以一次測試反觀初中數學概念教學

張鑫

摘要：本輪課程改革以來，初中數學的教學內容對概念進行了淡化處理，一定程度上避免了學生死記硬背數學概念的低效行為，減輕了學業負擔，利于師生將更多的精力投入到數學核心素養的培養與提升之中。但對概念內容的淡化導致了部分教師弱化概念的教學及其應用，教學基本功不扎實并產生了不良后果。基于此進行的測試結果顯示，學科基本功還需從多方面加以夯實。

關鍵詞：初中數學;概念應用;教學方法;基本素養

數學是由概念、定義、公理、定理等組成的邏輯體系，數學概念是反映思考對象空間形式和數量關系本質屬性的思維形式，是數學邏輯體系的基石。定義是揭示概念內涵的邏輯方法，是明確概念的主要方法之一。因此，概念既是學生學習數學思維形式的載體，又是學習數學邏輯方法的載體。明確概念的方法不唯一，給某一概念下定義的具體內容也不止一種。因此，概念本身遠不如借助概念的應用來強化數學的思維形式和邏輯方法更有意義。

我們分別對32位初中數學教師進行了概念應用基本素養的摸底測試，題單如下，為閉卷筆試（其中有7人是通過網上教研的形式進行測試的）。

（一）求解部分

（二）講解部分

此題的講解部分設置了兩處采集點。

第一處采集點是教師的講解思路是否完整。本題完整的講解思路可以參照初中數學解題流程圖（如圖1）進行，先明確概念“單項式”與“完全平方式”，再基于完全平方式的特點與題中所給代數式的差異，明確需要采用分類討論的解題策略，進而確定分類標準，然后具體求解、驗證。

第二處采集點是解題方法選擇的分類標準是否精準。完全平方式是形如“a±2ab+b”的多項式，采用“將題中所給兩項分別與完全平方式中的各項進行比對”的分類標準繁雜且容易導致混亂、遺漏（實際上是窮舉法，本題中之所以有部分教師漏解即源于此因）。本題最為精準的分類標準是“題中給的兩項與待添之項哪個是±2ab”。

基于前述評分標準我對八處采集點進行了數據采集，結果如圖2所示。

32位受測教師的平均教齡為9.6年，既有新人職的教師，也有市級名師和區級教研員，具體教齡構成如圖3所示。

（一）部分教師對概念教學不夠重視且缺少深入研究

數學概念是數學教學的基石，本次摸底測試的核心概念是“完全平方式”。盡管32位受測教師中分別只有6人作答時寫了概念性錯誤答案“-1”和“4X”，但是其余教師在測后被問及“-1可不可以”時很糾結，基本說不清楚到底可不可以。基于此，本次調研對最后接受測試的6位教師在試卷背面進行了現場補充追問“添一1行嗎”（不得更改正面已經作答的內容），數據采集結果如圖4所示。其中，回答“行”的四位教師中，有一位教師在追問前就已經在正面書寫了概念性錯誤答案“-1”和“4x2”，有兩位教師自主補充了概念性錯誤答案“-4x2”。由此可知，盡管其中的5位教師在作答時沒寫概念性錯誤答案，但經過追問的誘導，有3位教師認為可以“添加-1”，占比60%。顯然，全部受測的32位教師中，那26位沒有寫出這兩個概念性錯誤答案的教師極有可能是因為“沒考慮到這種隋況”而“躲過了雷區”。

完全平方式在北師大版初中教科書上是以圖6的形式呈現的，很多教師結合上面的題目想到了“并沒有明確a或6不為0”。他們還是基于數值本身來看待完全平方式的概念，卻沒有看到此概念是以類差來定義的——“形如a±2ab+b”，導致他們沒能從形的視角來看待完全平方式的概念。有的教師認為“-1或-4x”可以使“4x2+1”轉化為“4x2”和“1”，是完全平方數。實際上，由于題目對字母的取值并未明確界定，因此“4x2”并不一定是完全平方數。而且，完全平方數與完全平方式是兩個不同的概念。

