20世紀以來中國初中數學課程標準中推理論證能力的變化及啟示

鄭 欣，程 靖

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20世紀以來中國初中數學課程標準中推理論證能力的變化及啟示

鄭 欣1，程 靖2，3，4

（1．華東師范大學 教師教育學院，上海 200062；2．華東師范大學 數學科學學院，上海 200241；3．上海市核心數學和實踐重點實驗室，上海 200241；4．上海市“立德樹人”數學教育教學研究基地，上海 200241）

針對中國1923年至今，初中階段的數學課程綱領性文件進行內容分析，發現其中關于數學推理論證的能力目標出現了4次“高峰”；并結合史料分析，解釋了合情推理和論證推理在百余年教育思潮變化中呈現的“鐘擺”現象；進而指出，在建立具有中國特色的數學課程體系的過程中，需要謀求合情推理與論證推理之間的平衡．

推理論證；數學課程標準；“鐘擺”現象

1 引言

推理是發展思維或論證的過程，數學推理是關于數學對象的推理，同時也是運用數學對象的推理[1]．一方面，數學推理對數學概念的理解、運用數學思想、程序的靈活性以及重構某些已經理解但遺忘了的數學知識來說，必不可少[2]．另一方面，數學推理幫助人們達到諸如說服自己相信特定數學主張、將某些數學思想整合成更連貫的整體等目的．可見數學推理作為連接思想與方法的橋梁，對數學學習來說占有重要的地位．

世界各國現行的數學課程標準不約而同地將推理論證能力作為培養學生數學能力的重要指標之一．美國的《州際核心數學課程標準》將推理融入其8條數學實踐標準中，要求學生能夠“抽象化、量化地進行推理”“構建可行的論證并批判他人的推理”“以及在不斷推理中尋求表征規律”[3]．新加坡教育部將推理作為數學問題解決的一個重要過程．國際學士學位評估目標和澳大利亞F-10數學課程關鍵思想均將推理作為關鍵詞[4]．在中國，推理同樣備受重視，2018年出版《普通高中數學課程標準》，將邏輯推理素養列為數學學科核心素養之一．

回溯歷史，1922年“北洋政府”進行學制改革，頒布《學校系統改革案》．所規定的“新學制”是中國現代學制系統的開端，而數學課程標準是中國數學教育課程改革歷史演變的直接體現．因此，依據自1922年新學制改革至今的初中階段數學課程標準及教學大綱，采取“文本分析”（content analysis）的研究方法，圍繞如下兩個內容進行：一是建構數學推理論證能力目標的分析框架；二是研究近百年內初中數學課程綱領性文本中數學推理論證能力目標的變化及背后的原因，試圖找到數學推理論證能力在不同年代綱要文件中的發展規律．

2 數學推理論證能力的概述

國際上關于數學推理的內涵可謂眾說紛紜，學者們從不同角度進行了闡發．如Brodie認為數學推理是一條“路徑”，具體而言，是兩個想法或數學概念之間構建的一條，用以論證或解決問題的路徑[5]．而Lithner則認為數學推理是一種“思維過程”，它是推理者基于數學經驗，在問題解決過程中產生想法或結論的思維過程，這種思維過程只需對推理者來說合理，不必嚴格符合邏輯[6–7]．此外Ball和Bass認為推理是數學的“基本技能”，對于諸如理解數學概念，靈活運用數學思想和程序，以及重新構建曾經被理解但被遺忘了的數學知識等目的來說都是必要的[8]．

《義務教育數學課程標準（2011版）》從合情推理和演繹推理兩方面共同闡述數學推理論證能力的內涵：合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等手段推斷某些結果，演繹推理是從已有的事實和確定的規則出發，按照邏輯推理的法則證明和計算[9]．《普通高中數學課程標準（2017版）》將其綜合敘述為從一些事實和命題出發，依據規則推出其它命題的素養[10]．相似的，美國的《州際核心數學課程標準》既提出了對合情推理的要求：學生能夠根據數據進行歸納推理，并結合數據背后的情境做出合情推斷；同時也提出了對論證推理的要求：學生能夠理解并使用給定的假設、定義和已知的結論來構建自己的論證[3]．

