數學核心素養

蟻行照

摘要：邏輯推理是高中數學學習的邏輯思維方式，在數學教學中，推理作為一種信息轉移的橋梁，不僅是一種良好的學習方法，也是一種推理方法，而且是一種理智的解題策略，本文針對邏輯推理在高中數學中的應用進行了剖析。筆者根據自身的教學實踐，在課堂教學中進行邏輯推理方法的教學。

關鍵詞：核心素養 邏輯推理 應用

推理是一種從已知兩個事物在某些方面有相同或相似的局部屬性，推出它們其它方面（屬性、關系、特征、形式等）也有相同或相似的屬性。推斷出它們在其它方面也可能相同或類似的一種推理方法。從而探索規律，發現真理，或探索發現解題途徑或方法，推理要善于觀察、比較，通過廣泛的聯想，作出大膽的猜想，得出準確的結論。（推理得出的結論只是一種猜想，是否正確善須證明）。“每當理智缺乏可靠論證的思路時，推理，這個方法往往能指引我們前進”（德國古典哲學家康德）。

在數學教學中，推理作為一種信息轉移的橋梁，不僅是一種良好的學習方法，能使學生鞏固舊知識、掌握新知識;而且是一種理智的解題策略，能使復雜的問題簡單化，陌生的問題熟悉化，抽象的問題形象化。正由于推理方法具有如此強大的功能，通過對近幾年高考數學試題的分析研究，不難看出邏輯推理已逐漸滲透于高考試題之中，推理試題已成為高考的新寵。因此，在數學教學和解題中，教師要有意識地對學生進行推理推理能力的訓練。本文將嘗試從以下幾個方面剖析邏輯推理在高中數學中的應用：

一、用推理法教學可以使學生由淺入深，由直觀到抽象地學習新知識。

數學中的許多概念，知識點之間有類似的地方，在新概念的提出，新知識的講授過程中，運用推理的方法，能使學生易于理解和掌握：

（一）高中立體幾何學習階段，可以讓學生探索一些空間的點、線、面，觀察其是否具有與平面中類似或相同的關系，通過推理培養其空間想象能力。例如：平行公理（即若直線a//b，b//c，則a//c）在平面與空間都成立;而平面中成立的命題：“若直線a⊥b，b⊥c，則a//c”拓展到空間則不一定成立;從平面向量到空間向量，同樣是從二維到三維的推廣，將向量的運算規則由二維到三維的拓展，采用“推理”手段也是行之有效的。

（二）研究函數的性質時，要在結合函數圖像分析和具體實例的基礎上，逐步培養起學生運用函數觀點推理處理有關方程、不等式乃至數列等問題的數學意識。

（三）復數的運算與普通實數運算有許多可套用的“規則”，其基本運算性質也和實數的運算性質相類似;高中數學中經常采用的映射關系、換元法、數形結合等解題策略，都可以認為是邏輯推理的體現等等。總之，?通過推理可以使學生在學習新知識時收到事半功倍的效果。

二、推理是自主性學習的有效方法。

推理是以比較為基礎，通過本質屬性上的比較，找出兩類事物在性質上或關系上相同或相似之處，概括出本質規律，然后進行證明確認。

例1：試比較“等差數列通項公式”與“直線方程”。

如果等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則其通項為an=a1+（n-1）d，將其變形為an-a1=d（n-1），這與直線的點斜式方程y-y0=k（x-x0）在形式上相似，其中公差d就是斜率k，而數列中數對（1，a1）對應直線上的點（x0，y0）。因而數列中所有數對（n，an）都在同一直線上。

若推理直線兩點式方程，列等差數列應有：

（證明成立，這里證明略）。

其中：ap、an、am是等差數列的項。由數列

也可導出：。

應用：已知m，a1，a2，n成等差數列，m，b1，b2，b3，n成等差數列（m≠n），求。

解：由m，a1，a2，n成等差數列，則

又m，b1，b2，b3，n成等差數列，則∴

例2：由0<a<b，m∈N+，則

用推理法推斷出0<a<b，m∈N+則

分析：有正確結論：真分數（a<b，）分子、分母同時加上一個正數（m∈N+），新分數大于原分數。在這個結論的基礎上，可以大膽猜想是否存在。

證明：=

只要結論成立，因為a，b，m都是正數，且a<b

所以m（b-a）>0，要使成立，還須a<m<b。∴猜想成立條件0<a<m<b。

推理是自主、自覺、獨立的學習方法，推理讓學生聯想豐富，使學習不拘泥于課本，發掘知識內涵，拓展更寬的學習天地，是深入挖隱拓展的思維方式。

三、運用推理推理進行探究，激發學生思維。

在認識了運用推理推理進行探究的方法之后，在講授數列復習課時我設置了如下若干性質探究的問題供學生思考。

問題1 在等差數列{an}中，若a10=0，則有a1+a2+…+a7=a1+a2+…+a12，推理上述性質，在等比數列{bn}中，若b10=1，則有 。

問題2 已知等差數列{an}的前n項和為用推理的方法，寫出等比數列{bn}的前n項積表達式Tn= 。

問題3 等差數列有如下性質：若數列{an}為等差數列，則當時，數列{bn}也是等差數列;推理上述性質，相應地，若數列{cn}是正項等比數列，當dn= 時，數列{dn}也是等比數列。

