由“分離參數法”淺談例題教學的有效性

☉江蘇省海門中學 姜敏華

注重學情分析、注重練習與及時反饋、注重揭示數學本質的例題教學往往能令學生在收獲喜悅與成功的同時對數學思想方法與數學知識遷移形成更多的思考和領悟.

一、問題的提出

原題已知函數g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b＜1）在區間［2，3］上有最大值4，最小值1，設函數（1）求a、b的值；

（2）若不等式f（2x）-k·2x≥0在區間x∈［-1，1］上恒成立，求k的取值范圍.

1.參考答案

解：（1）a=1，b=0.（過程略）

考生的答案中不乏解法煩瑣、分類討論不完整等問題.

方 法1：由（f2x）-k·2x≥0得-2-k·2x≥0，即（2x）2+1-2x+1-k·（2x）2≥0.令t=2x，t］，則（1-k）t2-2t+1≥0.設h（t）=（1-k）t2-2t+1，作出其圖像并結合區間對開口方向、對稱軸進行分類討論即可解決此題，但答案中分類討論不完整的現象比比皆是.

方法2：由（f2）x-k·2x≥0得令t=2x，，構造函數h，結合導數法求得h（t）的最小值為0.

評析：此題滿分是10分，但全年級的學生在此題上

2.考生解答中的問題

的平均得分僅5.6分.第（1）問的得分情況較好，但第（2）問的得分率很低，筆者在批閱試卷時也發現了考生不習慣用“分離參數法”或分類討論不完整的情況.

二、調查

筆者在試卷的分析上進行了詳細的調查，與命題老師、同軌教師、部分學生進行了交流以弄清楚學生在此題上得分較低的原因.

命題教師：這是一道比較簡單的送分題.

同軌教師：分離參數法是我強調過很多遍的方法，但學生的掌握情況仍舊不理想.

學生：分離參數法在老師眼里比較簡單，但對于我們來說很陌生，分離后構造函數對于我們來說也是比較有挑戰性的，比如在本題中構造函數h然后想到利用導數法并求得h（t）的最小值是0，答案沒錯，不過解題耗時較長.

三、例題教學有效性的思考

筆者在本次考試結束之后開設了一節分離參數法的復習課，著眼于經典例題的教學以促進學生對分離參數法的真正掌握.

1.注重學情分析

教學目標的設定離不開教師對學情的分析，建立在恰當學情分析上的教學目標才是符合實際的有效引領，因此，教師首先應對學生已有的知識經驗、心理認知特點進行準確的把握并因此確定其最近發展區，只有這樣，教師才能在教學設計中確立準確的教學方向和教學重難點.

在分離參數法這一內容的教學中，教師首先應對分離參數法的本質及其作用進行深入的理解，在此題的解題教學上，教師首先可以引導學生將自己的解法全部展現出來，在學生將分類討論和分離參數法呈現出來之后，教師與學生再對這兩種方法進行分析和評價，將這兩種方法的優點和問題作具體的評析：方法1較為基礎但在討論的完整性上學生有所欠缺，方法2學生較難獲得，但在參數能夠分離的情況下運用此法明顯更為簡捷.

2.注重練習和反饋

桑代克在行為主義學習理論的研究中曾經就反饋的作用進行了實驗，實驗結果肯定了及時反饋對于行為的積極作用.因此，行為主義學習理論認為練習加反饋對于學習來說具有積極的意義.將這一理論用于數學教學中一樣有價值，很多教師在平時教學中比較忽視練習與測試的分析，只是在例題教學中不斷重復著演示、訓練、強化的教學模式，教學的結果不能及時且有效地反饋給學生，學生練習的效果自然不可能得到提升.因此，教師在例題教學中一定不能忽略練習加反饋的價值和意義并要進行有效的落實，只有這樣，學生才能夠獲得高質量的學習成果.比如，在分離參數法的教學中，教師就可以采取題組教學法來幫助學生對這一方法產生好感繼而形成理解.

題組1：（二次函數零點分布問題）（1）關于x的一元二次方程x2+（m-1）x+1=0在區間［0，2］上有解，求實數m的取值范圍；

解析：（1）x2+（m-1）x+1=0化為mx=-x2+x-1，顯然x=0不是方程的解，因此m=-）+1（0＜x≤2）.令g（x）=，設g（x）的值域為M，則問題轉化成了m∈M，從而求得m≤-1.采用分類討論法解決此題就比較麻煩了.

題組2：（1）已知函數（fx）=x3+ax2+x+1，a∈R，設函數（fx）在區間）內為減函數，求a的取值范圍；

（2）已知函數（fx）=x3+ax2+x+1，a∈R，若函數（fx）在區間（-∞，0）內存在單調遞減區間，求a的取值范圍；

（3）已知關于x的不等式x2+ax-2＞0在區間［1，5］上有解，求a的取值范圍；

（4）已知關于x的不等式x2+ax-2＞0在區間［1，5］上恒成立，求a的取值范圍.

解析：（1）由函數（fx）=x3+ax2+x+1，a∈R，在區間）內為減函數，則在區間）內f（′x）≤0恒成立，即3x2+2ax+1≤0?2a≥-.又因為函數］上的最大值為4），則a≥2.

（2）因為函數（fx）在區間（-∞，0）內存在單調遞減區間，從而f′（x）＜0在（-∞，0）上有解

（3）由x2+ax-2＞0得-x，x∈［1，5］，a＞［g（x）］min；

（4）同（3）得a＞［g（x）］max.

說明：題組1中的兩個小題以及題組2中的（1）（4）、（2）（3）在題目結構上是相同的，解法也類似，筆者在題組教學中首先要求學生進行前面一題的練習并獲得了及時的結果反饋，跟學生一起分析解題步驟以及何時運用分離參數法解題更為合適，然后再讓學生解決后面一小題.學生在獲得及時的反饋和針對性的分析之后，在后面一小題的解題上均有提升.

3.注重數學本質的揭示

學生掌握適度的技巧自然會在解題中有所突破，但過多技巧的堆砌往往會令學生掌握不到要領，從而使思維產生混亂，因此，教師應適當淡化技巧并注重數學本質的揭示，使學生能夠把握問題的本質并獲得數學學習的有效提升，學生在收獲喜悅與成功的同時也會對數學發現的方法、數學思想方法、數學知識遷移形成更多的思考和領悟.

教師在分離參數法的教學中可以引導學生從以下層面進行理解：①分離參數的原因：因為參數m在區間上的變化引起了x的變化，因此可將x表示為m的函數：x＜f（m）或x＞f（m）或x=f（m）；②分離參數的結果：求出函數f（m）的最值或值域即可求得x的取值范圍.需要教師注意的是，應引導學生對這一方法進行充分的認識，在參數無法分離時要能夠聯想到其他解法.不僅如此，很多時候也并不能在分離參數后一下子求得函數的值域或最值，往往還需要進行連續求導與羅必塔法則的配合.

學生在上述例題教學的有效實施中往往能夠基本掌握分離參數法的運用要領，并對分離參數法的強大功能形成了解并獲得深刻領悟，當然，教師也應關注到分離參數法的局限性并在實際教學中引導學生學會辯證地看待問題，使問題最終得到完美的解決.