碰撞過程中的動量守恒和能量損失研究

王澤昊

摘 要：在研究碰撞問題時，動量守恒和能量轉(zhuǎn)化一直備受關(guān)注。從宏觀物體與微觀粒子（電子）的兩個方面，來探討在發(fā)生碰撞的過程中，系統(tǒng)動量的守恒，以及能量損失的方向和形式。在宏觀方面，會對不同碰撞恢復(fù)系數(shù)的物體間的碰撞進(jìn)行研究，通過構(gòu)建碰撞模型進(jìn)行定量計算，并繪圖分析。而在微觀層面，則會首先介紹電子模型，并對電子間的碰撞情況進(jìn)行分析，最后仿照物體的恢復(fù)系數(shù)，類比了電子碰撞中的“恢復(fù)系數(shù)”為0。

關(guān)鍵詞：碰撞;彈性系數(shù);動量守恒;能量損失;微觀與宏觀

中圖分類號：TB???? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????? doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.10.090

碰撞（collision）在物理學(xué)中表現(xiàn)為兩粒子或物體間極短的相互作用。 碰撞前后參與物發(fā)生速度、動量或能量改變。碰撞可以是宏觀物體的碰撞，如打擊等，也可以是微觀粒子如原子等之間的碰撞。只要是兩個作相對運(yùn)動的物體，接觸并迅速改變其運(yùn)動狀態(tài)的現(xiàn)象，都可以叫作碰撞。

動量（momentum）是與物體的質(zhì)量和速度相關(guān)的物理量。一般而言，一個物體的動量指的是這個物體在它運(yùn)動方向上保持運(yùn)動的趨勢。能量（energy）是物質(zhì)運(yùn)動轉(zhuǎn)換的量度，簡稱“能”。

在明確了這些概念的前提下，本文接下來將會從微觀與宏觀兩個角度入手，討論在發(fā)生碰撞的過程中，系統(tǒng)動量與能量的變化情況。

1 碰撞過程中的動量守恒

如圖1所示，在地面上有質(zhì)量分別為m1和m2的兩個物體，它們分別以v1和v2的速度相向運(yùn)動（v1>v2）。隨后兩物體發(fā)生碰撞，碰撞時間為Δt。碰撞后兩物體的速度分別為v'1和v'2。

根據(jù)加速度的定義：

a=ΔvΔt（1）

可得兩物體的加速度分別為：

a1=v'1-v1Δt（2）

a2=v'2-v2Δt（3）

根據(jù)牛頓第二定律可得兩物體所受合力分別為：

F1=m1v'1-v1Δt（4）

F2=m2v'2-v2Δt（5）

當(dāng)兩物體所受外力為0或相互抵消時（在這里即地面提供的摩擦力為0時），兩物體各自所受的合力即為其撞擊時所受的力。根據(jù)牛頓第三定律：

F1=-F2（6）

且又根據(jù)動量定理：

FΔt=mv'-mv（7）

聯(lián)立可得：

m1（v'1-v1）Δt=m2（v'2-v2）Δt（8）

整理可得：

m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'（9）

根據(jù)動量的定義，可以得到碰撞前后系統(tǒng)總動量相等，即動量守恒。

當(dāng)兩個粒子發(fā)生碰撞時（如兩個電子），因為它們的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其系統(tǒng)內(nèi)部的內(nèi)力，故也可按上述過程推導(dǎo)，得到其碰撞前后動量守恒。

2 宏觀碰撞過程中的能量轉(zhuǎn)移

2.1 不同碰撞恢復(fù)系數(shù)的宏觀物體碰撞中的動能損失

如圖1所示，在光滑地面上有質(zhì)量分別為m1和m2的兩個物體，它們分別以v1和v2的速度相向運(yùn)動（v1>v2）。隨后兩物體發(fā)生碰撞，碰撞時間為Δt。碰撞后兩物體的速度分別為v'1和v'2，碰撞恢復(fù)系數(shù)為e。

