從“減法”到“ 除法”

劉林濤

[摘 要]數學知識是有系統性和關聯性的，前面的知識為后面的知識做鋪墊，但是有的時候，前面的知識卻為后面的知識帶來負遷移，所以知識間的前后照應、轉化融通是一把雙刃劍，有利也有弊。從減法到除法的轉化融通，關鍵在于算式中要留有“余數”，每次剩余的余數將進行再次分配，直到分配“干凈”，從而實現減法與除法完美對接。

[關鍵詞]除法;減法;應用題;操作;分配

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）17-0030-02

在教完關于除法解決問題的應用題之后，教師應找準時機，引領學生辨析對比除法和減法之間的異同，然后進行抽象、歸納和提升，以促使學生掌握除法與減法的聯系與差異，了解除法與減法應用題的基本特征，然后做到在練習中快速辨識，并選取恰當的方法列出正確的算式解決問題，進而解決一些關于四則運算的應用題。

一、兩道相似應用題的碰撞

【例1】 一袋糖果有15顆，分給哥哥7顆，分給弟弟5顆，分給姐姐3顆，問這袋糖果還剩多少顆？

遇到這一類問題，學生很容易能做出正確分析。一是題干中“分給”的意思明確，即從15顆糖果中取走若干顆，然后分配給哥哥、弟弟、姐姐三個人;二是“分配”物品的情境在生活中比比皆是，學生有著豐富的體驗和經驗。因此，學生對這種分配物品的問題也就不會感到生疏。但是同樣是分配食品，如果是按照下面這種分配方案，學生做題就沒那么輕巧容易了。

【例2】 一袋糖果有15顆，現要將其平分給3個人，每人分到手的糖果數量是多少？

此題中，一是“3個人”的條件很抽象，沒有具體指代對象，根本不像例1中的“哥哥、弟弟和姐姐”那樣將分配對象交代得清清楚楚，這樣具體指名道姓的落實到人，學生會形成深刻印象，知道要分成三份;二是“平分給3個人”這句話容易產生歧義，究竟是按人頭去分糖果，還是按照糖果數去調配人員，或者還有其他什么分配法，學生很難分清這里面的名堂，因此，也就難免犯下“15-3=12”的錯誤。但無論如何，要想讓學生理解專業的數學語言，僅靠教師的口頭解釋很難奏效。譬如，例2中的“平均分”，學生拿到題目后根本就不該冒失地去計算。動筆前首先應該將“平均分”的含義弄清楚。如“爸爸手里有6根香蕉，現在要把它分給疼愛的2個兒子，你認為爸爸會怎么分呢？”對于此問題，筆者認為多數學生會想到每個兒子分到3根香蕉。因為他們會認為都是爸爸的寶貝兒子，手心手背都是肉，所以爸爸一定會一視同仁。于是，6根香蕉平均分成兩份，一份就是3根。至于題中的“3個人”該怎么理解，就考驗著教師的教學智慧和技巧。教師必須深思熟慮，即在什么時候（不等分或者不公平分配）應該將其具體化為“哥哥、姐姐和弟弟”這樣明確身份的對象，在什么時候（每人分得的數量沒有差別的情形下）可以將分配對象視為任意的3個自然人。這樣教學，學生才會知道什么是平均分。

二、對照操作過程演示分配

筆者覺得，要想穩妥解決上述問題，最好的方法莫過于讓學生自己動手實踐，動腦思索，然后動筆演算。先由各小組長分配任務，安排分工，如一位學生拿出15根小棒，假想成15顆糖果;接著挑選3個要瓜分糖果的人;然后安排一位分配者來主持分配;再后便是設計“分配法則”，制定分配方案和分配程序，即領取糖果的成員每次從口袋里取出糖果前，一定要向分配者提交數目申請，如果取出的糖果數與配給量不相符，那么糖果分配者有權力拒絕交付糖果。而且，即便是分配者已經完成糖果交付，那么這個過程必須經過其他3個人的監督認證;最后由組長做最后解釋說明。這樣做，兼顧了小組成員的個體思考和全體成員的集體智慧，既展現了個人心思又彰顯了集體智慧，從而避免“場上一個學生表演操作，下面的學生圍觀看熱鬧”的窘境。當然，小組成員的個人獨立操作和團結協作，有利于培養學生的民主意識和團隊精神。接下來就可以進入匯報總結階段。

師：為了保證分配時萬無一失，把15顆糖果平分給3個人，怎么分最合適呢？現在請一個同學上來演示一下他的分配過程。

師：你們看清他的分配過程了嗎？

生1：看清了，就是每次分走3顆，一人一顆。

師：對的！為何每次分走3顆呢？

生2：因為有3個人。

師：一次分3顆，就是要從總數15顆里面分批取走多少？

生3：取走5個3。

師：取走3顆，應該怎么列式計算？

生4：應該用15減去3。

……

教師一邊組織教學，一邊整理數據，列出矩陣（如下圖），引導學生觀察、比較、概括和總結。

三、減法到除法的轉化融通

由上面的矩陣不難發現，“平均分”的操作完全能夠通過減法實現，但前提是每個減數都相同。減數相同的連續相減，其實可以簡記成除法算式，即15[÷]3。當然，我們還必須指出，連減算式中的“3”代表糖果數量，而除法算式中的“3”代表的則是人數，這是為什么呢？因為按照減法計算時，每次取走的糖果數“3顆”剛好是按人頭分配，一人一顆，所以3顆糖果對應3個人，因此到除法里，3個人剛好與3顆糖果調換概念，實際上也就是把15顆糖果平均分成3份，求每份數是多少。

這樣，學生再用“15-3來計算這道題，教師也就能夠一眼看出錯在哪里。因為如果將數字3看成糖果數，說明只進行了一次分配，還沒有分完，一次分走了3顆糖果，每人1顆，剩下12顆糖果沒有分完，取走糖果的人也不會同意。另外，如果將算式中的3看成人數的話，那么15-3=12的結果12，用糖果數減去人數，這“12”代表的到底是12顆糖果，還是12個人呢？因此，教師還必須強調一點：單位不同的數字無法進行加減運算。

綜上所述，從減法到除法的轉化融通，關鍵在于算式中要留有“余數”，每次剩余的余數將進行再次分配，直到分配“干凈”，這樣才能讓減法與除法完美對接。當然，教師提問的時候，不能光問每個人應得幾顆，最好問清楚每次分配后剩下幾顆沒有分完，直到剩下0顆為止。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 談愛清，紀美玲.借助操作復習整理、探索發現：以表內乘、除法計算的復習為例[J].小學數學教育，2018（24）：42-43.

[2] 胡秀霞.“帶余除法”教學的實踐與反思[J].小學教學參考，2018（26）：38-39.

（責編 黃春香）