總之，雖然學界對數學推理論證的內涵沒有統一的定論，但學者們的觀點基本上是相似的，數學推理必須是在數學領域中的應用，且是數學對象之間的推知或聯系，這種推知或聯系的過程可以是嚴格證明，也可以是合理猜測．基于上述分析，將數學推理論證能力定義為：通過對數學對象（數學概念、關系、性質、規則、命題等）進行邏輯性思考（觀察、實驗、歸納、類比、演繹），從而做出推論；再進一步尋求證據、給出證明或舉出反例說明所給出推論的合理性的綜合能力[11–12]．

3 研究過程

3.1 研究設計

研究整體上分為3個階段．（1）原始編碼框架的形成；（2）正式編碼框架的形成；（3）研究結果的生成．

如圖1所示，第一階段，首先基于已有研究，形成分析框架；然后通讀選定的課程綱領性文本；最后形成原始的編碼框架．第二階段，先使用原始的編碼框架進行試編碼，當編碼框架對文本不適用時，修正編碼框架并返回重新試編碼，通過這樣不斷修正的循環過程形成修正后的編碼框架；隨后對修正后的編碼框架進行信度分析，若信度分析不通過，在排除編碼者自身原因的前提下，回到本階段最初，重新修正編碼框架，直至通過編碼信度分析，得到最終編碼框架．第三階段，依據正式編碼框架進行全文本編碼，生成研究結果．

圖1 研究流程

3.2 文本的確定

依據研究問題，確定文本為中國自1922年起至今的初中數學課程綱要、課程標準及教學大綱．其中1922—2000年的數學課程綱領性文件選自人民教育出版社課程教材研究所編寫的《20世紀中國中小學課程標準·教學大綱匯編（數學卷）》，共包含2部課程綱要，12部教學大綱，7部課程標準．如1923年刊布的《初級中學算學課程綱要》、1941年刊布的《修正初級中學數學課程標準》以及1952年出版的《中學數學教學大綱（草案）》．2000年后的課程標準則包括中華人民共和國教育部制定的2001及2011版義務教育數學課程標準．為方便表達，下文統稱課程綱領性文件，如有必要則另行說明．

3.3 分析框架

依據已有研究[12]，并結合課程綱領性文件中內容要求的特點，從數學推理論證維度構建了分析框架（如圖2）．考慮數學推理的類型，將其分為合情推理和論證推理兩大類，并作為一級指標．然后將合情推理和論證推理的子類別作為二級指標（如表1）．

3.4 編碼規則與編碼框架

3.4.1 編碼規則

編碼遵循如下規則：同版本課程綱領性文件中若涉及多個方案，則參照方案一，如1951年《中學數學科課程標準草案》分第一案和第二案，則參照第一案；由于課程綱領性文件中存在對各級指標的敘述，因此各級指標均可用于編碼，如2011年《義務教育數學課程標準》提到“推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中”[9]，可將其編碼為數學推理論證總指標；編碼最小單位為短句，以逗號為標準；編碼參照框架的各級指標，若含有多重含義，則可多次編碼，如2011年《義務教育數學課程標準》提到“合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果”[9]，提到合情推理、歸納和類比等關鍵詞，可同時編碼合情推理一級指標、歸納及類比二級指標．

圖2 課程標準及大綱中數學推理論證分析模型

3.4.2 數學推理論證能力編碼框架

編碼框架如表1所示，包含總指標及下設二級指標．總指標即數學推理論證能力．一級指標依據數學推理論證的定義將總指標分類為合情推理及論證推理．合情推理是用于猜想發現的，即根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程；論證推理是用于嚴格證明的，根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等），按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程．在一級指標的基礎上，結合文本的閱讀，分類得到二級指標．合情推理包含觀察、實驗、歸納及類比；論證推理包含分析推理、演繹推理、關系推理及反證法．

3.5 編碼一致性檢驗

為判斷編碼數據的可靠性，在階段二，對最后一次修正所得的編碼框架進行雙人一致性檢驗．隨機抽取了7個年份的課程標準，由兩名編碼者在研究者向其說明分析框架后，分別單獨進行編碼．經檢驗兩人一致性為90.9%．存在分歧的地方，經過兩位編碼者協商，能夠達成一致．

