大題小做，領(lǐng)悟內(nèi)涵
——由一道中考試題領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

筅浙江省義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)稠江校區(qū) 賈慶豐

什么是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)？怎樣在中考命題中體現(xiàn)這一思想？這是眾多一線(xiàn)教師不斷思考的問(wèn)題.教育專(zhuān)家認(rèn)為人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實(shí)踐創(chuàng)新是數(shù)學(xué)學(xué)科六大素養(yǎng)，這種闡述未免過(guò)于理論化.筆者在翻閱近來(lái)學(xué)生的練習(xí)，尤其是以各地中考試題或模擬試題為主線(xiàn)的中考備考的訓(xùn)練，反思發(fā)現(xiàn)命題人將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)貫穿于知識(shí)探究的始終.為此，將在思考一些試題之后涌現(xiàn)的感悟直接流于筆端.

中等教育理念是以“全面發(fā)展的人”為核心素養(yǎng)，要求一個(gè)初中學(xué)生必須是一個(gè)全面發(fā)展的人.這種全面發(fā)展體現(xiàn)在文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會(huì)參與等三個(gè)方面.中考就是對(duì)這些方面最好的評(píng)價(jià).中考是初中生必要的經(jīng)歷過(guò)程，作為一次評(píng)價(jià)性和選拔性考試，一定是注重引領(lǐng)和評(píng)價(jià)等初中教育的核心素養(yǎng)的.不妨借助一道2018年的中考試題來(lái)闡述在命題中是如何具體展示核心素養(yǎng)的.

一、案例分析引導(dǎo)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

典例：（2018年寧波市中考第22題）如圖1，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別與BC、AC交于點(diǎn)D、E，且BD=CD，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F.

（1）求證：DF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若AD=5 姨%3 ，∠CDF=30°，求⊙O的半徑.

圖1

分析：本案例的構(gòu)成元素有三角形、圓、垂線(xiàn)，解決的問(wèn)題是兩個(gè)：一個(gè)是證明，有著鮮明的邏輯性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念科學(xué)性的核心素養(yǎng)；另一個(gè)是給出數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，體現(xiàn)的是數(shù)形轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)基本思想.

在第（1）問(wèn)中，要求證DF是⊙O的切線(xiàn)，必須從圓的切線(xiàn)概念和特征出發(fā)，這是數(shù)學(xué)概念的核心問(wèn)題：一直線(xiàn)若與一圓有交點(diǎn)，且連接交點(diǎn)與圓心的直線(xiàn)與該直線(xiàn)垂直，那么這條直線(xiàn)就是圓的切線(xiàn).如何判斷是圓的切線(xiàn)呢？一般可用如下方法：①作該線(xiàn)的垂線(xiàn)，證明其是半徑；②過(guò)交點(diǎn)作半徑，證明兩線(xiàn)垂直；③圓心到切線(xiàn)的距離長(zhǎng)度為半徑長(zhǎng)度.當(dāng)然，解本題最有效的方法就是第②種了.也就是采用：連接OD，證明DF垂直于OD即可.

根據(jù)這一分析的過(guò)程得出證明思路：連接OD，見(jiàn)圖2.由BD=CD，OB=OA，可以確定OD為△ABC的一條中位線(xiàn)，進(jìn)而得到OD∥AC；再由已知條件DF⊥AC，可以推出OD⊥DF，即證明DF為圓O的切線(xiàn).

圖2

由DF⊥AC，∠CDF=30°，可以推斷出∠C=60°；由OD∥AC，推斷出∠ODB=∠C=60°；由OB=OD，推斷出∠B=∠ODB=60°.根據(jù)圓的直徑AB所對(duì)的圓周角∠ADB=90°推斷出∠BAD=30°.假設(shè)圓的半徑為x，則BD=x，AB=2x.根據(jù)勾股定理，得x2+（52=4x2，解得x=5，故圓的直徑AB=2x=10，其半徑為5.

二、大題小做錘煉，內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)概念的熟練、科學(xué)應(yīng)用離不開(kāi)日積月累、不斷強(qiáng)化.以下是對(duì)典例設(shè)置的（1）進(jìn)行的變式.

練習(xí)：①在典例的圖1中，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別與BC、AC交于點(diǎn)D、E，且BD=CD，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)交AC于點(diǎn)F.由此可以得出∠AFD為（ ）.

A.銳角 B.直角 C.鈍角 D.任意角

②如圖3，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)與⊙O的切線(xiàn)AF交于點(diǎn)F.若∠ABC=a∠CAF，則a的值為（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

創(chuàng)設(shè)意圖：本題的創(chuàng)設(shè)體現(xiàn)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念的科學(xué)精神核心素養(yǎng).命題中對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握主要強(qiáng)調(diào)學(xué)生抓住圓的切線(xiàn)的特征，去尋找判斷是圓的切線(xiàn)的方法.也就是說(shuō)，是對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用，需要嚴(yán)密的邏輯推理過(guò)程，是對(duì)數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)的考查.因此，筆者設(shè)置兩個(gè)大題小做，目的在于使對(duì)數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)密應(yīng)用這種科學(xué)精神能夠充分展現(xiàn)在學(xué)生運(yùn)用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中所形成的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)、思維方式和行為表現(xiàn)等方面，真正讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念應(yīng)用具有推理過(guò)程的嚴(yán)密性與科學(xué)性的核心素養(yǎng).

圖3

樹(shù)立科學(xué)的信念在于對(duì)知識(shí)的拓展與延伸，在于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的合理推斷.下面兩題是對(duì)典例設(shè)置的（2）進(jìn)行的變式.

練習(xí)：①在圖1中（見(jiàn)典例），在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別與BC、AC交于D、E兩點(diǎn)，且BD=CD，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)交AC于點(diǎn)F.如果⊙O的半徑為5，而∠CDF=30°，則BD的長(zhǎng)為（ ）.

②如圖4，AB為⊙O的弦，若OA⊥OD，AB、OD交于點(diǎn)C，且CD=BD，當(dāng)OA=3、OC=1時(shí)，線(xiàn)段BD的長(zhǎng)是（ ）.

A.5 B.2 C.4 D.3

創(chuàng)設(shè)意圖：本題考查數(shù)學(xué)的基本思想——“數(shù)形轉(zhuǎn)換”.學(xué)生通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，可以體驗(yàn)到一種從“有形”到“無(wú)形”的內(nèi)化能力，這種能力的達(dá)成過(guò)程是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)更好的詮釋.

圖4

幾何推斷與計(jì)算是訓(xùn)練理性邏輯最好的方法和途徑.筆者設(shè)置兩個(gè)大題小做，目的在于讓學(xué)生在典例的基礎(chǔ)上不斷內(nèi)化學(xué)科能力，在備考中形成探究問(wèn)題的意識(shí)、選擇自我完善的方式和方法，從而在學(xué)習(xí)進(jìn)程評(píng)估、調(diào)控等方面得以全面發(fā)展，這才是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

總之，通過(guò)2018年寧波中考試題不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在于學(xué)生在平常學(xué)習(xí)過(guò)程中的知識(shí)積淀，激發(fā)學(xué)生的探究激情，讓他們樂(lè)學(xué)、善學(xué)；也在于學(xué)生在平常學(xué)習(xí)過(guò)程中潛移默化，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的求知欲望，讓他們勤于反思；同時(shí)在于學(xué)生在平常學(xué)習(xí)過(guò)程中交流提煉，挖掘?qū)W生的合作潛能，樹(shù)立他們的信息意識(shí).