高中數學概率教學的模式研究

謝鵬作

概率是研究隨機現象規律的科學，在日常生活中隨處可見，它為人們認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，概率的基礎知識已經成為一個未來公民的必備常識，學習概率的基本性質和簡單的概率模型，加深對隨機現象的理解，學會用科學的方法觀察世界，可以消除日常生活中的一些錯誤認識，因此概率教學的核心問題是讓學生了解隨機現象與概率的意義，加強與現實生活的聯系，以科學的態度評價身邊的一些隨機現象，

選擇高中概率中“概念教學”和“解題教學”兩類最基礎的課型進行大量的案例研究，聆聽眾多課堂，分析教學內容，學習對象，教學環境等因素，從大量的教學方法中抽象出具有普遍意義的，能用于多種不同內容教學的教學策略，從成功案例的一

招一式中，合理挑選，巧妙地組合出適合概率內容的教學模式，旨在全面提高教學質量，讓廣大學生獲得更清晰的概念，深刻地理解和熟練地應用，以便提高對隨機事件的判斷能力.

1概率概念教學的模式研究

概念在數學中普遍存在，是教學內容的基本點，是邏輯導出定理、公式、法則的出發點，是建立理論系統的著眼點，是理解和掌握數學理論、方法的基礎，數學概念的學習可以說是學生學習數學的根本前提，學生學習數學概念的效果如何，直接影響著學生數學知識的理解與掌握，關系到學生數學能力的培養與提高，概念的教學一般都要經歷概念的形成，概念的表述，概念的辨析，概念的應用等階段，在概率概念的教學中，教師往往不注重概念的形成過程，只是一味地應用概念解答題目，忽視了概率概念的產生與形成的背景，沒能幫助學生把概念的掌握還原成為一個再發現、再創造、再理解的過程，導致學生對概念的認識存在不穩定性，

高中數學概率內容中基本概念有“概率”、“事件”、“基本事件”、“事件的關系”、“古典概型”、“幾何概型”、“條件概率”、“事件的獨立性”等，從表面看比較簡單，容易理解也易于區分，但實際情況并非這樣，存在很多學生常犯的錯誤和棘手的問題，常見的有：對概率概念的理解不準確;古典概型中缺少基本事件等可能性的判斷;幾何概型中容易對均勻的忽視;條件概率中對事件發生的條件與條件概率的條件區分不清楚;事件的獨立性中所使用的乘號與條件概率中的乘號關系不明了等，下面以《古典概型》為例談概念教學，

《古典概型》設計的過程是：如何判斷一個隨機事件是否為古典概型，教學中首先給出基本事件、等可能基本事件的定義，接著介紹古典概型的概念，最后進行概念辨析練習，數學家徐利治先生認為數學概念的抽象分為擴張式抽象和強化結構式抽象，擴張式抽象即從原型中選取某一特征（側面）加以抽象，從而獲得比原始結構更廣的結構，使原結構成為后者的特例，強化結構式抽象即通過引入新特征，強化原結果來完成抽象，例如隨機事件的概念加上“基本事件等可能性”、“基本事件數有限”這兩個特征便是古典概型，因此，古典概型比隨機事件的概念更抽象，這種加強結構的抽象方法稱為強化結構式抽象，面對這樣的抽象概念，根據斯坎普的兩條教學原則：一是超過個人已有概念層次的高階概念不能用定義方式來溝通，只能搜集有關的例子提供經驗，再靠他自己抽象以形成概念;二是在數學中，與所學概念相關的例子中常常又會含有其他概念，因此，在提供例子時必須確定學生已經形成這些預先的概念，由此可知，在古典概型概念中，基本事件是一個學生沒有學過的概念，因此首先要讓學生了解這一概念，

教學設計中首先做了學生熟悉的拋硬幣和拋撲克實驗讓學生熟悉問題情境，觀察可能出現的結果，接著給出基本事件的定義：“在一次實驗中可能出現的每一個結果稱為基本事件”，設計流程為“教師演示實驗——直觀圖像展示實驗結果——給出基本事件的定義”;其次，古典概型概念超過了學生已有的概念層次，因此需要提供實例，由學生自己抽象形成概念，在古典概型的概念理解中，對基本事件等可能性的理解是一個難點，因此在這一關鍵點的理解上進行了重點設計，首先讓學生計算實驗中每一個基本事件的概率，發現實驗中基本事件的概率相等，給出等可能基本事件的概率;然后總結實驗的共同特征，形成古典概型的概念，接著給出生活中古典概型的實例，將概念與生活聯系起來;最后進行概念辨析，給出反面例子，使概念更加穩固和清晰，設計流程為“形成等可能基本事件的概念——形成古典概型的概念——給出生活中古典概型實例——概念辨析”.

動手實驗，創設情景，在活動中體驗感悟，激發學生學習動機;然后引入新概念，通過大量舉例表征問題，提純概念本質;通過變式練習，強化對概念的理解;通過學生互動，自我監測掌握情況;利用分層訓練，檢測應用知識能力;挖掘習題功能，培養解決問題能力;及時反饋信息，激勵學生學習興趣，這一概念學習的過程對概率概念的教學非常有效，教學模式如下：“動手實驗，創設情景一大量舉例，表征問題一提純概念，引入概念一變式練習，強化理解一學生互動，自我監測一分層訓練，提升能力”.