表1 數學推理論證能力編碼框架

4 初中階段數學推理論證的變化及分析

4.1 從各級指標看推理論證的詞頻變化

從推理論證總指標的角度看，詞頻出現過4次較大波動．如圖3所示，1923—2011年共23版綱要中，初中階段數學推理論證的詞頻分別在1941年、1963年、1988年以及2001年出現階段性峰值，分別是24次、45次、118次和194次．峰值過后，出現較大幅度的回落．

圖3 初中階段課程綱領性文件中數學推理論證詞頻

圖4進一步比較了合情推理與論證推理的詞頻．不難發現，兩者比重也經歷了多次變化．在“29版暫行標準”中，合情推理的詞頻相比論證推理僅占25%．此后自1932—1950年間的6版課程標準中，合情推理所占比重高于論證推理，并不斷增大，在1950年達到歷史最大值，占比80%．此后在“51版標準草案”中下降至47.37%．自此，直到1982年，合情推理的詞頻占比總體上呈不斷下降趨勢，于1982年達到歷史最低水平，僅11.76%．1982年后，合情推理比重呈穩定提升的趨勢，至2011年達45.45%．

觀察合情推理與論證推理的二級指標發現，兩者具有相似特征．如圖5、圖6所示，1929—1986年間，所有二級指標在課程標準中出現的頻數均未超過5．其中的1963—1986年間，所有指標均陷入低谷．在“88版大綱”中，對觀察、歸納、類比及關系推理的關注有所提升．1990年出現回落現象，此后各指標在課程綱領性文件中的體現不斷加強，尤以觀察最為突出．值得一提的是，在建國前的課程綱領性文件中均有提及對實驗的教學要求，但自1950—2000年的50年間，課程綱領性文件對實驗的要求只字未提．在“2000版大綱”中重提關于實驗的教學要求．

圖4 歷年課程綱領性文件中合情推理與論證推理詞頻比較

圖5 歷年課程綱領性文件中合情推理二級指標詞頻

圖6 歷年課程綱領性文件中論證推理二級指標詞頻

4.2 從4個歷史時期看推理論證能力目標的變化

中國的數學課程在不同的歷史時期表現出不同的特點，從1923年至今，大致經歷了4個階段：第一階段是民國時期；第二階段是1949年到改革開放前的新中國初期；第三階段是從改革開放到中國“義務教育法”頒布；第四階段是中國實行義務教育制度之后．在這4個不同的歷史時期中，中國數學課程中的推理論證能力目標也表現出不同的特征，相應的史料在一定程度上印證了上述詞頻分析的結果．

4.2.1 第一階段

在1941年以前，數學課程被稱為算學．算學乃根據與日常經驗不相違背之公理與定義用嚴密之論理方法推出定律公式法則定理問題等，以研究數及形的應用和理論的一種學問[13]．其中的“論理”指“logic”，就是今天說的“邏輯”，當時的學者大多不用音譯，他們認為音譯在英文固然恰當，但在德法文并不恰當[14]，因此將“logic”一詞翻譯為“論理”．當時在普通高中設置了論理學課程．論理學“簡單言之，可曰思考之科學．再進而詳釋之，則為研究思考作用之形式及法則，而獲得正確的知識起見，以論定必當遵守之規范為目的之科學也”[15]．其教授的內容包含人類思想的分析、科學方法要旨、歸納法、演繹法等．論理方法包含了論理學課程中所介紹的觀察、實驗、分析、假設、演繹等種種方法．算學依賴極為嚴密的論理方法逐漸發展．即利用大前提和小前提推導出結論，先以公理和定義作為前提，推出公式和定理等，經過證明后的公式和定理，又作為依據，按照規則推理．學生論理的能力就是運用上述方法的能力．論理能力與數學推理論證能力相比較，在方法上有很大的相似之處，因此將論理能力作為推理論證能力的發端．1923年刊布的，由胡明復負責草擬的《初級中學算學課程綱要》將“以數學的方法發展學生論理的能力”[16]寫入課程目的中．這是近代以來，推理論證能力在中國課程綱要中的首次登場．

1941年，算學更名為數學，在《修正初級中學數學課程標準》中提出“培養學生分析能力、歸納方法”[17]等教學總目標；同年，根據第三次全國教育會議提出“為適應抗戰建國之需要”[18]的決議，教育部公布《六年制中學數學課程標準草案》，將“提示學生說明推證之方式”[18]列入教學目標．數據顯示，1941年推理論證能力的比重在課程標準中有一定的提升．

