了150分，數學成績的好壞決定了能否進入一所好的高中，而數學成績在很大一方面是由數學素養決定的，數學史對培養學生的數學素養有著很大的幫助。《普通高中數學課程標準（2017版）》（簡稱“普高課標”）要求教師在教學過程中組織學生收集、閱讀歷史資料，撰寫小論文，論述其發展的過程、重要結果、重要人物、關鍵事件、及其對人類文明的貢獻。[1]《義務教育數學課程標準（2011版）》（簡稱“義務課標”）也明確提出：數學文化作為教材的組成部分，應該滲透在整套教材中。[2]由此可見數學史在數學教育中占據著重要的地位。

1 背景分析

表1 2014--2018年福建九地市中考數學涉及數學史題目統計表

注：“*”表示有涉及數學史題目；空白表示沒有涉及數學史題目。

圖1 2014——2018年數學史題數變化圖

福建省從2017年開始實行全省中考統一命題，在2017年以前福建省各市實行中考自主命題。通過觀察這兩年福建省中考數學試卷，可以發現試卷里都有一道以數學史為背景的題目，分別是2018福建中考第8題、2017福建中考第20題，所占分值是4分、8分。對此，發現并去了解數學史是很有必要的，這對解決數學問題有很大的幫助。2014至2016年在福建各地市的中考試卷上可看到2014年、2015年、2016年分別有0題、1題、3題涉及到數學史，如表1所示（其中2017年、2018年全省統考記為各地市均涉及數學史題目）；變化趨勢如圖1所示。

根據圖1可以發現，在福建中考數學試卷中涉及數學史的題目數量呈上升趨勢，2014至2016年逐年上升，2017、2018年持平，根據總體趨勢未來的福建中考數學試卷中依舊會涉及到以數學史為背景的題目。

2 中考試題分析

通過對這些考題的觀察，可以大致將這些題目分成以下兩種類型：

2.1 以數學著作為背景

例1.（2018福建中考第8題）我國古代數學著作《增刪算法統宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿長一拖。折回索子卻量竿，卻比竿子短一拖。”其大意為：現有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺。設繩索長尺，竿長尺，則符合題意的方程組是（ ）。

A.x=y+5■x=y-5 B. x=y-5■x=y+5 C. x=y+52x=y-5 D. x=y-52x=y+5

例2.（2017福建中考第20題）我國古代數學著作《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雞兔各幾何。”其大意是：“有若干只雞和兔關在同一個籠子里，它們一共有35個頭，94條腿。問籠中的雞和兔各有多少只？”試用列方程（組）解應用題的方法求出問題的解。

例3.（2016福建寧德中考第22題）“今有甲、乙二人持錢不知其數。甲得乙半而錢四十八，乙得甲太半而亦錢四十八。甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢。如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢48，如果乙得到甲所有錢的■，那么乙也共有錢48。問甲、乙兩人各帶了多少錢？

【評析】以上三道題均以中國古代數學為背景，以古代數學著作中的數學問題為基礎，考察學生對二元一次方程組的掌握及運用。題目的前半部分都是以文言文闡述，但后半部分都用現代文進行解釋，增強學生對題目的理解，降低了問題的難度。不僅豐富了題目的背景，而且也向學生滲透了中國古代優秀的數學史文化。

2.2 以數學家作為背景

例4.（2016福建廈門中考第14題）公元3世紀，我國古代數學家劉徽就能利用近似公式■≈ɑ+■得到近似值。他的算法是：先將■看成■：由近似公式得到■≈1+■=■；再將■看成■，由近似公式得到■≈■+■……依此算法，所得■的近似值會越來越精確。當■取得近似值■時，近似公式中的ɑ是 ；r是 。

例5.（2016福建莆田中考第16題）魏朝時期，劉徽利用下圖通過“以盈補虛，出入相補”的方法，即“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類”證明了勾股定理。若圖中BF=1，CF=2，則AE的長為 。

例6.（2015福建莆田中考第16題）謝爾賓斯基地毯，最早是由波蘭數學家謝爾賓斯基這樣制作出來的：把一個三角形分成4個全等三角形，挖去中間的一個小三角形；對剩下的三個小三角形再分別重復以上的做法……將這種做法繼續進行下去，就得到小個子越來越多的謝爾賓斯基地毯（如下圖），若下圖1中的陰影部分三角形面積為1，則圖5中的所有三角形的面積之和是 。

