重視“好題”講評，研發(fā)“一題一課”
——以一道縣區(qū)模考題為例

筅江蘇省南通田家炳中學 嚴 莉

不少地區(qū)都是以地級市為單位組織中考命題，所轄的各縣區(qū)在模擬考試中的命題導向往往都會精準應對中考試卷.這些模擬卷中常常會出現(xiàn)一些精彩的原創(chuàng)題、好題，如何發(fā)揮這些好題的講評功能，提高學生解題能力，讓學生從“解一題”走向“會解題”的能力發(fā)展呢？近期，筆者針對本地區(qū)一道?？碱}研發(fā)了一節(jié)“一題一課”考題講評課，取得了較好的講評效果，引發(fā)幾點思考，現(xiàn)整理成文，供研討.

一、“一題一課”教學設計

教學環(huán)節(jié)（一） 考題呈現(xiàn)，一題多解

考題：如圖1，△ABC的角平分線BD=1，∠ABC=120°，∠A、∠C所對的邊記分別為a、c.

（1）當c=2時，求a的值；

教學預設：由于第（1）問方法很多，教學時引導學生在小組內交流、梳理不同解法后，再全班展示、互相學習不同解法.我們預設一些解法的思路，以便學生還沒有出現(xiàn)類似解法時進行思路的啟發(fā).

思路1：如圖2，過點A作AE⊥BD于點E.結合角平分線性質，在Rt△ABE中，∠ABE=60°，則BE=

圖2

由BE=BD，得點E與點D重合，則AD⊥BD.則a=c=2.

思路2：過點A作AH⊥BC于點H.結合外角∠ABH=60°，在Rt△ABH中，BH=c=1，于是可證△ABH△ABD，從而可得∠BDA=90°，進一步再證△ABD△CBD，問題獲得突破.

圖3

圖4

思路3：如圖4，過點D作DH⊥AB于點H.在Rt△BDH中，∠ABD=60°，BH=，于是AH=.在Rt△ADH中，可利用銳角三角函數(shù)求出∠ADH=60°.在Rt△BDH中，∠BDH=30°，則BD⊥AC，于是可證△ABD △CBD，從而問題獲解.

思路4：如圖4，過點D作DH⊥AB于點H，分別求出BH=.在Rt△ADH中，可利用銳角三角函數(shù)求出∠A=30°，于是由三角形內角和可得∠C=30°，則BC=AB=2.

思路5：如圖5，過點D作DH⊥AB于點H，DG⊥BC于點G.分別求出BH=，DH=DG=.在Rt△ADH中，可利用銳角三角函數(shù)（或利用三角形相似）求出∠A=30°，于是由三角形內角和可得∠C=30°，即BC=AB=2.這種思路比思路4要繁冗，教學中如果學生構造了兩條垂線段，可以畫在黑板上收集起來，對這一小問來說有些思維回路，但是對后續(xù)問題的探索是有效的輔助線.

圖5

圖6

思路6：如圖6，過點D作DM//BC，交AB于點M.先證△BDM是等邊三角形，得BM=BD=1，于是AM=1，接下來有不少路徑，比如，由DM=AM=BM，可得∠ADB為直角，從而獲得思路貫通；或再證△ADM △ACB，根據(jù)對應邊之比可得BC=2.

限于篇幅，我們不再展示其他思路.據(jù)本題的閱卷報告，該題多達20多種方法，教學時安排學生展示出5~8種即可，不必太多，有些路徑相近的可歸到一類解法，如果本質上不一樣，要引導學生敘述它們的不同點，辨析解法的不同也是需要重點培養(yǎng)的能力.

教學環(huán)節(jié)（二） 拾級而上，前后呼應

問題“題干”不變.

（2）求△ABC的面積（用含a、c的式子表示即可）；（要求：至少給出兩種不同解法）

（3）求證：a、c之和等于a、c之積.

教學預設：在第（1）問充分探究多種解法之后，第（2）問表示△ABC的面積也有很多思路，學生應該能想出多種方法，這里仍然安排學生進行多解展示交流.以下也預設幾種解法.

思路1：如圖7，過點A作AF⊥BD于點F，過點C作CG⊥BD于點G.

圖7

圖8

思路2：如圖8，過點C作CH⊥AB于點H，用含a的式子表示出CH=a.于是S△ABC=AB×CH=

圖9

以上兩種思路都是基于面積法，這時注意啟發(fā)學生對比兩種解答結果的不同，并檢查過程中有無錯漏，如果確認無錯，進一步可將成果擴大得出考題第（3）問的解答.比如，通過上面兩種面積表示方法a，就可直接獲解.另外，學生還可以從上一問其他解法得出解答，這里再提及一種思路，如圖9，過點C作CE//AB，交BD的延長線于點E.可證出△BCE為等邊三角形，所以BE=EC=BC=a，所以DE=a-1.由△CDE△ADB，得所以整理可得a+c=ac.

教學環(huán)節(jié)（三） 變式再練，拓展挑戰(zhàn)

【變式改編】定義：在△ABC的邊AC上取一點D，連接BD.當時，稱線段BD為△ABC的“比例線”.

已知，如圖1，△ABC的“比例線”BD的長為1，且∠ABC=120°.

（1）當AD=CD時，求BC的長.

（2）△ABC的內角∠A、∠C所對邊是a、c.

①求證：a+c=ac.

（***供學有余力的學習挑戰(zhàn)***）

②分析a、c之和有沒有最小值.如果有，求出它的最小值；如果沒有，請說明理由.

教學預設：第（1）問所給強化條件“點D恰為AC的中點”與原考題的第（1）問的強化條件是等價的，學生可以從不同角度進行突破，有效反饋這節(jié)課的講評效果.

（2）①對應著上文考題的第（3）問，這里略去思路.

二、教學立意的進一步闡釋

1.發(fā)揮“一題多解”的教學功能，促進學生深刻理解關聯(lián)知識

一題多解是不少經(jīng)驗型教師在解題教學時經(jīng)常進行的，但是一題多解不能只是簡單地展示一道習題的多樣化解法，甚至無度展示、炫耀不同解法，這對于提高解題教學效率無甚益處.我們認為，要努力通過一題多解促進學生深刻理解與考題相關聯(lián)的不同知識點，這才是有意義的.上文考題的第（1）問雖然不難，但通過一題多解的展示、對話、互評，能促進學生理解角平分線、60°角、直角三角形、相似三角形、面積法等很多數(shù)學知識點之間的關聯(lián).可見開展一題多解的教學，需要深刻理解考題的結構，還要想清不同解法對應的關聯(lián)數(shù)學知識是否適合本課時的復習目標.

2.注重變式再練的檢測反饋功能，結合學情相機給出拓展問題

在上文“一題一課”教學設計中，我們最后給出了“變式再練”，通過改編設計成一道“新定義”習題，實質上仍然是三角形的角平分線帶來的比例性質.結合學情，如果多數(shù)學生都能順利掌握所講評的問題，可相機給出拓展問題，讓學有余力的學生挑戰(zhàn)最后一問，這一問涉及高中“基本不等式”，但是優(yōu)秀學生利用八年級就學習過的配方法也可進行有效轉化.順便提及，這個拓展問題是受一道江蘇高考填空題的啟發(fā)而改編的.當然，如果班級整體學情不好，對前面所講評的不同解法沒有充分消化理解，則這個拓展提升就不必呈現(xiàn)，這也正是“相機教學”的又一內涵.