中小學銜接下對小學“可能性大小”易錯問題的思考

吳健

【摘要】隨著教育的不斷改革，小學數學教材的內容更加明確，小學可能性的教學主要是讓學生掌握收集、分析數據的能力，初步體會隨機事件的可能性大小。在中小學銜接背景下，如何聯系中學概率內容來思考小學可能性的易錯問題，本文從中小學“可能性”內容變化及銜接問題、“可能性大小”易錯問題的思考這三大方面進行探討。

【關鍵詞】中小學銜接;可能性;概率;數據分析

在課程標準（2011年版）的“第二學段”中提出：“通過試驗、游戲等活動，感受隨機現象結果發生的可能性是有大小的，能對一些簡單的隨機現象發生的可能性大小作出定性描述，并能進行交流。”為了體現課標的要求，在修訂后教材中，人教版五年級上冊第四單元《可能性》是第二學段的教學內容，也是學生真正意義接觸“概率”的知識，第三學段稱為“事件的概率”。

一、小學的“可能性”與中學的“概率”內容的變化

義務教育階段對于概率的需要學習內容并不多，而數學課程標準修訂前（實驗稿）、后（2011版）關于內容構成的變化如下表1：

從上表可以看出：課標修訂后，在第一學段中，刪掉了可能性大小的學習，將原內容后移到第二學段，稱為“可能性”。原五年級的內容劃分到第三學段（九年級上冊數學），稱為“概率初步”。

二、中小學概率教學的銜接

（一）中學教材中關于概率的兩個定義

1.概率的古典定義

在某次試驗中：（1）基本事件的總數是有限的，假設有a種結果。

（2）每個事件發生的可能性大小是一樣的。

某個事件包含其中的b種結果，那么這個事件發生的概率為，這個就是概率的古典定義。實際上，有一些隨機實驗結果不是等可能性的，則概率的古典定義不能適用。

2.概率的統計意義

在相同條件下，多次重復隨機實驗，如果隨著實驗資料的不斷增加，某個事件的頻率穩定在常數p，則稱這個常數p為這個事件的概率。概率的統計意義并沒有要求事件各種結果等可能性，例如，考查某個籃球動員投籃的命中率，在同樣的條件，讓某個運動員進行數次投籃（投籃總次數用a表示），并統計命中的次數為b，然后計算命中的頻率為。如果隨著運動員投籃次數的增多，頻率越來越趨向于某個常數，那么這個常數就可以被當作投籃的命中率。

中學的概率教學是以上面兩個概率定義為起點，然后逐漸過渡到求概率的內容，最終達成以列舉法求概率和頻率估計概率。而小學人教版書本中“可能性”單元知識內容如下圖1：

雖然人教版五年級教材中只有三道例題，卻蘊含概率教學中重要的基礎點，每道例題具體教學目標不同，包括“做一做”和教材的某些習題也承載著中小銜接的重要橋梁。雖然日常教學中只要求用“一定（肯定）、不可能、可能、經常、偶爾”等詞來定性描述事件發生的可能性大小，但是并不意味著只停留在感性認識上，而是讓學生站在更高層次上來認識“可能性”，對“可能性”的認識和理解逐漸從定性向定量過渡，也就是為中學系統用分數描述事件發生的概率作好準備。但是，在日常教學當中，往往在“可能性”上出現一些問題，當分析好中小學教材時，也有一種恍然大悟的感覺。

三、例析小學數學“可能性”易錯問題

1.等可能性與不等能性混淆

在小學關于可能性大小學習的階段，并沒有對古典概型作定義，但是在練習和課程當中有所滲透，為中學系統地學習概率的知識作鋪墊。例如，下面兩個例子：

例1： 現有紅球、白球各2個，一次摸出2個球，兩個都是同色的可能性是多少？

錯解：課堂上學生基本上認為結果有：兩個紅球、一紅一白、兩個白球三種情況，出現同色的結果有兩種，一共三種可能的結果，所以摸到兩個都是同色的可能性是，如下圖2所示：

錯因與正解：上述的答案是無意間默認了每種結果的可能性是一樣的，利用概率古典定義來解決問題，而上述解法中兩個紅球、一紅一白、兩個白球出現的可能性顯然不均等，故導致上面的錯解。從2個紅球、2個白球中一次摸出2個球，會出現：（紅1，紅2）、（紅1，白1）、（紅1，白2）、（紅2，白1）、（紅2，白2）、（白1，白2）共6種，這些結果的出現是等可能的，所以兩個都是同色的可能性為。