2 概率題解題教學的模式研究

關于概率題解題教學的說法大相徑庭，觀點不一，由于教師對概率的認識與理解不同，教學的重點不同，教學時所采用的方法也不同，導致學生對概率的理解上存在很大差異，究其原因，除了概率概念本身所具有的高度抽象性、概括性外，還與教師對概率概念所蘊含的數學內涵的挖掘、對高中課程和教材的知識體系的理解、對學生學習過程中出現的困難的了解、對概率教學方法和教學案例擁有的豐富程度有關，基于此，對高中概率知識的解題教學進行分析，提取高效的方法，進行模式研究是十分必要的。

概率問題中的概念性錯誤常常是頑固且不易改變的，因為學生常常秉持著自己的原有想法，即使接受正式的科學概念，仍然會以既有的想法來解釋自然現象，正如波羅維尼克等人所研究的：許多概念（例如獨立性）在經過數學的形成定義后，仍不能改變學生原有的概念，所以我們一定要重視教育的能動作用，在學生盲目地解答概率問題時，通過不斷地嘗試錯誤，從而使錯誤現象逐漸較少，正確逐漸增加，在這個過程中不斷刺激學生的思維與其反應的聯結，教師不急于糾正學生出現的錯誤，可以讓學生充分暴露出錯誤的思維，幾次解答出現矛盾，學生的理解陷入困惑時，抓住時機激發學生的探求欲望，學生急迫得到教師的指導，表現出強烈的求知欲，教師此時恰當地引導學生，而建立不同的概率模型，使學生從中認識錯誤，加深對概率概念的理解，但同時，教師更應加深對概率內容的認識，從而靈活地處理學生錯誤的問題，

現引用一道題目的解答過程：

題目1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球，問從2號箱取出紅球的概率是多少？

為了讓學生統一事件，教師提前對事件命名：記從1號箱中取出一白球放入2號箱為事件B，記從2號箱中取出一紅球為事件A.首先讓學生各自獨立解答，然后把不同的答題過程列到黑板上，

教師：請同學們思考，學生2的解釋是否正確！你們還有其它看法嗎？

學生：正確！（無人舉手表達其它看法）

教師：看來可排除解法1，原因是計算P（AB）時錯誤地將事件A，B認為是相互獨立的，請采用解法2的同學選代表解釋過程，

學生3：事件A發生意味著：事件B發生的條件下A發生了，和事件B發生的條件下事件A發生

學生9：請問同學們利用古典概型計算P（AlB），P（AlB）有疑問嗎？

學生10：（舉手回答）認為基本事件總數應為ClCl，理解為完成這件事有兩步，先從1號箱中取出一球放入2號箱有c：種方法;再從2號箱中取出一球有c：種方法，完成這件事共有ClC1，而不是c：c;或ClCl種方法，

學生9：因為c：c：為B發生的條件下，A發生的事件總數;c：c;為B發生的條件下，A發生的事件總數，而學生10計算的Clc;種方法與B與B的發生沒有關系，

此時，學生10欲起立爭辯，但又坐回去，表現出忐忑之情！

教師：其他同學還有疑問嗎？（同學們都在思考，但無人回應！）

教師：以上同學對4種解法分別進行了分析與解釋，從中否定了解法l和解法3中學生4的分析，原因是？

學生：（齊答）事件A與事件B不獨立！

教師：好，同學們，我們一起經歷了剛才的過程，現在請問解法2的同學還堅持自己的解法嗎？

此時，有13位同學肯定解法3正確，認為解法2錯了，其余同學還在堅守自己的思考，

教師：請問其他同學對該題還有什么疑問？

學生11：老師，我覺得該題的結果不應大于，因為從1號箱取出紅球放入2號箱，再從2號箱取開朗，異口同聲地說：“原來不互斥呀！”個個臉上綻放著喜悅的表情！）

教師：同學們，大家對本節課內容還有疑問嗎？

學生：（齊答）沒有了！

教學貴在自然，抓住本質;學習貴在簡單，理解深刻，本題目的解答教師注重知識聯系，根據學生實際，從學生思維的最近發展區組織解題，學生經歷“思考——觀察——交流——疑問——釋問”，經歷了困惑、迷茫、掙扎、頓悟和欣喜的過程，在質疑、交流、爭辯中認識獨立事件、互斥事件的概念與區別，在解決問題的同時，增強了發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力，解題中，教師沒有及時點撥或“包辦代替”而是把解決問題的主動權還給學生，組織學生開展了一場精彩的自我辨析，學生在主動參與自我更正中，逐漸認識到自己錯誤的根源，找到解決問題的方法，既加深了對知識的理解與掌握，又提高了思維能力，取得了出人意料的效果，

可見，合理高效的解題設計是通過制造認知沖突，解決認知沖突，然后強化對概念的認識！概率題目解答的教學模式為：“課前學生先做，教師批閱一課堂教師組織學生講解，大家提問，共同討論，一起思辨一課后學生反思，撰寫體會，加強理解”。