在研究上述場景中的問題之前，需要先明確碰撞恢復(fù)系數(shù)的概念。碰撞恢復(fù)系數(shù)是碰撞前后兩物體接觸點的法向相對分離速度與法向相對接近速度之比，用符號e表示。即：

e=v2f-v1fv1-v2（10）

其中v1、v2分別為第一個和第二個物體在碰撞前的速度，v1f、v2f則分別為第一個和第二個物體碰撞后的速度。

在上述場景中，因整個碰撞的系統(tǒng)所受外力的總和為0，所以根據(jù)一中的推導(dǎo)可知，該體系碰撞前后的動量守恒。故有：

m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'（11）

根據(jù)碰撞系數(shù)的定義，可知：

e=v2'-v1'v1-v2（12）

由于在質(zhì)心系中碰撞前后相對速度彼此相反，有：

v'1-v'2=-ev1-v2（13）

利用質(zhì)心系總動量為零和相對速度的定義式，再結(jié)合（13）式，容易推出質(zhì)心系中碰撞后的速度表達(dá)式。最后在表達(dá)式中代入：

vc=m1v1+m2v2m1+m2（14）

容易得到碰撞后速度：

v'1=m1-em2v1+1+em2v2m1+m2（15）

v'2=m2-em1v2+1+em1v1m1+m2（16）

所以碰撞前系統(tǒng)具有的機(jī)械能為：

E1=12m1v21+12m2v22（17）

碰撞后系統(tǒng)具有的機(jī)械能為：

E2=12m1v'21+12m2v'22（18）

則其碰撞過程中的能量損失為：

ΔE=E2-E1（19）

經(jīng)過代入、化簡和整理，可得到：

ΔE=ae2+be+c（20）

其中，a、b、c均為由v1、v2、m1、m2通過一定的代數(shù)運(yùn)算所得的常數(shù)。所以可以直觀的觀察到ΔE與e的為二次函數(shù)的關(guān)系。

為了便于更明顯的觀察到不同碰撞恢復(fù)系數(shù)的物體發(fā)生碰撞時的動能損失，現(xiàn)繪制了圖2的表格圖像。

本圖中，橫軸為碰撞恢復(fù)系數(shù)e，縱軸為碰撞中的動能損失。為了便于作圖，令上述場景中的m1=100kg，m2=50kg，碰撞前兩物體的速度分別為v1=10m/s，v2=5m/s。由于v1、v2、m1、m2均為常數(shù)，故其取值不影響動能損失與恢復(fù)系數(shù)的關(guān)系。

根據(jù)圖2，我們可以看出：（1）當(dāng)恢復(fù)系數(shù)e=1時，碰撞前后系統(tǒng)并沒有動能損失，動能守恒。所以我們將這種碰撞稱為完全彈性碰撞。（2）當(dāng)恢復(fù)系數(shù)e=0時，碰撞前后系統(tǒng)的動能損失最大。我們將這種碰撞稱為完全非彈性碰撞。（3）當(dāng)恢復(fù)系數(shù)0

2.2 典型的碰撞中的能量轉(zhuǎn)化形式與方向

能量是物質(zhì)的時空分布可能變化程度的度量，用來表征物理系統(tǒng)做功的本領(lǐng)。能量具有多種不同的存在形式：按照物質(zhì)的不同運(yùn)動形式，我們可以將能量分為機(jī)械能、化學(xué)能、熱能、電能、輻射能、核能、光能、潮汐能等。這些不同形式的能量，可以通過物理效應(yīng)或化學(xué)反應(yīng)，轉(zhuǎn)化為其他形式的能量。當(dāng)然，能量的相互轉(zhuǎn)化，必須遵守能量守恒定律，即：“能量只能從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，而無法憑空產(chǎn)生或者消滅”。因此在不同形式的能量相互轉(zhuǎn)化的過程中，其量值守恒。而在一個封閉的力學(xué)系統(tǒng)中，如果沒有機(jī)械能與其他形式能量之間相互轉(zhuǎn)換時，則機(jī)械能守恒。機(jī)械能守恒定律是能量守恒定律的一個特例。

對于宏觀物體間發(fā)生的碰撞，其能量的轉(zhuǎn)化可較為直觀的被人們所察覺。例如當(dāng)鼓槌與鼓面發(fā)生碰撞時，人們會聽到“咚咚”的聲音，這便是碰撞過程中，系統(tǒng)所具有的動能向聲能的一種轉(zhuǎn)化。

3 微觀碰撞過程中的能量問題

3.1 對微觀粒子抽象化論述

以上對宏觀物體的碰撞進(jìn)行了探討說明，而對于微粒間的碰撞，如果是非彈性碰撞，則同樣存在著多種多樣的能量轉(zhuǎn)化形式。在這里，對其中一種可能的粒子間碰撞后轉(zhuǎn)化為光能的情況進(jìn)行一些定性的討論。

由于量子力學(xué)中的不確定度關(guān)系，微觀粒子發(fā)生碰撞時，微觀粒子的速度與位置不可能同時精確的測定出來。以一定的初速度發(fā)生碰撞的微粒碰撞后產(chǎn)生的結(jié)果也不是唯一的。同時，粒子間的碰撞并不完全與宏觀物體間的碰撞相同。