例2：在意大利曾經發生過這樣的賭博：擲兩枚骰子，以兩枚骰子朝上的點數的和作為賭博的內容。從這內容可以知道：骰子六個面分別是1～6點，兩枚骰子朝上的情況共6×6種可能，點數和可以是2～12，共11種，問賭注下在多少點上最有利？其實，這賭博的規則也就是五年級數學“綜合與實踐”的《擲一擲》一課的內容。在日常教學中，許多老師會根據教材的內容（如下圖3、4），進行類似這樣的設計：

從上面設計可以看出：學生根據骰子的特點，肯定知道兩個點數之和只會出現：{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}共11種結果，且無意識默認了每種結果出現的可能性是相等的，同時認為自己有{2，3，4，10，11，12}6種結果可以贏，而老師只有5種結果可以贏，學生贏的可能性比老師大。但是從下表2來看，和是5，6，7，8，9出現的算式次數共有24次（黃色部分），而和是2，3，4，10，11，12出現的次數只有12次（綠色部分），顯然和是5，6，7，8，9出現的可能性要大得多，老師贏的可能性較大。

從數學本質來看，和是{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}這里每種結果出現的可能性是不完全相等，屬于不等可能事件，不能隨意概括去解決問題。需要說明的是，在小學階段里，大部分所涉及的隨機事件都是等可能性的，所以并不用向學生介紹等可能性的問題，但是為了更好實現中小學可能性知識的銜接，我們在備課時要有所積累，應該對統計與概念領域有整體的把握，讓學生更好適應當代下中小學銜接的學習。

2.可能性與頻率的混同

從中學角度來看，概率與頻率是密切相關的，大量重復實驗的時候，頻率會穩定在概率，所以做的實驗次數比較多的時候，我們會用頻率去估計概率。而在小學中，也會出現一些可能性與頻率混同的情況，也會讓學生糊涂。

例如，人教版五年級數學上冊第四單元“可能性”其中的一道“做一做”（如下圖5）。題目是一個擲硬幣的游戲，教材目的想先通過增加試驗的次數，盡量使實驗結果接近理論概率，使學生初步感受事件發生的等可能性。

但在日常教學中，老師經常這樣處理：擲一枚均勻的硬幣，然后提問學生：會出現哪些結果？學生當然知道：會出現正面、反面兩種情況。接著，老師會追問：出現正面或反面的可能性是多少？那么根據師生共同分析得到每種面出現的可能性都是，然后再讓學生通過實驗去驗證這個結果。但是，這個是通過概率的定義得到的，而不是通過擲硬幣的試驗得到的。事實上，學生做了很多次試驗也得不到，包括許多的著名數學家做了很多次實驗也得不到這個結果，這樣反而讓學生更加困惑，這也就是“數據隨機”的魅力所在。因為學生已經通過分析推理得到正面朝上的概率，他們產生不了做實驗的需求，所以無法感受課程標準中提出的這種魅力所在。因此，對于現在的教學現狀，我們更愿意看到：用實驗和數據來說話，可讓學生經過多次擲硬幣，計算出現正面的次數，然后計算頻率，用頻率來估計一下出現正面的可能性大小，如果這個可能性趨向于，就可以推斷這個硬幣大概是均勻的，這是數據分析觀念的思想的體現。

總之，對于“可能性大小”的思考離不開數據的統計與分析，我們要不斷研究，站在知識鏈的高點處，理清知識的縱橫向聯系，整體把握好可能性的中小聯系，這樣才能彰顯概率論的魅力。

參考文獻：

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