豐富習題內涵培養推理能力
——一道《多邊形內角和》習題的改編與實施

丁玉成

培養推理能力是數學教學的重要目標之一。學生的推理能力主要表現在能通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例；能清晰、條理地表達思考過程，做到言之有理、落筆有據；能在與他人交流的過程中運用數學語言合乎邏輯地進行討論與質疑。推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程，因此推理能力的培養應貫穿于數學教學的全過程。

“鞏固基礎知識，提高基本技能，發展數學思考力”是練習所承載的基本任務與功能。課后習題作為教材為我們提供的練習素材利用率是最高的，如果教師在精心研讀習題、理解編者意圖的情況下，挖掘習題資源，創造性地將習題進行補充、延伸、拓展，用足用好習題，將能使習題功能最大化。

【原題分析】

教材第70 頁練習十六第4 題，以統計表形式將圖形、邊數、內角和編排在一起，讓學生仿照示例，從一個頂點出發放射性地連線，依次求出幾種多邊形的內角和。通過求出的結果，發現邊數和內角和之間的關系，獲得合情推理的經驗。

學生在《四邊形內角和》一課的“做一做”中已經想辦法求過六邊形內角和，他們會將求四邊形內角和中用過的分割法遷移到六邊形上，分成已經證明了內角和的三角形或正方形求出六邊形內角和，但方法各異。因此我對不同分割情況進行歸類、對比分析，達成共識，為探究多邊形內角和做好準備。

通過以上分析，學生已經具備了獨立探究“多邊形內角和”的能力。我認為這道題有可挖掘的空間，為了最大限度地開發學生的推理能力，我將習題進行改編：從七邊形擴展到十邊形，更有利于學生發現邊數與內角和之間的相差關系，為他們的合情推理提供素材上的準備；追加幾個要求，能豐富習題的內涵。改變后的題作為后置性探究作業讓學生在A4紙上把想法以圖文結合的形式大膽地表現出來。

【習題改編】

1.分一分、算一算，每個圖形的內角和是多少？

2.你發現了什么規律？如果發現了規律，你能計算50 邊形、102 邊形的內角和嗎？

3.你能總結出多邊形內角和的計算方法嗎？多邊形內角和=_______________________。

【作品反饋】

●反饋一：發現怎么算？

師：我發現你的作業中九邊形和十邊形都沒有進行分割，把你的理由跟大家說說好嗎？

生：圖形畫太多線看不清，我們就要用規律了。通過分割前面幾個圖形，我發現多邊形劃分出的三角形永遠比這個圖形的邊數少2。

師：之前我們從橫向發現規律，多邊形每多一邊，三角形個數也會增加一個。現在這個規律是怎么觀察到的？

生：上下看的。

師：哪位同學介紹一下這個規律？

生：五邊形分成了3 個三角形，5-3=2；六邊形分成了4 個三角形，6-4=2；七邊形分成了5 個三角形，7-5=2。說明幾邊形都與分成的三角形個數相差2。因此50 邊形內角和就是48×180°=8640°，102 邊形內角和是100×180°=18000°。

師：為什么你舉了三個例子？如果繼續舉例會有一樣的結果嗎？

生：因為舉了三個例子以后發現都是差2，以此類推，其他圖形肯定也是差2 了。

師：你這個“以此類推”是什么意思？

生：算了幾個后就不用再算了，我也是抽幾個算了一下，然后就以此類推了。

師：這個“此”指的是什么？

生：就是我舉的那幾個例子。

師：如果我想多舉些例子，能舉幾個？

生：無數個。

師：能找到一個圖形邊數與分成的三角形個數不是差2 的例子嗎？

生：找不到。

師：原來通過我們算的多邊形中邊數與分成三角形個數之間的關系，就可以推出邊數更多的多邊形的內角和。不知不覺中，我們已經歸納出了多邊形內角和的求法了，多邊形的內角和=（邊數-2）×180°。

●反饋二：知道為什么這么算？

作品1

作品2

作品3

師：你們知道多邊形內角和為什么這么算嗎？

生：（作品1）我是用畫圖證明的，五邊形邊數和分出的三角形差2，所以邊數要減2。

師：我們通過這個規律來發現多邊形內角和的算法，現在要解釋為什么，再用這個規律還是沒有找到本質原因。還有別的解釋嗎？

生：（出示作品2）我給每個多邊形分三角形，出發的那個頂點不能向相鄰兩個點連線，就是我圈著的點，所以是“邊數-2”。

生：你這是在算連線條數還是三角形個數呢？出發的點跟其他點連線，除了旁邊兩個點沒連，出發點本身也不能算，那連線的條數應該是“邊數-3”。

師：確實應該搞清這個問題，大家先獨立想想這個問題，然后小組交流一下。

生：分割的線確實比邊數少3，但三角形個數又比分割線多1。比如五邊形的分割線是2 條，分成了3 個三角形；六邊形分割線3 條，分成4 個三角形……

師：這位同學從另一個角度來解釋，大家聽一聽。

生：（作品3）大家看我的圖，多邊形分出的三角形除了最兩側的兩個三角形，中間的三角形都有原來多邊形的一條邊，而最兩側的兩個三角形卻各占了多邊形的兩條邊，所以得各去掉一條邊，多占的兩條邊去掉后，每個三角形就對應著一條邊了。那么三角形個數就是邊數減2。

師：這個解釋將三角形與多邊形的邊一一對應。其實兩位同學都說明了邊數為什么比三角形數多2的道理，而第二種解釋更能令大家接受。

【編輯點評】

1.“發現怎么算”——培養歸納推理能力。

學生通過計算填表、觀察、比較、分析、綜合，歸納出多邊形內角和的計算方法，是一個從個別到一般的歸納推理過程。學生解決“發現怎么算”的過程就是一個過程清楚的簡化版不完全歸納推理，將此作品呈現、介紹給全體學生，能將隱含的推理思想明朗化。教師提出的針對性問題“為什么你舉三個例子？如果繼續舉例會有一樣的結果嗎？”“以此類推是什么意思？‘此’代表什么？”“一直舉例能舉幾個？”能引導學生知道通過幾個例子可以發現一些規律，所舉的例子個數在有限的情況下，也要盡可能多一些、全面一些，結論就會可靠些。這整個“發現怎么算”的過程就是培養學生合情推理能力的過程。

2.“知道為什么這么算”——培養演繹推理能力。

通過歸納推理得到的結果如果能挖掘本質，揭示其內在原因，可以使學生知其然且知其所以然，使結論更加可靠令人信服。教師借助少數幾個學生思考的成果推動整個班級的學生積極思考，這是有價值和意義的。兩位學生以各自不同的理由配合直觀圖示說明了為什么邊數與三角形數相差2 的本質，雖然只是極個別學生的發現，但其他學生通過傾聽、復述，逐漸明白本質，將歸納推理得到的結論以講道理的科學驗證法進行演繹推理，兩種推理交織在一起，使學生在發現規律、驗證規律中積累更加豐富的推理經驗。