在數學解題中應引導學生去“發現”

☉江蘇省張家港市樂余高級中學 楊會志

一切思維起源于問題.如果沒有遇到問題，思維便會靜如止水，一點作用都沒有；只有在問題環生的情況下，思維才會波濤起伏，憚思竭慮，以求問題得以解決［1］，因此，發現問題比解決問題更加重要.最近，筆者觀摩了一堂公開課——“二次函數零點與系數關系的應用”.在本節課中，筆者真正的感受到了培養學生“發現問題”的能力的迫切性.

一、教學過程簡介

1.復習回顧

問題1：寫出二次函數的三種表達式：一般式、頂點式、兩根式.

問題2：二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的實根與系數有什么關系？

問題3：二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的零點與系數有什么關系？

意圖：通過回顧二次方程與二次函數之間的關系，明確根與系數的關系是溝通根（零點）與系數之間的關系的重要橋梁.

2.問題探究

例1已知二次函數f（x）=x2+ax+2在區間（1，2）上至少存在1個零點，則實數a的取值范圍是______.

思路1：用根與系數的關系

設α，β是函數的兩個零點，α∈（1，2），β∈R，

思路2：直接用方程的根來表示參數

設x0∈（1，2）是方程的根，則x

意圖：教師提出了兩種解題思路.通過這兩種思路的呈現，一方面讓學生進一步明確根與系數的關系，另一方面讓學生感受這種方法的簡潔性，體會參數代換思想.

變式1：已知二次函數f（x）=x2+ax+a在區間（1，2）上有零點，則實數a的取值范圍是______.

方法2：由（fα）=α2+aα+a=0?a=-

變式2：已知二次函數（fx）=x2+ax+b，a，b∈R在區間（0，1）上有兩個零點，則3a+b的取值范圍是______.

方法2：設f（x）=x2+ax+b=（x-α）（x-β），則f（3）=9+3a+b=（3-α）（3-β），所以3a+b=（3-α）（3-β）-9∈（-5，0）.

變式3：已知二次函數f（x）=x2+ax+b，a，b∈R在區間（0，1）上有零點，且滿足0≤b-a≤1，則3a+b的取值范圍是______.

意圖：把例題中的常數用參數代換，把單參數問題變為雙參數問題，題目難度雖然有所增加，但解題方法基本一致.通過上述變式，使學生逐步感受到“用根表示系數”方法的普適性與簡便性.

二、發現問題比解決問題更有價值

人們在生活和生產中遇到更多的是多變的現實和困惑，并沒有現成的“問題”，更沒有像課本中那樣已經抽象、概括好了的數學問題，所以人們要做的第一步就是從繽紛復雜的現實生活中去發現問題.2017版的高中新課程標準中也由原先的“兩能”：分析、解決問題的能力上升為“四能”：發現、提出、分析、解決問題的能力.顯然，“發現問題”是其他“三能”的前提，沒有“發現問題”這一過程，分析問題和解決問題就是空談.

1.“發現問題”讓學生成為學習的主人

在缺失了“發現問題”的課堂教學中，教學溝通表現出問答過于“儀式化”“絕對化”的特點：教師接二連三地提問，學生機械式的應答，教師補充講解等等，課堂中的所有活動都在教師預先設定好的框架之內，教師幾乎是變相地不能容忍源于學生的問題與提問的對話［2］.因此，教師應引導學生“發現問題”，多給學生提出問題的機會，只有這樣師生的溝通才能深入，學生才能獲得更多的活動自由，才能成為學習的主人.

2.“發現問題”是發展創新思維的基礎

眾多教改經驗證明“解決問題”不能發展學生的創新意識，波利亞也曾指出：“數學的創造過程是與任何其他知識的創造過程一樣的，在證明一個定理之前，你先得猜想這個定理的內容……”，“猜想”本質上就是問題的發現，而問題的發現需要經過多方面、多角度的數學思維，從表面上看著沒有關系的一些現象中找到數量或空間方面的某些聯系，或者找到數量與空間方面的某些矛盾，并把這些聯系和矛盾提煉出來.由此可見，“發現問題”的過程并不簡單，而是需要經歷深入的思考，多角度的分析，因此，“發現問題”才是人類創造性思維的開端.

三、引導學生在解題中“發現”

作為訓練學生思維能力的重要形式——解題教學，其重要的價值與意義不言而喻，但若解題教學操作不當，則很容易演化成“教師表演特技的舞臺”.解題的目的不僅僅是為了獲得正確的答案，更是為了引導學生去“發現”，并在發現中逐步領悟數學思維的真諦.

1.發現已有經驗的不足

當已有的經驗和現在遇到的問題之間產生不平衡時，人們會很自然地試圖通過某些方式來減少這種不平衡，比如關注引起不平衡的刺激、建立新的圖式或者調整舊的圖式等，直到達到一種新的平衡.學習依賴于這個過程，只有出現不平衡時，兒童才有機會成長和發展［3］.因此，在教學中，教師要引導學生去發現已有經驗的不足，從而為制造這種“不平衡”蓄勢.

在本節課中，對于例1，教師不應該這么迫不及待地拋出“好”的解法，而應該先展示學生已有的經驗，看看學生會用什么方法去解決？學生的方法存在什么問題？根據學生已有的解題經驗，很多學生可能會選擇用“二次函數零點分布”的視角來進行思考.

設α，β是函數的零點，則需要分以下幾種情況進行討論：

（3）若α∈（1，2），且β?（1，2），則f（1）f（2）＜0?

上述解題方法涉及比較煩瑣的“分類討論”，學生很難做對、做全.學生發現了已有解題經驗的不足，自然就會引發學生對探索新解法的思考.

2.發現優化思維的路徑

教學實踐證明，學生解題思維的獲得不是教師“灌輸”的結果，而是學生在已有思維基礎上的一種優化.當思維遇阻時，學生必然要思考如何突破障礙，突破障礙的最有效的方式不是另起爐灶，而是在原有的解題思維的基礎上尋找突破口.因此，在解題教學中，教師要打消走捷徑的念頭：把好的、先進的方法直接拋給學生，而是應該把教學的重心放到如何引導學生發現優化思維的路徑上.

圖1

在本節課中，當學生選擇用“二次函數零點分布”視角解題遇到障礙時，教師可以設置問題串來引導學生發現解題的突破口.比如：一般數學問題的思考有幾種視角？（數與形）如果從數的角度思考，能否把參數a用其他參數替換？能否把參數a用方程的根表示出來？如果從形的角度思考，能否畫出函數的圖像？能否構造關于a的函數，畫出其圖像？不難發現，上述類型的問題，如果從形的角度思考，解答過程則會更加直觀、簡單.

以變式2為例，可以通過構造函數，把零點問題轉化為圖像的交點問題.

變式2：因為f（x）=x2+ax+b=0?-x2=ax+b，令g（x）=-x2，h（x）=ax+b，即g（x）=h（x），則h（3）=3a+b.于是，問題轉化為當g（x）與h（x）有兩個交點時，h（3）的取值范圍.如圖1所示，可知當直線h（x）=ax+b與g（x）=-x2相切于原點與點（1，-1）是兩個臨界位置.當相切于點（1，-1）時，容易求得a=-2，b=1，則h（x）=-2x+1，此時h（3）=-5，所以3a+b∈（-5，0）.

雖然，本節課“用根（零點）表示參數”的解題技巧能夠有效地解決某一類問題，但過于拘泥于一種方法反而容易導致思維固化.實際上，沒有一種方法是萬能的，引導學生去發現問題，進而提出問題，最終能夠分析、解決問題，這才是解題教學的價值所在.