練就眼力精選好題，改編“問題”驅動教學

筅江蘇省揚州市朱自清中學 余 雷

一、中國南宋著名數學家楊輝的教學思想概述

近讀丁石孫、張祖貴先生著作（見參考文獻［1］），其中對中國古代數學教育的闡述中，重點介紹了南宋末年的著名數學家楊輝（約13世紀中時期人，字謙光，杭州人），文中特別提到楊輝重視數學的普及教育工作，主張數學教育與學習要循序漸進，熟讀審思.在數學教學上，他主張誘導學習者積極學習，從而提高計算能力；強調通過習題的演算，來領會個中奧秘，認為“好學君子，自能觸類而考”，從而達到學習的要求.最為難得的是，他對做好數學習題與學習基礎理論的關系，以及按什么標準選擇習題有深刻的認識，強調“夫學算者，題從法取，法將題驗，凡欲明一法，必設一題”“題繁難見法理，定撰小題驗法理，義既通雖用繁題了然可見也”.以上數學教育原則到今天仍是十分重要的.

由以上讀書筆記，筆者聯想到當下數學教學領域的習題選擇（即選題），本文結合近年來所見、所為、所思，談談課堂教學中例題與習題的選擇.

二、例題與習題選編的案例分享

案例1：七年級就要重視“視為整體”的訓練.

題1：已知關于x的方程x3+x=13+1的解為x=1；x3+x=23+2的解為x=2；x3+x=（-3）3+（-3）的解為x=-3.

根據以上材料，解答下列問題：

（1）觀察上述方程及解的特征，直接寫出關于x的方程x3+x=43+4的解為______；

（2）猜想關于x的方程x3+x=a3+a的解為______；

（3）利用（2）中猜想到的結論，求解關于x的方程（x-1）3+x=（a+1）3+a+2的解.

思路概述：前兩問都可直接寫出答案，第（3）問需要對方程進行整理、變形，比如，［（x-2）+1］3+［（x-2）+1］=（a+1）3+（a+1），將x-2視作一個整體，對應等式右邊的整體a+1，即可得x-2=a+1，即x=a+3.

教學意圖：從七年級開始就可訓練學生“視為整體”的解題策略，這也是用字母表示數、列代數式之后考查較高能力水平的題型.七年級上學期教材中也經常有將“a+b”或“10m+n”看成一個整體這樣的訓練，而且到八年級學習乘法公式之后，就需要識別、套用公式，如將哪些部分或整體視作公式中的a或b；到九年級學習一元二次方程的求根公式、根的判別式，二次函數的圖像的頂點公式，等等，都需要靈活切換視角，要有“視為整體”的眼力.

案例2：八年級幾何教學要關注經典問題.

題2：【閱讀回顧】教材“實驗與探究”曾對三角形中邊與角之間的不等關系進行研究，我們確認了以下性質：在一個三角形中，較大邊（或較大角）所對的角（或邊）相應也較大.簡稱“大邊對大角”“大角對大邊”.

【性質運用】（可以借助以上性質參與下列問題的推理的證明）

如圖1，△ABC中，AB=AC，AD是頂角∠BAC的外角平分線，點P在射線AD上（不包括端點A），連接PC、PB.

（1）求證：PC＜PB；

（2）判斷∠ABP與∠ACP的大小，并說明理由.

思路概述：（1）方法1：在△BPC中，可證出∠PBC＜∠PCB，于是BP＞CP，即獲證.

圖1

圖2

圖3

方法2：如圖2，作AE⊥BC于點E，交BP于點Q.在△CPQ中，CQ+PQ＞PC，而CQ=BQ，于是BQ+PQ＞CP，即獲證.

（2）在BA的延長線上取AC′=AC，連接PC′.先證△APC△APC，得∠AC′P=∠ACP，PC=PC′，于是BP＞PC′.在△BPC′中，由“大邊對大角”得∠ABP＜∠AC′P，問題得解.