電子之間的碰撞不止發(fā)生動能的交換，還會伴隨有其他形式的能量轉(zhuǎn)化（如粒子的躍遷或者與粒子產(chǎn)生和湮滅過程相關(guān)的能量）。

3.2 粒子間的碰撞

在討論之前，需要對原子內(nèi)部的結(jié)果有一些了解。原子由攜帶正電荷的核和攜帶圍繞它旋轉(zhuǎn)的負(fù)電荷的核外電子組成。然而，由于電子具有波粒二象性，因此不可能在某一時刻確定它是否是空間中的特定點，并且可以僅指示其在細(xì)胞核之外的某處發(fā)生的概率。涉及的空間范圍稱為原子軌道。而在每個原子軌道中，處于不同能級的電子的能量是不同的。

假設(shè)存在兩個原子（為便于討論，以氫原子為例），其中氫原子A以一定的初速度撞向另一靜止的氫原子B。在這個過程中，A的動能并未全部轉(zhuǎn)化為A與B碰撞后的動能，而是有一部分被氫原子B的原子核外的電子吸收。如果被電子吸收的能量足夠大，則有可能使電子發(fā)生能級躍遷。

圖3 氫原子的能級躍遷示意圖

如圖3所示，氫原子B的電子在碰撞前處于第一能級，這個狀態(tài)的電子正處于基態(tài)。當(dāng)氫原子A與氫原子B發(fā)生非彈性碰撞后，氫原子A的一部分動能被B中的電子吸收，氫原子B中的電子吸收能量，逃離原子核產(chǎn)生的電磁力的束縛，像更高的能級躍遷，此時的電子處于激發(fā)態(tài)。當(dāng)然，由于原子軌道不是連續(xù)的，所以只有當(dāng)B的電子在碰撞中一次性吸收到了足夠使它躍遷到下一能級的能量時，它才會進(jìn)入激發(fā)態(tài)。

隨后，在很短的時間內(nèi)，由于躍遷到高能級的電子并不穩(wěn)定，會重新回到低能級，并放出能量。這個過程中，發(fā)出的電磁波與電子放出的能量存在以下關(guān)系：

ΔE=hν（21）

其中ΔE為電子放出的能量，h為普朗克常數(shù)，ν為電磁波的頻率。由于每個能級的能量固定，所以根據(jù)（20），電子從不同能級躍遷，會放出不同的擁有特定頻率的電磁波。當(dāng)電子躍遷所放出的電磁波恰好處于可見光波段時，我們便會看到產(chǎn)生了可見光。以上整個過程，即為兩電子發(fā)生碰撞的過程中，動能損失，并向光能進(jìn)行轉(zhuǎn)化的過程。

以上是粒子碰撞中的能量的一種轉(zhuǎn)化方向，除此以外粒子還可以通過其他途徑轉(zhuǎn)化為其他形式的能量，如核能等等。

類比宏觀碰撞過程，我們思考關(guān)于粒子的碰撞對應(yīng)宏觀的形式和類比性。比較（20）式和（21），（20）式中可以直觀的觀察到ΔE與e的為二次函數(shù)的關(guān)系，（21）式中可以直觀的觀察到ΔE與只與常量有關(guān)。用宏觀的標(biāo)準(zhǔn)理解，粒子碰撞過程中恢復(fù)系數(shù)是0，可以理解為兩者碰撞后被吸收了，對應(yīng)于微觀的意義，能級的躍遷需要吸收能量。此類比過程對碰撞過程的理解有特殊的意義。

4 總結(jié)

動量守恒和能量守恒是研究動力學(xué)問題時繞不開的話題。在碰撞過程中，動量和能量實現(xiàn)不同方面的轉(zhuǎn)化。在宏觀方面，本文會對不同碰撞恢復(fù)系數(shù)的物體間的碰撞進(jìn)行研究，通過構(gòu)建碰撞模型進(jìn)行定量計算，并進(jìn)行繪圖分析，從而對自然界中能量形式和轉(zhuǎn)化方向進(jìn)行了說明。而在微觀層面，本文還研究了微觀粒子，探討在發(fā)生碰撞的過程中，能量損失的方向和形式。最后仿照物體的恢復(fù)系數(shù)，類比電子碰撞中的“恢復(fù)系數(shù)”為0。類比操作對于理解上的創(chuàng)新大于實際的理論意義。本文較詳細(xì)和系統(tǒng)的說明了一般情況下的碰撞問題，對理解相關(guān)問題具有參考意義。

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