問題4 若等差數列{an}，則|an+1+an|也成等差數列由此經過推理，若{bn}為等比數列你能得到什么結論？

問題5 若Sn是等差數列{an}前n項和，則Sk，S2k-Sk，S3k-S2k也是等差數列，在等比數列中是否也是有這樣的結論？為什么？

推理推理的方法，數列是一個比較好的題材，通過有關問題的解決，既加深了對等差數列與等比數列的認識，又讓學生對推理的方法、實質有所體驗，還可讓學生體驗“大膽猜想——小心論證”的嚴謹的數學發現歷程。

這樣的教學設計，使得推理的思想始終貫穿在等差、等比數列的復習中，知識重現的邏輯順序發生了變化，不再是以前的先等差數列的通項、求和，再等比數列的通項、求和。這樣就從另一個角度把知識內容進行了整理，課例中幾個探究問題始終貫穿推理推理這一條新的線索，學生在思維上經過反復的推理、驗證，自我領悟并掌握推理的思想方法，這樣的處理方式使得這節課整體感很強，不是東敲西打，也不是面面俱到，克服了平常復習課比較容易犯的毛病，體現了教學過程中教師站在比較高的角度處理問題。

四、推理是解釋問題的有力工具。

解釋數學問題就是學習，其中求解、論證問題是學生學習的主要方面。在高考試題中靈活應用邏輯推理，可以大大提高解題能力。

（一）平面推理空間

例4：在平面幾何里，有勾股定理：“設ΔABC?的兩邊AB，AC?互相垂直，則AB2+AC2=BC2”。拓展到空間，推理平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐A-BCD?的三個側面ABC，ACD，ADB?兩兩相互垂直，則 。” ?（）

這道題考查學生的推理推理能力，將原來平面幾何中線的關系與立體幾何中面的關系進行了推理，通過二維到三維的推廣使學生獲取新知識。

（二）情景推理問題

例5：如圖（1），小圓圈表示網絡的結點，結點間的聯線表示它們有網絡相聯，連線標明的數字表示該段網絡單位時間內可通過的最大信息量，現從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內最大的信息量為（ ）

A、26 B、24 C、20 D、19

分析：如圖（1）將“單位時間內網絡最大信息量”推理于“單位時間內由粗細水管連接而成的管道中水最大流量”，決定流量是最細管。

解：由圖可知：min{12，5，3}=3，?min{12，6，4}=4， min{12，6，7}=6，?min{12，8，6}=6，且3+4<12，6+6=12，∴單位時間內傳遞最大信息量為3+4+6+6=19，故選D。

（三）推理定義結構

例6：設向量，滿足||=|+|=3，||=，求<，>的值。

分析：由題中||，||，||的形式聯想平面直角坐標系內平行四邊形，以四邊形的邊長推理向量的模的定義，即以形助數。

解：如圖（2）所示：設，，在平面上所對應的點為A，B，C則||=||，||=||，||=||，||=||

因為OABC是平行四邊形，

所以||2+||2=2（||2+||2）

因而||=3，所以<，>=

（四）推理公式的結構。

運用推理可以溝通不同的知識板塊，充分調動所學知識，開闊解題思路。

例7：求的值域

分析：許多數學公式都有它固有的構成形態，在解題時通過推理發現題目本身經過變形后，具有了某個公式的結構，那么就可以利用公式去解題。

解：（聯想），由可令，則有，又，所以y∈（-1，1）。

例8：?已知x∈R，a?為正常數，且函數f（x）滿足，

求證：f（x）是周期函數。

分析：要求證一個函數是周期函數，通常是通過觀察估算出它的一個周期，然后利用周期函數的定義加以證明。本題要直接得出它的一個周期并不容易。但如果將已知條件與進行比較，可發現它們結構上十分相似，而函數tanx?的周期為π，是的4?倍。于是我們猜想4a?是函數f（x）的一個周期。

證明：

∴?4a?是函數f（x）的一個周期，函數f（x）是一個周期函數。

上述證明主要是把握住了與結構上的相似之處，進行推理而得出了解題思路。

例9：?已知實數x，y?滿足方程的點P（x，y）的軌跡為（ ）

A?拋物線 B?雙曲線 C?橢圓 D?兩直線

分析：本題若一開始進行平方運算，使得解題很難堪。如果對等式兩邊分別作形式推理就會發現表示動點P?到定點（1，0）的距離;?與動點P?到定直線x-y+3=0的距離很相似。

故：，表示動點P?到定點（1，0）的距離與它到定直線x-y+3=0?的距離之比為。所以：答案選B

（五）推理定理結構。

例10：已知正實數a，b，c，d滿足a2+b2+c2=d2，

試證+a+b+c>3d

分析：由a2+b2+c2=d2推理長方體對角線長定理，即將數化形。不妨構造一個三邊分別為a、b、c的長方體，則對角線長為d，（如圖：（3））。

證明：因為

所以e+c>d（三角形兩邊之和大于第三邊）

即+c>d

同理有

故

（六）題型推理解法。

例11：求的值。

分析：通過觀察，聯想與與公式有關，于是推理對偶式的解題方法。

解：設

則

則 （1）

（2）

由（1）+（2）得 2A=?，所以A=

即

“每當理智缺乏可靠論證的思路時，推理這方法往往能指引我們前進”（?康德）。推理使我們大大縮短了探索，發現真理的時間和過程，不失為一種有效的認知策略。“勿容置疑，推理是發現的源泉”（波比亞）。

參考文獻

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[3]陳永明.陳永明評議數學課[M].上海：上海科技教育出版社，2018.