結合學生反饋 落實課堂訓練

摘?要：數學技能的習得也應在學生頭腦中建立起前后動作相繼發生的動作經驗鏈索。真正有效的教學應該是自然而然的。因此，如何在課堂中落實課堂訓練，也應基于學生原有的知識水平，以及學生在當下給出的問題反饋。因此課堂中如何能夠根據學生實際及當下的反饋進行針對性教學，使得課堂練習更有實效。

關鍵詞：分類計數原理;分步計數原理;解題方法;解題能力

新課程理念重視數學的“四基”“四能”，因此研究數學教學，課堂活動的研究是必不可少的。針對現有的考試制度，研究解題方法、解題技巧，及解題能力提升等都是非常必要的。

數學知識是由數學認知活動建立起來的認知經驗，其中經驗反作用于活動，而且對數學活動的目標的確認依賴于當前數學情景的辨認和分析;數學技能的習得也應在學生頭腦中建立起前后動作相繼發生的動作經驗鏈索。根據建構主義教學原理，真正有效的教學應該是自然而然的。因此，如何在課堂中落實課堂訓練，也應基于學生原有的知識水平，以及學生在當下給出的問題反饋。因此課堂中如何能夠根據學生實際及當下的反饋進行針對性教學，使得課堂練習更有實效。筆者以“分類計數原理與分步計數原理”課堂解題教學學為例與大家探討交流。

一、 教學過程介紹

說明?本課是人教A版選修2-3第一章第一節課的內容，學生之前對于此類計數問題的解題基本都是在“數而計之”的程度。因此“算而計之”對于學生來說需要打破原有的一些認知。針對學生學習背景及本課特點，這節課解題技巧方法的掌握、解題能力提升的落實有一定難度。

這節課通過結合實例，學生很快懂了兩個計數原理。

（一） “我懂了，但我不會用”

兩種計數原理的理解是較容易被學生接受的，但是怎么樣是“完成一件事情”，如何進行“分類”和“分步”是學生遇到的第一個難題。

（1）從甲、乙、丙、丁四名同學中，任選出兩名同學分別去參加學校的書法比賽和現場作文比賽，問有幾種可能的選擇出現？

【教學片段】

師：請同學們說說看，是怎么求出來的？

生1：只需要一一例舉出來即可。甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，共12種。

生2：畫圖

師：你們回答得很好（樹型圖板演）。那么能不能請同學們在列舉出的答案中，找一下你答案的規律或是共性？

生1：6×2。

生2：3×4。

師：請同學解釋一下得出的式子的意義。

生：有6種跟另外6種是前后順序不同。

師：很好，還有呢？

生：甲對應3種，同理乙、丙、丁都對應3種。

師：很好！這種解釋是對12種結果做了什么處理？

生：分類！

師：我們剛才在學習兩種計數原理的時候明明說，分類用加法，而且分步用乘法的，為什么出現這種情況？

生：應該是3+3+3+3=3×4

師：這位同學解釋得很好，這就是我們說的分類加法的原理。既然此題出現3×4的乘法，是不是也可以請同學用乘法的分步原理解釋呢？請同學們思考一下。

生：……

師：分步計數原理是為了完成一件事情，那么在這個題目中，怎么樣是算完成一件事情？

生：選出兩名同學參加比賽。

師：不錯，完成這件事如何分步呢？

生：選出1名參加書法比賽，再選1名參加現場作文比賽。

生：哦，所以是4×3。

師：可不可以從每一種情況具有的結構共性切入思考呢？

生：每一種都是兩人。

生：完成這件事情，第一人有4種選擇，第二人有3種選擇。

師：總結一下剛才同學們對這個3×4的解釋，我們應該怎么樣把分類計數原理與分步計數原理用起來呢？

師生：可以從被選每一個對象考慮進行分類，也可以從做事情的順序進行分步，還可以分析每種可能性的結構特點分析，進行分步，等等。

點評：G·波里亞在《怎樣解題》一文中提出，解題的價值不是答案本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的”“是什么促使你這樣想，這樣做的”。根據學生在課堂中的反饋，順勢而為，找到學生只懂不會的根源。這也正是本節課的一個難點。并且在解題過程中，讓學生學會尋根溯源，找到解題方法的來源，據此總結一些解題的切入口。

（二） “我覺得我應該對了，但怎么還是錯了”

