培養軌跡意識，提升思維能力
——軌跡意識在幾何最值中的妙用

筅湖北省武漢外國語學校 李 靜

軌跡思想是近年中考的熱點，也是難點！學生如果沒有很好的軌跡意識，遇到此類題型幾乎很難下手！本文借助兩道同類好題，淺談軌跡意識在解題中的重要性.

題1：如圖1，已知點A（8，0）、P（0，m），線段PA繞著點P按逆時針方向旋轉90°至線段PB位置，連接AB、OB，求BO+BA的最小值.

分析：解決這個問題常見的幾步：

第一步：構造三垂型的基本圖形.

圖1

圖2

此題中隱藏著一個等腰Rt△APB，如圖2所示，構造全等三角形，即Rt△APO Rt△PBG，則BG=PO=m，PG=AO=8，則點B（m，m+8）.

關于這個問題，目前是：“山窮水盡疑無路”，難以繼續下去，如何“柳暗花明又一村”？

第二步：見動點B的坐標聯想到點B所在的軌跡，即軌跡意識.

圖3

得到點B的坐標為（m，m+8）后，“突發奇想”點B所在的軌跡為直線y=x+8，如圖3所示！

至此，問題就被轉化為：在定直線y=x+8上找一點B，使動點B到定點O及定點A（8，0）的距離之和最小，即BO+BA最小，這是一個典型的“兩定一動型”將軍飲馬問題.

第三步：利用題目的特殊性解決將軍飲馬問題.

如圖4，作A點關于直線y=x+8的對稱點A′，你會發現題目中有很多45度，這是本題的特殊性，即直線AA′與直線y=x+8的交點一定是點C，易求得點A′的坐標為（-8，16）.接下來，連接OA′與直線y=x+8的交點B即為所要尋找的點B，此時OA′的長即為所求最小值8，此題得解.

圖4

點評：解決本題最關鍵的是第二步，即軌跡意識，想到動點B所在的軌跡是一條直線y=x+8，成功把此題轉化為典型的“兩定一動型”將軍飲馬模型.另外，因為題目中直線y=x+8的特殊性，產生了很多45度角，這樣在解決轉化后的將軍飲馬模型時，作對稱點時也會出現巧合性.

在解決任何問題時，都要有主動尋找綜合題目“特殊性”“巧合性”的意識，解題意識是大家應該深刻反思的話題，樹立良好的解題意識，解題時必會事半功倍，解題能力自然會得到提升！

圖5

圖6

題2：如圖5，已知點A（0，4），動點P從原點O出發，沿x軸的正半軸運動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點在第一象限內作等腰Rt△APB，設P點的運動時間為t秒.設點A關于x軸的對稱點為A′，連接A′B，在點P運動的過程中，∠OA′B的度數是否會發生變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由.

分析：第一步：構造三垂型的基本圖形.

此題中有一個明顯的等腰Rt△APB，如圖6所示，構造全等三角形，即Rt△APO Rt△PBG，易得動點B的坐標為（t+4，t）.

第二步：見動點B的坐標聯想到點B所在的軌跡，即軌跡意識.

得到點B的坐標為（t+4，t）后，“突發奇想”點B所在的軌跡為直線y=x-4，如圖7所示！

第三步：利用題目的特殊性求∠OA′B的值.

得到點B所在的軌跡為直線y=x-4后，你會發現此軌跡直線正好過點A′（0，-4），發現了這個特殊性、巧合性，即可輕松獲得∠OA′B的值為45度，此題得解.

圖7

點評：解決本題最關鍵的還是第二步，即軌跡意識，想到動點B所在的軌跡是一條直線y=x-4，另外發現直線y=x-4的特殊性，即正好過點A′（0，-4），從而順利解決此題.

解題反思：上面舉的兩例，思路幾乎如出一轍，只是問題的呈現略有區別而已.其實題2也可以問一些諸如題1那樣的最值問題，還可以問一些有關軌跡長的問題等，只要發現了動點的運動軌跡，就把握了問題的本質.