受杜威“實用主義”教育思想的影響，該階段中國數學課程更關注歸納方法及實驗操作．如圖4所示，綱領性文件內出現了合情推理比重大于論證推理的現象．

4.2.2 第二階段

1949年新中國成立，中國數學課程的發展面臨著兩條道路，一是傳承與發展原有的數學課程體系；二是另辟蹊徑，建立一套新課程體系．在確定“一邊倒”政策，宣布“以俄為師”，依靠蘇聯的幫助來進行各方面的建設[19]后，中學數學課程經歷了短暫的過渡階段，便舍棄原有數學課程，轉向全面學習蘇聯數學課程模式．1952的《中學數學教學大綱（草案）》以當時蘇聯大綱為藍本進行修訂，提出教學應努力“發展學生邏輯的思維力和判斷力”[18]．受希爾伯特形式主義數學哲學影響，在很長一段時間內，數學教學不斷追求形式化演繹．因此該階段綱要文本中，合情推理處于下降趨勢．

1958—1961年間，中國數學教育反思了學習蘇聯的“少慢差費”[20]現象，并進行短暫的中國數學課程發展道路探索．1963年3月，中共中央總結了前期的經驗教訓后，在5月頒布的《全日制中學數學教學大綱（草案）》中明確提出了包含邏輯推理能力在內的三大能力．如圖3所示，頒布的教學大綱中，推理論證能力的詞頻達到該階段的最大值．

值得一提的是，“63版大綱”是一個高峰，與“63版大綱”配套的平面幾何教材形成了完整體系，清晰地提出了分階段培養學生邏輯推理能力的思想：階段一培養判斷能力；階段二，培養簡單推理論證的能力；階段三培養對較復雜的證明題的分析能力，從而提高邏輯推理能力；階段四通過各種證明方法的學習，繼續提高邏輯推理能力[21]．這一體系中，論證推理顯得格外突出．

4.2.3 第三階段

為響應“四個現代化”建設的需求，實現數學課程現代化，教育部提出了“精簡、增加、滲透”的課程制定原則．1978年頒布的《全日制十年制學校中學數學教學大綱（試行草案）》在“63版大綱”的基礎上，將邏輯推理能力改為邏輯思維能力．因為邏輯推理能力容易與演繹推理等同，而邏輯思維能力就不僅包括演繹推理，也包括合情推理等[22]．圖3同時反映出，該階段對合情推理的關注開始逐漸上升．

受蘇聯數學教育的影響，中國數學教育一度盲目尊崇數學的“科學性”，追求數學的形式化定義．20世紀80年代以來片面強調數學的形式化邏輯，要求學生誦記數學的形式化定義以及規則．應試教育背景導致學生機械地學習知識點，忽略能力的培養[23]．在此背景下，推理論證能力的培養遭遇層層阻礙，也正因此為90年代中國嘗試探索中國數學課程體系埋下伏筆．

1986年，全國人大通過了“中華人民共和國義務教育法”，規定國家實行9年制義務教育，小學和初中屬于義務教育階段．1988年頒布的《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱（初審稿）》強調培養學生良好的個性品質．在價值取向上由注重社會本位，向注重學生本位進行轉變．這點解釋了“88版大綱”出現了對推理論證能力關注的高潮．

4.2.4 第四階段

義務教育法頒布后，中國進入嘗試建立中國數學課程體系時期[24]．該階段西方許多先進數學教育思想逐漸得到人們的認可，其中出現了“數學的非形式化”觀念，引發了90年代數學教育研究關于“形式化與非形式化”的爭議[25]．1992年頒布《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱（試用）》，體現了“淡化形式，注重實質”的精神[26]．“92版大綱”首次對邏輯思維能力的要求做出具體說明，一定程度上強調了合情推理，但在教學中應防止偏向．避免在教與學的過程中只滿足于用某種方法（包括觀察、實驗和猜想）得到具體的解答卻不進一步追究相應的解釋，更不思考是否存在其它解法，以及能否做進一步推廣[27]．