教學意圖：八年級上學期主要學習平面幾何中的一些難點章節，如三角形全等、等腰三角形等特殊圖形的性質，當前很多教輔資料上的這類平面幾何習題盲目選用各地中考真題，加重學生學習負擔，因為很多中考平面幾何題都是經過圖形變換之后或者是由幾何畫板等電腦軟件動態變換之后得出的一些奇異性質，簡單把這類平面幾何難題“下放”在八年級上學期進行訓練，學生苦不堪言，對平面幾何教學產生不良導向.而像教材上經典的幾何性質，如等邊對等角、等角對等邊，其有很大的拓展與推廣空間，比如，將其“一般化”為“大邊對大角”“大角對大邊”，這類問題不但能訓練學生做一題、會一類，使得經典問題、經典圖形的教學功能得到大大提升，同時向學生傳遞、滲透了研究幾何的方法與套路（善于從特殊走向一般）.

案例3：定長線段圍平面圖形的面積最大問題.

【教材習題】分別用定長為a的線段圍成矩形和圓.哪種圖形的面積更大？

改編習題：分別用定長為a的線段圍成矩形和圓.

（1）求所圍成的矩形的面積的最大值；（用含a的式子表示）

（2）哪種圖形的面積更大？為什么？

思路概述：（1）設所圍成的矩形的長為x，則寬為-x..S矩形=x所以當x=時（此時矩形恰為正方形），矩形面積取得最大值

（2）圍成的圓面積更大，理由如下.由題意得圍成的圓的半徑r=S圓=πr2=因為大于矩形面積的最大值所以圍成的圓面積更大.

教學意圖：用定長線段圍圖形是小學階段就熟悉的問題背景，而且小學時學生就積累了相關的最值經驗，比如，用定長為a的線段圍成的矩形中正方形的面積最大，而所有圍成的平面圖形中，圓的面積最大.該題在九年級教材上二次函數一章中，結論學生都記得，但是在說明理由時常常不太嚴謹，比如，對所圍成的矩形中正方形最大缺少演算步驟，沒有用二次函數解析式、配方求最值的方式.為學生設計鋪墊式問題，也是積極踐行楊輝數學教學思想中提出的“夫學算者，題從法取，法將題驗，凡欲明一法，必設一題”.

三、關于習題選擇的進一步思考

1.教師要修煉識別“好題”的專業功夫

教師需要有很多專業基本功，其中善于識別“好題”應該是一項重要的專業基本功.能從眾多習題中，一眼識別那些“表述簡潔、思想深刻、富有發展、解法多樣”的好題確實不是一件容易的事，需要老師們在平時教學研究過程中勤于解題，歸類收集，整理存檔.這樣堅持五年以上（甚至需要更長的時間積淀），才能對一些“好題”有較好的識別“眼力”.

2.將“好題”改編成“問題”驅動教學

在教學研究的基本問題（教什么，怎么教，教誰）中，“教什么”永遠是第一位的.而數學教學離不開數學習題，要精選那些“好題”很不容易，在此基礎上，還要求教師善于結合教情、學情，將好題改編成“問題”，以便運用“問題”驅動教學進程，進行所謂的“問題驅動”教學.“習題”到“問題”，一字之別，卻是教學理念和教學價值觀的重大轉換，值得大家仔細玩味.

3.古代數學家教育智慧需要挖掘和實踐

如參考文獻［1］中介紹所見，中國古代數學家有很多先進的教育智慧與實踐經驗，值得認真學習，特別需要挖掘整理.作為一線教師，并不是數學史、中國古代數學史研究專業出身，但是可以借鑒一些文獻研究中的經驗，積極付諸教學實踐.像本文中的識別“好題”，將“好題”改編打磨成“問題”驅動課堂教學，就可看成是踐行楊輝數學教學思想的一些努力.當然，我們的實踐剛起步，認識很不到位，期待更多的同行積極行動，豐富案例研究，加深我們對古代數學家的教育智慧的實踐與理解.