上述兩題中的動點軌跡都是直線，原因是動點的坐標表示中，橫、縱坐標都是關于某個參數的一次式，其實這是一個普適結論：如果動點的橫、縱坐標都是關于某個參數的一次式，該動點一定在某條直線上運動，即動點的軌跡是一條直線；而且此直線的解析式有固定的求法，分別令其橫、縱坐標為x、y，消去前面的參數便可得到y與x的關系式，即為所求軌跡直線的函數解析式！

一般情況下，動態問題中，所有的動點等動元素都肯定是在一個不變的背景下或者框架下運動的，或者說動點軌跡一般都是確定的，只是有的時候題目直接交代了，屬于“顯軌跡”，而有的題目沒有明確交代，可稱為“隱軌跡”，發現了這些軌跡、路徑，所謂的動態問題也將不再那么無跡可尋！

找到了軌跡，就找到了要害！大家要樹立用軌跡思想解決動態問題的意識，并且要反復強化，以達到熟能生巧的地步！

圖8

下面結合如下三題進一步體會軌跡意識在幾何最值中的妙用：

練1：如圖8，E、F分別是邊長為2的正方形ABCD的邊AD、CD上兩個動點，且AE=DF，BE交AF于點H，連接DH，求線段DH的最小值.

分析：本題中有兩個動點E和F，依托于AE=DF；可尋找并證明一組全等三角形，即Rt△ADF Rt△BAE，容易推得：AF⊥BE，這是解決此題的“前奏”.

因為點D是定點，而點H是動點，這就導致了動線段DH的最小值是因點H產生的，自然要將目光聚焦在動點H上！

由直角∠AHB正對著一條固定的邊AB，這樣立即聯想到“定弦對定角”模型，即動點H一定在以AB為直徑的圓上運動.有了這種軌跡意識，問題就被順利轉化為定點D到定圓O上的最短距離問題，這是學生熟悉的問題，連接OD，與圓O的交點為H，此時DH即為所求最小值.

點評：本題中動點H的軌跡是一段圓弧，這一點是學生不易想到的，歸結到底，還是學生沒有樹立好的軌跡意識，沒有利用軌跡思想解決動點問題的想法.

練2：如圖9，Rt△ABC中，AC=2，∠CAB=30°，動點D和點B分別在直線AC異側，其中∠ADC=30°，則線段BD的最大值是_____.

分析：由題意可知：A、C、D三點可以確定圓O.

由∠ADC=30°，得∠AOC=2∠ADC=60°.又OA=OC，則△AOC為等邊三角形.

圖9

∠OAB=∠BAC+∠OAC=30°+60°=90°，OA=2，AB=4，則OB=2

點評：解本題的關鍵環節是：找到動點D的運動軌跡，即D點在以O為圓心、以2為半徑的圓弧上運動.解題教學中如果有了這種軌跡意識，問題就會迎刃而解！

練3：如圖10，已知點O為△ABC 的 外 心 ，BC=10，∠BAC=60°，分別以AB、AC為腰向形外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，連接BE、CD交于P點，求線段OP的最小值.

圖10

分析：由△ADC△ABE（SAS），得∠ADC=∠ABE，則∠BPC=∠BAD=90°.

則點P在以BC為直徑的圓弧上運動.

連接BO、CO.

則點A在O為圓心、以OB為半徑的圓上運動，∠BOC=2∠BAC=120°.

取BC的中點G，連接OG、PG.

OP≥PG-OG=5-

點評：解本題的關鍵環節是找到動點P和A的運動軌跡：點P在以BC為直徑的圓弧上運動，點A在O為圓心、以OB為半徑的圓上運動.

通過上述幾題解法的探究，強化軌跡意識對處理有關幾何最值問題的確起到事半功倍的作用.解題教學是數學教學中的主旋律，學生因會做題而愛數學，學生也因不會做題而不喜歡數學.解題教學是培養學生思維品質最重要的抓手，不僅僅要教給學生套路，掌握一些解題方法和技巧，最終目標是培養學生良好的思維品質：思維的敏捷性、靈活性、創新性等.教師在日常教學中，要站在知識體系的高度去思考，善于發現和揭示問題的本質規律，不斷給學生思維啟迪，從而真正把培養學生的能力作為育人的主陣地.