借題發揮

母小偉

[摘? ?要]在平時的備課中，教師預設了很多環節，但學生總會讓你“意外”驚喜.教師若能抓住機會，因勢利導，適時調整預案，運用好生成的教學資源，就能讓課堂教學活起來.

[關鍵詞]借題發揮;數學課堂;教學資源

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）17-0013-03

學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者和合作者.數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生進行創造性思維;要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法.在平時的備課中，教師會對課堂有不同的“預設”，在課堂中將“預設”轉化為實際的教學活動.在這個過程中，教師與學生的互動往往會“生成”一些新的教學資源，而且這些“生成”的新的教學資源，有些是在意料之外的，這時候我們要及時抓住機會，因勢利導，適時調整預案，讓教學活動收到更好的效果.

比如，在教學《等邊三角形》中“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”這一定理時，“預設”節外生枝，“生成”了以前教學中未曾出現的資源，于是我鼓勵學生積極參與教學活動，啟發學生共同探索，收到了意想不到的效果.現將當時的教學過程整理成文，以期與同行交流.

一、教學過程

出示題目：如圖1，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°，求證：BC=[12]AB.

活動一：學生獨立思考并完成證明過程，然后小組互相交流.

活動二：學生分享思路，追問：①怎么想的？②為什么這樣想？

活動三：①你是否還有別的證明方法呢？②你是如何想到的？③為什么這樣想？

活動四：學生完善自己的證明過程，教師查看.

經過前面的觀測、實驗度量、猜測結論等，學生很容易得到如下解法：

解法1：如圖2，延長BC至點D，使得BC = CD，連接AD.因為∠ACB= 90°，所以∠ACD =90°，因此∠ACB = ∠ACD，AC = AC，BC = CD，所以△ABC [≌]△ADC，AB = AD;因為∠B = 60°，所以△ABD是等邊三角形，則AB=BD=2BC，即BC = [12] AB.

思路分析：課本中的探究活動“如圖3，將兩個含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數量關系嗎？”根據這個探究活動，學生很容易找到命題的證明方法，構造等邊三角形ABD.

解法2：如圖4，截取CD=AD（或BD=BC或BD=CD），我們把這幾個歸為一類，詳細講解其中一種.因為AD=CD，所以∠A=∠ACD=30°.根據“三角形的外角等于不相鄰兩個內角的和”，有∠BDC=∠A+∠ACD=60°，所以△BCD是等邊三角形，則BD=BC=CD=AD，所以BC=[12]AB.

思路分析：學生說跟上一種解法一樣，這里是截長補短，截取CD=AD，要證明BC=[12]AB，只需要證明AD=BD或AD=BC即可.這也是我們平常教學作輔助線時較為常見的一種方法.由于在證明命題之前，學生就已經有相類似的操作以及平時強調很多次的輔助線的作法，因此學生很容易就想到這種證明方法.

追問1：①是否還有別的證明方法呢？②你是如何想到的？③為什么這樣想？鼓勵學生積極思考，很快學生就得出了下面的解法.

解法3：如圖5，作AC的垂直平分線交AB邊于點E，交AC邊于點D，連接EC，根據垂直平分線的性質容易得知AE=EC，所以∠A=∠ACE=30°.

根據“三角形的外角等于不相鄰兩個內角的和”，有∠BEC =∠A+∠ ACE= 60°，故△BEC是等邊三角形，有BE = CE = BC = AE，所以BC = [12] AB.

解法4：如圖6，作AB邊的垂直平分線DE交AB、AC于點E、D，連接BD.

根據垂直平分線的性質可得AE= BE，AD = BD，所以∠A=∠ABD =30°，所以∠DBC =30°， BD=BD， ∠EBD=∠DBC=30°，∠DEB =∠C = 90°。故△BDE ≌△BDC， BC = BE， AE = BE =BC， BC = [12] AB.

