解決“元”問題 抓住問題“源”

周迎春

[摘? 要] 二元最值（范圍）問題，包括含參數的函數最值（范圍）問題是近十年高考導數題目中一種比較常見的題型.由于高中階段主要研究的是一元函數，而多元函數的變元之間的聯系方式存在多種情形，所以導致學生在解決這類問題時，容易產生認知障礙、推理障礙和運算障礙. 解決多元最值問題，關鍵是要抓住問題產生的根源，即變元及變元之間的關系.解析近十年高考導數題目中的多元最值問題，形成常見的三類變元關系，從而實現有效的解題策略.

[關鍵詞] 二元;根源;策略

函數思想，是中學數學的基本思想方法，函數方法，是解決求值、求范圍（最值）問題的重要工具. 在中學數學體系中，我們主要研究一元函數最值問題，對二元函數最值問題僅在特殊結構或特定情景下進行認知. 然而，在近年的高考試題中，卻多次出現二元函數范圍（最值）問題，并形成以邏輯推理、數學運算等核心素養考查為立意點的題目，為函數模塊的考查展現出不一樣的意蘊.

“如果說命題是將較簡單的問題、平凡的事實逐步演繹成復雜的、非平凡的問題，而解題則是把復雜的問題、非平凡的問題轉化為簡單的、基本的問題.”這就需要我們在認知問題時的站位要更高，才能真正洞穿問題本質，形成合理解題策略，駕馭不同情景下的題目. 對于多變元所產生的認知障礙、推理障礙和運算障礙，產生于對“元”的認知與解決策略. 消元，將多元問題化歸為一元問題，無疑是解決多元問題的總綱. 而化歸的具體方法，又取決于變元的形態、變元間的關系、表達結構的特征等因素.

本文遴選近十年的幾個高考試題，追溯這類問題產生的本源，以及解決這類問題的常態策略.

替換——源于具有“完全相關性”的變元關系

完全相關變元是指表達式中的兩個變元之間是相互確定的，即當確定其中一個變元的值，另一個變元的值隨之而確定，變元之間通常通過一個方程聯系起來. 此時的二元結構實質上是一元結構的延展，是低維問題的高維化表示，即：函數的初始形式是y=f（x0），令x1滿足g（x1，x0）=0，則原函數就呈現出新形式y=f（g（x1，x0）），從而形成二元結構.

利用等量關系替換消元，是將多元問題化歸為一元問題的通性通法，關鍵是如何捕捉、挖掘題目條件中的等量關系信息，建立關于不同變元之間的方程，實現有效替換. 有的變元是以參數的身份呈現在函數解析式中，所以往往被認為是一個常數，而事實上，含參函數的零點本身是關于參數的函數（或隱函數關系），所以參數本質上是一個變元. 根據變元之間的不同關系，還常常通過均值換元、三角換元等技巧達成消元目的.

整合——源于具有“不完全相關性”的變元關系

不完全相關變元是指變元之間有關系，但不是確定性關系. 即當其中的某個（或某些）變元的值確定時，另一個（或一些）變元的值不能夠確定，但可以確定這個（或這些）變元的部分性質，如取值范圍等. 不完全相關的變元之間通常沒有等量關系連接，所以無法通過等量替換消元化歸成一元函數，導致表達式會始終保持多元狀態. 此時需通過分析具體結構特征進行轉換，通常整合成某種整體運算，形成廣義的一元表達式.

主元化——源于“無關”的變元

無關變元也可以稱為獨立變元.由于變元之間沒有任何關聯，所以可以認為它們在表達式中的“地位”是平等的，但如果同時處理所有變元，往往會形成邏輯糾纏.此時，通常會采用獨立處理策略解決關于每個變元的局部最值，再進行疊加;或采用主元認知策略，即認定其中一個字母為主變元，其余字母參數化，從而化歸為一元問題.

雖然獨立變元的運算地位是平等的，但在進行主元認定時，還是應結合與之對應的“一元函數”是否足夠簡單，選擇認定順序，這是對運算程序的一種設計方法.

通過以上問題，我們不難看到，對“元”的認知與理解，是解決多元最值（范圍）問題的“源”，對“元”的認知與理解方式，決定了解題方向與策略、方法與技巧. 當然，作為解題，我們可以將方法常態化，但不能將方法固態化，如例3也可以通過主元認知的方式，形成相應的求解方法.

解題能力是數學教師的一項基本重要能力，作為解題教學，當教師的眼光局限于題目中的某個特殊技巧，或受困于紛繁復雜的情景變化，就會使得教學淺表化，產生低效的教學過程和教學效果. “不畏浮云遮望眼，自緣身在最高層”，只有撥開層層迷霧，抓住問題產生之“源”，才能形成解決方法之“流”. 這要求教師在解題視野上須有延展性，在解題策略上須有統領性，在解題研究上須有深入性，即要兼具寬度、高度、深度，只有這樣才能真正達成《課標》對數學教師專業素養的要求.