圖5中所示的北師大版教科書內容是采用了“種加類差”的方式給完全平方式下的定義。“種”是“式子”，“類差”的是“a±2ab+b”。部分教師的困惑之處在于教科書所給定義的“種”和“類差”都相對寬泛——“式子”的外延既包括多項式，也包括單項式和分式;“a±2ab+b2”中字母的取值并沒有像函數、方程的定義那樣進行明確的限定“k≠0”“n≠O”。

如圖6，人教版教科書對完全平方式的定義相對明晰。從思考問題到定義前均有“多項式”的文字表述，算是進行了概念的限制。據此可知“如果a或6的值為0時，原式將轉化為a、b或0，均是單項式，不符合完全平方式的定義”。

顯然，部分教師既缺少對教科書上數學概念的深入剖析，又缺少不同版本教科書對同一概念的比對，從而無法深入理解概念，導致概念教學難以達到應有的效果。

（二）部分教師對講題時的思路剖析缺少必要的規范

講題的一個重要目的是觸類旁通，需要剖析題目的知識點、思路的源頭、對策的選擇等，從而引導學生學會解答一類問題，而非僅停留在“聽懂此題”的層面。本次對教師進行摸底測試的題目是一道基于概念且考驗思維廣度和深度的代數題目，因此概念剖析至關重要。因為本題要求添上的是單項式、得到的是完全平方式，所以首先就應該引導學生進行概念辨識何為“單項式”、何為“完全平方式”，再通過比對完全平方式的數學模型感知“需要分類討論”這一思路源頭，進而為“采用怎樣的標準進行分類”想對策。寫了概念性錯誤答案的6位教師中，只有3位教師設計了完全平方式的概念復習或模型再現。

（三）部分教師對解題時的方法選擇缺少必要的研究

分類討論的難點是分類標準的確定，好的分類標準能化繁為簡，事半功倍。對于本次摸底測試中的題目，如果采用“誰是完全平方式模型中的a、±2ab、b”來對位討論，將導致需要的思維量大增，事倍功半，甚至導致錯、漏。完全平方式中的“平方項”有兩個，而“2倍乘積項”只有一個。因此，應該用“2倍乘積項”作為分類標準來簡化運算。從教師的作答情況來看，本次摸底測試中只有2位教師答出了3個正確答案，只有l位教師選用了簡化的標準（卻出現計算失誤），而其余教師只是知道需要分類討論，但對于分類討論的標準卻是跟著感覺走的，更像是“窮舉法”，勞而少功甚至無功。

（一）練好概念教學基本功

從32位受測教師的教齡數據來看，平均教齡為9.6年，教齡在1至15年的有27位教師，占受測教師總數的84.4%。12人次的概念性錯誤答案“-1”和“-4x2”集中于6位教師，其教齡統計見表1，平均教齡位16.2年。

盡管受測教師的教齡區間與本輪課程改革的全程基本重疊，似乎能夠說明本輪課程改革淡化概念的影響。但事實上，其教齡在16～30年的5位教師中，完全寫出了全部概念性錯誤答案的有2位，占這一教齡區間的40%，占全部寫出概念性錯誤答案的6人中的33.3%。32位受測教師中有5位教師出現了形如“+1/16x”的概念性錯誤答案。此種情形的錯誤貌似觸碰了“添一個單項式”的概念紅線，但更像是受測教師被困于“因分類標準不精準導致分類討論的實施與結果過于復雜”而忽視了題目要求“單項式”。其實，本題的題干只須“添一項，，即可，而“添一個單項式”中的“單項式”是冗余的已知條件，算是題目對受測教師的一個善意提醒。可見，上述5位教師因為概念教學的弱化而沒能接收到這個的信息。這也印證了很多受測教師的解題基本功也不夠扎實。