解法5：如圖7，作BC邊的垂直平分線DE，交AB、BC于點E、D，所以BE=CE，△BEC為等邊三角形， BC=BE=CE，∠B=∠BEC=60°.

根據“三角形的外角等于不相鄰兩個內角的和”，所以∠BEC=∠A+∠ACE=60°，∠A=∠ACE=30°，AE=CE， AE=CE=BE=BC， BC=[12]AB.

思路分析：利用軸對稱知識，作AC（AB、BC）邊的垂直平分線，這樣就構造了一個等腰三角形和等邊三角形，這種解法與解法2有點類似.雖然在課中，學生沒能一下子想到這三種解法，當得出其中一種解法后，學生通過類比就很容易得出其他兩種解法.這三種解法也是在意料之中，因為最近都是在學“軸對稱”知識，所以學生也比較容易想到.

追問2：①是否還有別的證明方法呢？②你是如何想到的？③為什么這樣想？

學生一時半會也沒有想出什么解法，而且我備課時也就預設了上述五種解法.我還是想看看學生能不能再有其他解法，于是說：“你們的師哥師姐可以提出七八種解法，你們才提出五種，我覺得你們比他們聰明，肯定還可以提更多的解法的.”這么一激勵，學生就開始互相討論，參與度很高，新提出的解法雖有與前面相重復的，但也有在我的“意料”之外的解法.現總結如下：

解法6：如圖8，過點A作AD∥BC，且AD=BC，因為AD∥BC，所以∠DAC+∠ACB=180°，∠DAC=∠ACB=90°，AD=BC，AC=AC，所以△ABC≌△CDA，∠D=∠B=60°，∠ACD=∠BAC=30°.易得△ADE和△BEC為等邊三角形，根據AD=BC可得AD=AE=DE=BE=BC=CE，所以BC=[12]AB.

解法7：如圖9，作BD∥AC，且BD=AC，連接CD，因為BD∥AC，所以∠DBC+∠ACB=180°，∠DBC=∠ACB=90°，BD=AC，BC=BC，所以△ABC ≌△DCB，∠DCB=∠ABC=60°，△EBC為等邊三角形，∠BEC=60°.

根據“三角形的外角等于不相鄰兩個內角的和”可知∠BEC=∠A+∠ACE=60°，所以∠A=∠ACE=30°，AE=CE，所以AE=CE=BE=BC，故BC=[12]AB.

解法8：如圖10，過點A作AE∥BC，AE=AB，連接BE，過點E作ED⊥AB，交AB于D點，所以∠EAB = 60°，AB=AE，∠EDA=∠C=90°，∠EAB=∠ABC=60°，所以△ABC≌△EAD，AD=BC，△ABE是等邊三角形，所以AE=BE，ED⊥AB，AD=BD， AB=2AD，即BC=[12]AB.

思路分析：以上解法都是構造一個三角形與△ABC全等，這樣題目中會出現一個等邊三角形和一個等腰三角形，再通過等量轉化進而求得結論.學生是通過類比的思想得到解法.解法一（截長補短法）是構造一個全等三角形，所以改變解法一中的三角形的位置，進而小心求證，這種類比的做法確實超出我的“意料”.

解法9：如圖11，延長CB至點D，使得CB=BD，連接AD，作CE∥AB，且CE=AB，連接BE、DE，因為CE∥AB，所以∠ABC =∠ECB = 60°，BC = BC，所以△ABC ≌△ECB，∠ACB =∠EBC=90°，BE垂直平分CD， DE=EC，所以△DEC為等邊三角形， EC=CD=2BC，故BC=[12]AB.

思路分析：要證明BC=[12]AB，沒有什么模型適用于這道題，AB與CD在題目中沒有關系，所以我們要將AB與CD聯系上.

不改變線段AB的大小，而可以改變AB的位置，只有用平移、軸對稱等方法.這里選擇使用平移，因為剛好可以構成一個△DCE，而且△DCE正好是等邊三角形.

接下來就與解法1一樣了，實在是超出我的想象，不得不佩服學生的奇思妙想.