2001年頒布《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》將邏輯思維能力更改為推理能力，并作為數學思想提出．同時引發了中國數學教育界關于“生活應用和推理證明”間的爭議[25]．爭議形成了鮮明對立的觀點，一方認為“01版課標”相較以往的課程綱領性文件來說，在水準上有所降低，具體表現為用生活經驗替代了推理證明，使數學失去了靈魂[28]；另一方則認為相比舊課程，形式化的演繹證明被淡化，但強調了用于科學發現的合情推理，水準不是降低而是提高[29]．圖3顯示，合情推理及論證推理相關內容的詞頻均在“01版課標”上達到該階段頂峰．結合圖4可見，自1992年起，合情推理比重穩步提升，合情推理與論證推理兩者不斷地趨向于平衡．

5 討論

縱觀百余年課程綱領性文件，無論是推理論證的總體發展趨勢，或合情推理和論證推理間的關系，均呈現出課程發展的“鐘擺”現象．歸根結底，這些現象反映的是中國數學教育研究，在不同時代背景下受教育思潮影響，而產生“唯理論”和“經驗論”兩種不同數學哲學觀的爭鋒．

唯理論將數學作為一種“絕對真理”[30]，注重數學的嚴謹性和抽象性；經驗論強調數學的“可誤”，注重數學的探索性與實用性．教師的數學哲學觀在很大程度上影響自身教學活動方式．若教師持有絕對的唯理論數學哲學觀，則傾向于將知識作為客觀事實傳授給學生，而非將學習作為一種探索性活動；若教師具有絕對的經驗論數學哲學觀，那么教學可能忽視數學思維的嚴謹性和知識的系統性．因此在數學教學中片面強調數學理論或應用數學并不合適．

在唯理論與經驗論的較量中，部分學者持中立態度，且都不約而同地傾向擬經驗主義數學哲學觀——認為數學是一門經驗科學，同時承認數學是一個假設—演繹系統；數學知識是可誤的，且數學知識創造理論．擬經驗主義對開發數學教育模式而言是一個“空筐結構”，能夠衍生出不同的教育模式[31]．而這些教育模式的基本是做到兼顧唯理論和經驗論，即考慮唯理論和經驗論之間的平衡．據此，就培養學生推理論證能力而言，既要重視合情推理，又要兼顧論證推理，不可偏頗．

6 結論與啟示

研究基于近百年各版本數學課程綱領性文件，以數學推理論證中的合情推理和論證推理為研究對象進行編碼分析；并通過史料還原歷史語境對數據進行解釋．上述4個歷史階段中，合情推理和論證推理在百余年“躁動”的教育思潮下左搖右擺，復刻了教育的“鐘擺現象”．而解決該問題的路徑在于尋求合情推理與論證推理間的平衡點，探索具有中國特色的數學課程體系．

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The Changes and Enlightenment of Reasoning-and-Proving Competency in Mathematics Curriculum Standards of Junior Middle School in China since the 20th Century

ZHENG Xin1, CHENG Jing2, 3, 4

(1. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China;2. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;3. Shanghai Key Laboratory of PMMP, Shanghai 200241, China;4. Shanghai Research Base for School Mathematics Education, Shanghai 200241, China)

Employing the content analysis method, this study reviewed mathematical reasoning-and-proving competency in the mathematics curricular programmatic documents at junior high school levels in China since 1923. The results showed that there are four “peaks” in the ability of mathematical reasoning-and-proving competency. Based on the analysis of historical documents, this paper explained the “pendulum phenomenon” of plausible reasoning and proving in the changes of educational trend of thought over the past hundred years. Then pointed out that to establish the mathematics curriculum system with Chinese characteristics, the balance between plausible reasoning and proving was needed.

reasoning-and-proving competency; mathematics curriculum standards; the pendulum phenomenon

2019–03–16

教育部人文社會科學重點研究基地重大項目——中國學生數學素養測評研究（16JJD880023）

鄭欣（1992—），男，福建廈門人，博士生，主要從事數學課程與教學論研究．

G423.07

A

1004–9894（2019）03–0024–06

鄭欣，程靖．20世紀以來中國初中數學課程標準中推理論證能力的變化及啟示[J]．數學教育學報，2019，28（3）：24-29．

[責任編校：周學智、陳雋]