顯然，上述測試結果與本輪課程改革對數學概念的淡化之間的因果關系并不明確，但部分受測教師的概念教學不扎實、解題方法不當等教學基本功不理想的弱點卻是暴露無遺的。

實際上，本輪課程改革淡化的是概念本身，而不是概念所涉及的思維形式和邏輯方法。

1.概念教學應該明確概念之間的關系

完全平方式與其上位種概念之間的從屬關系如圖7所示。對可比較概念之間從屬關系的揭示能很好地助推學生深入理解概念以及概念體系，同時也利于滲透數學概念之間的邏輯關系和數學的思維形式。

2.概念教學應該突出概念的主要特征

“類差”“形如a±2ab+b”既將完全平方式從其種概念中剝離了出來，又將抽象的數學概念具象化了，這樣就使概念本身又多了易為接受的鮮活的一面，也直觀地展示了完全平方式這一概念的外延。同時，對概念內涵與外延的揭示能讓學生站在數學的“基石”上思考、解決數學問題而不受諸如本次測試中概念性錯誤答案“-1”和“-4x”的迷惑。

3.概念教學應該突出概念的主要詞句

“多項式”既是完全平方式這一概念的“種（上位）概念”，也是這一概念的關鍵詞。借此便能“越級”將與完全平方式上位概念具有矛盾關系的概念“單項式”區分開來。但是，北師大版教科書與人教版教科書所給出的完全平方式的定義中都將關鍵詞落在了“式子”上，這是不利于學生準確把握完全平方式的概念的。因此，教師要大膽處理，借用人教版完全平方式的“前言”遷移“多項式”這一關鍵詞來澄清疑惑。

4.概念教學應該突出概念的新舊對比

學生們在學習完全平方式之前學習過完全平方數的概念，而具體的完全平方數是一個具有特殊性的數，但具體的完全平方式卻是一個三項多項式。這種顯著的差異所帶來的認知沖突需要經歷一個順應的過程才能納入學生的認知體系。因此，概念教學要注意做好新舊概念的對比，助推學生理清概念間的異同，以便更好地把握概念本質。

5.概念教學應該突出概念的靈活運用

學以致用，唯有用才能深化學的結果。讓學生經歷初步的概念辨識后，就可以由淺入深地投送一定數量和難度的題目考查學生概念掌握的扎實性和思維的靈活性。以本次調研所用的題目為例，可以通過“搭梯子”的辦法通過問題串來引導學生夯實完全平方式的學習：代數式缸2+1是不是完全平方式？如果是，請說明理由;如果不是，請做出適當的改變使其成為完全平方式。

（二）夯實學科教學基本功

1.力口強學科課型的研究

按教學內容可以將初中數學學科的新授課基本課型劃分為概念課、命題課和應用課三類。每類課型的教學目的任務、課型特征、教學策略、教學基本結構和課堂優化標志不盡相同，教師要研習相關理論與文獻，借鑒已有教科研成果積極實踐。

2.力口強解題方法的研究

解題后要反觀解題過程，思考是否還有其他解題方法，并比較不同方法的優劣;要對解題過程進行剖析，提煉解題思路、歸納解題經驗、歸因解題教訓;要歸類典型題型，力爭梳理出學科題型體系，提升對學科認識的系統性。

3.加強講題規范的實踐

講題時要注重以一道題帶動一類題，從審題時的知識點識別，到思路的起點、節點、歸納及變式訓練，在實踐中培養學生解題時思考過程的科學性和規范性。但也要注意解題的靈活性，不要形成思維定勢死記硬背模式化。

雖然造成上述問題的原因是多方面的，但很多教師無暇研習是一個重要的因素。集體備課既需要指出教學要面對的難點和易錯點，更需要深入思考、研討解決問題的策略與方法，要深入到教法、學法以及學法指導的層面，要落實到焦點問題的教學實踐中，這些內容均需要相對充分的時空保障。在加強集體備課、集思廣益的同時，教師自身也應該通過自測等形式做好基本功提升和拓展研修的工作，從而更好地落實課程改革的新理念、探索課程改革的新方法。基于上述調研分析，淡化概念不是淡化概念的教學及其應用的教學基本功。在本輪課程改革的大背景下，一線教師仍需夯實教學基本功，在實現專業發展的同時，讓學生成為本輪課程改革的最大受益者。