受到解法9的影響，學生又類比解法4、解法7，在圖形右側作了一個一模一樣的全等三角形.

解法10：如圖12，延長BC，在BC的延長線上作一個全等三角形△DCE，連接BD交AC于點E，根據這個圖形，學生無法證明結論.

追問學生：為什么這樣的圖形無法證明呢？學生回答：破壞了60°的角，無法構造出一個等邊三角形或等腰三角形.

二、總結

通過對命題“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”的證明，產生了多種解法.學生反映最容易想到的是解法2和解法1，其次才是其他的解法，難易程度基本上與我們解法出現的順序一樣，沒有一下子就出現解法9、解法10.在解題過程中，教師立足于學生已有的經驗和最近發展區，符合學生的常規思維和認知規律.解法9與解法10更像是為了作輔助線而作輔助線，難度較大，不容易想到，不太適合我們平時的解題訓練.如果為了增加思維的深度與廣度，可以進行這樣的研究探討.

在解題的過程中，教師更注重“為什么這么想”“如何想到”“失敗的原因是什么”等.在這個命題中，利用60°的角，作輔助線構造等邊三角形和等腰三角形，這就充分利用“軸對稱、等腰三角形、等邊三角形”等知識.解法10無法進行的原因是破壞了60°角，無法構造等邊三角形和等腰三角形.這里給我們啟示：在解題的過程中，遇到無法解答的題目，恰好題目中有60°或30°，可以構造等邊三角形和等腰三角形來思考，同時輔助線的作用是努力促使已知與未知進行轉化與溝通，通過構造新的幾何圖形，再應用新圖形的相關性質解題.常用方法有構造出線段和角，新的三角形，直角三角形，等腰三角形，等等.

三、反思

1.提高學生的學習興趣和課堂參與度

通過各種活動和手段，提高學生的興趣，將枯燥的內容變得豐富多彩，這樣學生的注意力就會集中在課堂上.只有注意力在課堂上，學生才能吸收數學知識，才能領略數學的美.這樣學習才更有興趣和動力.

2.將培養學生的推理能力融入平時教學中

初中數學的很多知識都是先合情推理然后再演繹推理.在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發現結論;演繹推理用于證明結論.仔細審題，注重分析，善于轉化，總能找到解題的思路.許多數學問題表面上看難以求解，但如果我們創造性地應用已知條件，有效地運用數學知識，構造出一種輔助問題及其數學形式，就能使問題在新的形式下獲得簡解，這就是解題中的“構造”策略.構造圖形、構造方程、構造函數、構造反比例是常用的構造方法.為了能成功地應用構造法，解題者必須成為一個“建筑師”，一方面應當記住手中的“建筑材料”，即已知條件提供的信息;另一方面，也不要忘記我們要建造的“建筑”，即符合命題要求的事物.

3.“放”是為了更好的“收”

在遇到一題多解或者開放性的題目時，我們可以適當放開，讓學生盡情地沉浸在各種解法之中，這樣有助于提高學生的思維寬度和廣度.當情況討論得差不多時，或者無法進行下去時，我們就要收了，及時總結、反思，讓學生思考為什么要這樣想，我要怎樣才能想到.

4.合理利用生成性資源

在平時的備課中，我們預設了很多環節，但學生總會讓你“意外”驚喜.對于課堂的生成性資源，更是一個絕佳的機會，可先讓學生思考為什么這么想，你是怎么想到的，然后再告訴學生對錯，并告訴學生“為什么對或為什么錯”.對了，我們要如何才能想到;錯了，我們要如何避免再犯錯.不僅要教會學生如何審題和尋找解題思路，還要教學生“怎樣想”，進而讓學生學會“追根溯源”.

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

[1]? 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，? 2012.

[2]? 劉華為.從教“怎樣做”到教“怎樣想”[J].中學數學教學參考，2016（17）：26-28.

（責任編輯? ?黃桂堅）