淺談數形結合思想在初等數學中的應用

張正秀

摘 要：文首先闡述了數形結合的三個原則，然后再結合一些具體例題對初中數學，高中數學中數形結合思想進行粗略的探討，以及在信息競賽中的應用。在教學中，老師借助多媒體技術輔助教學，能使“數”由“形”來描繪，“形”由“數”來表達，彌補傳統教學方式直觀性和立體感的不足，有利于學生對數學知識的理解和掌握，培養學生解決問題能力。“數”和“形”二者珠聯璧合，借助圖形可將許多抽象的數量關系形象化，簡單化，直觀化，從而使學生可以很好的掌握和理解數學知識，掌握數形結合的思想，可以起到事半功倍的效果。

關鍵詞：數形結合；思想方法 ；抽象；直觀；事半功倍

第一章 前言

數與形是世界上萬事萬物共同存在的形式。 數與形這兩個基本概念是數學的兩塊基石。 二者珠聯璧合，借助圖形可將許多抽象的數量關系形象化，簡單化，直觀化，將圖形轉化為代數問題可獲得更加精確的結論。在教學中，老師借助多媒體技術輔助教學，能使“數”由“形”來描繪，“形”由“數”來表達，彌補傳統教學方式直觀性和立體感的不足，有利于學生對數學知識的理解和掌握，培養學生解決問題能力，起到事半功倍的作用。接著再循序漸進，舉例說明數形結合在實際問題和信息競賽中的應用，把該數學思想應用到實際生活中，發揮數學的巨大價值。

第二章數形結合在數學教學中的應用

2.1數形結合的原則

2.1.1等價原則

等價原則是指“數”的代數性質與“形”的幾何的轉化應是對應的，即對于所討論的問題形與數所反映的對應關系應具有一致性。

2.1.2雙向性原則

雙向性原則是指幾何形象直觀的分析，進行代數計算的探索。

2.1.3簡單性原則

簡單性原則是指數形轉換時盡可能使構圖簡單合理，既使幾何形象優美又使代數計算簡單、明了。

2.2數形結合在小學數學中的應用

2.2.1“以形助數”在直觀中理解數。

我們應該意識到，算理就是計算方法的道理，學生不明白道理又怎么能更好的掌握計算方法呢？在教學時，教師應以清晰的理論指導學生理解算理，在理解算理的基礎上掌握計算方法，正所謂“知其然、知其所以然。”根據教學內容的不同，引導學生理解算理的策略也是不同的，我認為數形結合是幫助學生理解算理的一種很好的方式。

2.2.2“以數想形”幫助理解各種公式。

在教學有關的數學公式時，如果只是讓學生死記公式，這樣只會將知識學死。如果學生稍微碰到有變化的圖形問題，就不能靈活解決。所以教師在教學長方形周長公式的時候，就讓學生借助圖形充分理解公式的含義，求長方形周長大體有三種方法：①長+寬+長+寬，②長×2+寬×2，③（長+寬）×2，通過對學生的前測，教師會發現學生對于前兩種方法應用的比較多，第三種應用的比較少。

2.2.3“數形結合”借助表象發展空間觀念。

兒童的認知規律，一般來說是從直接感知到表象，再到形成概念的過程。表象介于感知和形成概念之間，抓住這中間環節，促使學生多角度靈活思考，大膽想象，對知識的理解逐步深化，發展學生的空間觀念，具有十分重要的意義。

2.3數形結合在初中數學教學中的應用

2.3.1代數問題用幾何方法解決.

數與形在一定條件下是可以互相轉化的，借助幾何圖形可以使代數問題更簡單，直觀化。

2.3.2數形結合可使復雜的問題簡單化。

巧妙應用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題可起到事半功倍的效果。

2.4高中數學“數形結合”的應用探究

2.4.1以形助數，借助于幾何直觀性揭示數與式的內在規律

結合函數的圖象或方程的曲線，利用數式的幾何意義或已知圖形性質，借助于幾何直觀性常常能幫助理解概念，揭示數式的內在關系，有利于探求解題途徑，優化解題過程，許多問題“以形助數”不僅能避免繁雜冗長的計算與推理，而且對問題會有更深刻、更全面的認識。

2.4.2以數輔形，用代數方法研究幾何問題

在某些幾何問題中，常常利用數量關系來揭示其幾何性質，或借助數式的推演，使之量化，從而準確揭示“形”的性質，或試著從“數”的運算角度輔助，并運用有關代數公式與結論，獲得直接應用幾何定理難以推證的結果。

2.4.3數形互助，在解題中串聯、結合使用

許多數學問題既要借助于“形”的直觀，同時又離不開“數”的刻劃，數形互助，在解題中串聯、結合使用是數形結合思想的主要表現形式，它充分體現了“數”與“形”之間相互聯系，互為轉化，相得益彰的那種辨證統一關系。

2.5借助多媒體技術有效運用數形結合

2.5.1借助圖形演示，培養學生的數感

教學中，教師如果采用多媒體技術進行圖形演示，建立抽象的數學概念與形象的圖形之間的聯系，把數和形結合起來，可以豐富學習活動的感性材料，有利于學生數感的培養。

2.5.2變靜態為動態，幫助學生理解掌握

教材內容是靜態呈現的，這對學生理解掌握知識帶來困難。因此，教師可以把圖片情境由靜態變為動態，把知識形成的過程淋漓盡致地顯現在學生的眼前。這樣，不僅能有效地激發學生探究新知識的興趣，還能使學生快速直觀地了解知識形成的動態過程，從而幫助學生對知識的理解和掌握。

2.5.3積累感性材料，引導學生合理猜想

在小學數學教學中，要實現數形結合，提高學習效率，可以利用多媒體技術提供感性材料，通過形象思維這個中間環節，提高學生抽象思維的能力，化難為易、化繁為簡，加深學生對某些抽象關系的理解。

第三章數形結合在信息學競賽中的應用

例Raney引理的證明。

設整個序列A={Ai，i=1，2，......n}，且部分和Sk=A1+...+Ak，序列中所有數字的和Sn=1.

證明：在A的N個循環表示中，有且僅有一個序列B，滿足B的任意部分和Si均大于零。

目標圖形化：周期性的推廣A序列，得到一個無窮序列，便于觀察其循環表示，得到：〈A1，A2，...，An，A1，A2，...，An，...〉

同時計算這個序列的部分和Si，因為這個序列是周期性的，因此對于所有的k>0，均有Sk+n=Sk+1。如果做出這個函數的圖形，就可以說明函數有一個“平均斜率”為1/N：每沿橫軸正方向走N個單位，函數值就增加1。于是可以做出圖像。證明就出來了。

第四章結束語

數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。本文首先闡述了數形結合的三個原則，大致了解了數形結合的原理。接著分別對數形結合思想在初等數學教學中的應用，特別是現代科技的飛速發展，一些先進的設備如多媒體的產生，使原本抽象的數學知識可以立體的展現在學生的面前。以及它在實際生活中的應用，在信息學競賽中的應用等各個方面進行了詳細的探討，意在說明該思想在學習生活中的重要性，因此我們必須很好地掌握該思想，要理論聯系實際，解決學習、生活中的問題。運用簡單、直觀的方法，達到事半功倍的效果。

參考文獻

[1]歐陽維城，肖果能等.數學思想方法選講.長沙：湖南教育出版社.2000

[2]張宏良，淺談數學教學中的數形結合思想，衡水學院學報2006.6

[3]啟航新課堂《數學》.吉林教育出版社