一個題感覺自己會做了，但是總是做錯，歸其原因，大概有以下幾種：推理、計算差錯失誤;知識積累不足，導致題意理解有誤;考慮不周，導致漏解或重復計算等。

（2）已知集合A={1，2，3，4，5}，集合B={4，8}

①從集合A到集合B的映射有多少種？

②能構成多少個以A為定義域，以B為值域的函數？

此題學生在解答中大部分學生覺得不可理解，為什么①②不是同解。究其原因，學生對映射及函數中的一些概念有些模糊。

【教學片段】

師：在函數對應關系中，值域是如何來的？

有學生反應過來，但還是有很多同學一臉茫然。

師：函數的值域應該是集合B中，根據對應關系被對應的元素即函數值組成的集合，它應該是集合B的子集。因此出錯的同學，是因為對函數的值域概念理解不夠全面。

（3）將3種作物種植在如圖所示5塊試驗田中，每塊試驗田種植一種作物，且相鄰試驗田不能種植同一種作物，不同的種植方法有幾種？

【教學片段】

生1：這就是涂色問題。按涂色問題的方法分步解決：3×2×2×2×2=48種。

生2：按涂色問題常用的特殊元素分類，特殊位先排：

中間第3個先排，再按2，4同色與不同色兩類進行分類。

第一類：（2，4同色）3×2×1×2×2=24;第二類：（2，4不同色）3×2×1×2×2=24。因此得到答案也是48。

師：幾種方法做下來的答案是一樣的，我們同學應該很肯定這個答案，但此題的正解答案是42，同學們思考一下自己的做法到底哪里有漏洞呢？我們可以假設實際情況進行檢驗。

第一種做法：按1～4的順序種植時，存在這樣的可能性

第2個類型中第4、5就會存在

這種情況就會不滿足種植3種作物這一題意。你能在此基礎上作出改進嗎？

生：減去兩種作物的情形即可48-3×2=42。

師：法2是否也能做出調整呢？

生：

第一類：（2，4同色）3×2×1×3=18;第二類：（2，4不同色）3×2×1×2×2=24。因此得到答案是42。

師：看來我們平時在做題時除了有思想方法作指導還得思考得更為嚴密，對知識的掌握更加準確。

波里亞說：教師最重要的任務是幫助學生。我認為一堂課中對學生的幫助不僅僅需要知識性的傳授和技能性的習得，更為重要的是學生的一種態度：追求真理，百折不撓，嚴謹細致等。

（三） “我已經做對了，還需要別的方法嗎”

（4）自然數72有多少個約數？

【教學片段】

生：12個。

師：請得出此答案的同學說說你的解答思路。

生：一一列舉出。

師：自然數2520有多個約數？生1你也用同樣的方法可以解答？

生1：可以，但是要花更多時間去完成。

師：那可不可以對此算法進行改進呢？

生2：取不大于2520的最大正整數50，然后數出50的約數，再乘以2得到約數的個數。

師：你真的太聰明了，竟然想到用開根號的方法解決了2520這個數太大的問題，并找到了約數存在某種對稱的特點。不過在求50約數時用的方法還是“數而計之”。可否用計數原理的方法解答此問題呢？思考的方向又該是如何？

師：尋根溯源，我們能不能思考一下，72的約數：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72每一個約數都有怎么樣的共性特征，如何構成一個約數？

生：都是2或是3的倍數。

師：（引導學生）將72=23·32，約數可以看成兩數乘積，即2的幾次冪與3的幾次冪積的形式。

生：哦，用最小質數的冪分解72，就可以找到每個約數的構成。

師：不錯。“（第1個數）×（第2個數）=約數”第1個數的可能性由2的指數可能構成：0，1，2，3;第2個數的可能性由3的指數可能構成：0，1，2。故此題可以用4×3=12解決。

（5）已知集合S={a1，a2，a3，…，an}，則集合S有幾個子集？

生：2n個，我們早就會了。

師：那你們知道為什么是2n個？

生：（議論）

師：是否也可以尋根溯源，找一找每個元素與集合的子集間的關系？

生：哦，每個元素與每個子集間的關系，只有屬于和不屬于兩種關系，因此用分步計數原理就可以得出。

（6）用5張1元幣，4張1角幣，1張5分幣和2張2分幣可以組成多種非零幣值？

生：也一樣可以用幣值的構成來做。

師：舉一反三，觸類旁通，可見我們同學非常善于學習、總結。

點評：“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？”有時候點滴的發現能幫助我們解決不少問題。善于觀察、分析，善于比較類比，善于歸納總結、概括應用，這是我們學習數學的一般規律，也是獲取新知的有效手段。也正是我們學習的數學解題的一種思維訓練。

二、 總結反思

針對本課易懂難做的特點，在課堂中習題訓練需要學生逐步掌握分類計數原理與分步計數原理的應用，提煉解題方法策略，訓練培養學生解題能力，需要教師根據課堂中學生懂而不會，會而有誤，會而不全，方法會但不通用等情況反饋的情況，選擇順勢而為，適當提示還是類比演示等方法做出幫助，使得知識和技能的習得能歸源，能觸類旁通，使得課堂練習落到實處。

參考文獻：

[1]張奠宙.中國數學雙基教學[M].上海：上海教育出版社，2006.

[2]G·波里亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2007.

[3]陳延付.再談“好的例題教學是照亮學生解題的燈塔”[J].數學通報，2017，56（10）：56-57.

[4]龔輝.在解題中促進學生學會研究的教學實踐[J].數學通報，2017，56（12）：47-49.

[5]徐小建.“高立意，低起點”讓曲高也能和眾[J].數學通報，2017，56（11）：40-43.

作者簡介：

劉智敏，浙江省義烏市，義烏三中。