【評析】例4、例5這兩題以中國古代數學家劉徽為題引，分別以近似公式和“以盈補虛，出入相補”法為背景，考察學生分析問題的能力、歸納類比能力和數形結合的能力。在題目中涉及到數學家，一方面可以引起學生的興趣，另一方面也有助于培養學生的數學思想方法。例6以波蘭數學家謝爾賓斯基地毯圖為背景，以考察學生的邏輯推理能力和抽象概括能力。題目的前半部分詳細介紹了謝爾賓斯基地毯圖的制作過程，加強了學生對題目的理解，題目的后半部分給出了具體圖形意在培養學生觀察能力。

3 教材分析

教材是學生獲取知識的主要工具，要在教學中滲透數學史最有效的手段就是在教材中融入數學史，根據對人教版初中數學教材的整理得到表2，以及各年級數學史資料所占比重如圖2，各冊教科書數學史資料所占比重如圖3。

表2 人教版初中數學教材數學史資料列表

4 啟示

4.1 合理設置數學史在在各階段教材中所占的比重

根據胡良華的研究發現：大部分學生對于學習數學史知識是充滿興趣的，但是目前的教材和教學方法不能滿足學生的需要。[3]根據表2、圖2可以發現：在人教版教材中七年級課本中有6篇閱讀與思考涉及數學史，占全部的46%；八年級有3篇，占23%；九年級有4篇，占31%。根據圖3可以發現各冊教科書數學史資料分布不均，八上教科書最少占8%，七上教科書所占比重最多為31%，其余各冊教科書基本持平。總的來說八年級所占比重偏小，七年級由于處在學生小初的銜接階段，可以適當提升所占比重，通過數學史調動學生的興趣，提升學生對學習數學的積極性。八年級學生由于處在叛逆期這個特殊時期，在不同程度上會產生抵觸情緒，因此在這個時期會出現成績的兩極分化，所以在這個階段很有必要對學生給予正面引導，保持住學習數學的興趣；九年級由于中考的壓力可以適當降低所占比重。

4.2 加強數學教師對數學史的研究以及數學史在數學教學中的滲透

正如法國數學家保羅·朗之萬所說，在數學教學中，加入歷史是百利無一弊的。學生獲取數學史知識主要通過教師教授，教師在課堂上扮演著非常重要的引導者的角色。評價一節課的好壞主要是看學生的反應，而要上好一堂數學課的必要前提是要充分調動學生的積極性。調動學生積極性最有效的辦法是給學生講數學故事。通過數學家的故事讓學生感受到數學的魅力，以及數學家們的奉獻精神和吃苦耐勞的毅力，啟發學生對數學的熱愛。因此數學教師研究數學史是非常有必要的。錢寶琮教授也十分關心中學的數學教育，并提出數學史研究的一個重要的目的是為中小學教師服務，要教好學生需要掌握數學教學法，同時也該知道數學發展史。

4.3 促進各學科文化之間的相互滲透

錢寶琮老先生也認為數學的發展不可能是孤立的，它與其它學科的發展，常有密切之聯系。《義務課標》中的總目標要求規定：要體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系。《普高課標》提出：實現內容與數學文化的融合，體現時代性。在人教版初中數學教材中可以發現一些閱讀與思考專題涉及都數學與其它學科間的聯系。例如，七下教材P72《用經緯度表示地理位置》就是數學與地理間的相互滲透；九下教材P17《生活中的反比例關系》就是數學與物理之間的相互滲透。因此，學科間的相互滲透有利于數學的發展。

5 結語

數學史不僅與中考數學有著密切的聯系，而且還與高中數學課程以及高考密切相關。國內外數學教育工作者都認為數學史應該而且值得被引入數學課堂，不論是教師還是學生都應該了解數學史。正如薩頓所說：學習數學史倒不一定產生更出色的數學家，但它產生更溫雅的數學家，學習數學史能豐富他們的思想，撫慰他們的心靈，并且培植他們高雅的質量。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017

版）[M].北京：人民教育出版社，2018.20.

[2] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011

版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.8.

[3] 胡良華.中學數學史教育現狀的調查與分析[J].現代教育科學，2007（3）：46-47.

作者簡介：黃錦濤（1994-），男，福建福州，漢族，湖北師范大學數學與統計學院，在讀碩士。

通訊作者簡介：謝濤（1980-），男，漢族，博士，副教授，從事數學課程與教學方面的研究。