模式觀下數學探究的理論與實踐

摘要：以一道平面幾何題的解答與推廣為例，論述模式觀下數學探究的理論與實踐。數學教育的重要方式就是引導學生進行數學探究：像數學家研究數學一樣，探索個別問題背后蘊含的普遍模式（知識），并基于模式相似性去分析問題、解決問題、發現問題和提出問題;特別強調“做數學”的過程以及在過程中努力尋找揭示問題本質的模式和進一步解決或提出新的問題。

關鍵詞：模式觀數學探究模式相似性一題多變

結果基于過程。從過程的角度來看，數學是一種探索、研究，目的在于揭露隱藏在現象背后的規則。在新課標理念下，數學教育的重要方式就是引導學生進行數學探究（重要目標就是培養學生的數學探究能力）：像數學家研究數學一樣，探索個別問題背后蘊含的普遍模式（知識），并基于模式相似性去分析問題、解決問題、發現問題和提出問題;特別強調“做數學”的過程以及在過程中努力尋找揭示問題本質的模式和進一步解決或提出新的問題。

針對許多教師不知如何開展數學探究教學，筆者曾（2018）以一道平面幾何題為例，給出數學探究的一個基本模型。下面，筆者再以一道平面幾何題的解答與推廣為例，論述模式觀下數學探究的理論與實踐。

一、數學是模式的科學

無論是數學中的概念和命題，或是問題和方法，都應被看成是一種具有普遍意義的模式。數學的本質特征就是在對模式化的個體做抽象的過程中對模式進行研究。許多數學家關心的就是找到新的模式，分析這些模式，建構法則以描述它們并進一步研究它們。不管是研究存在于現實世界和人類經驗各方面的各種模式，詮釋各種模式的意義，或是發現、創造類似已知模式的新模式，都是在增加數學的內容。

作為模式的科學，數學的意義則是通過一個領域中模式與其他領域中模式的聯系程度來衡量的。最具解釋力的精巧模式就是最深刻的結果，它們構成了所有數學分支的基礎。找到與詮釋這樣的模式并使它發生意義，是數學家孜孜以求的目標。數學家總是努力去發現那些具有廣泛應用和深刻反映現實世界某一方面的結構或模式，總是不斷地將一類模式與另一類模式聯系起來，產生新的模式。數學就是按照自身的邏輯，從科學的模式開始，通過添加由此派生的所有模式而結束。

數學模式是數學抽象思維的產物。當直覺和未經分析的經驗表明在許多不同的背景下存在著共同的結構特征時，數學家就有了任務：以精確和客觀的形式系統地闡明基本的結構特征，將這種結構以模式的形式發掘出來。數學的發展在很大程度上就是利用經驗和直覺的洞察力去發現合適的形式結構。不管在什么樣的數學工作中，如果某種模式重復出現，則其中必有某種意義。而我們應該研究它為什么會發生，掌握其中心思想。

數學家德夫林指出：“對于大多數外行人來說，做數學意味著學會一大堆毫無聯系的規則和技巧來解答各類問題。當遇到一位數學家對你說：‘噢，這很明顯，你這樣做，再這樣做，然后答案就這樣出來了。’一般人一定會以為，做數學需要一個特殊的腦袋。事實上并非如此，使數學家在這種情況下知道該怎么做的主要原因是他們看到了針對問題領域的一種潛在結構。如果你能看出這種結構，你會很清楚下一步該做什么。”這種“結構”其實就是模式，而且這種“結構”常常又可以啟發新的模式，產生模式的模式。學習和研究數學必須具備識別模式、鑒賞模式、發現模式、建立模式、拓展模式和應用模式的能力，沉浸于模式的魅力、獲得與邏輯分類中。

二、基于模式相似性的數學探究

數學是一個有機的、統一的整體，數學的理論、方法和問題之間總是有著千絲萬縷的聯系。從表面上看，數學的領域千差萬別，但是，不同的領域常常體現出驚人的模式相似性。數學規律是寓于模式相似性之中的，數學的獨創很大程度上在于發現不同領域之間的聯系或相似之處。

數學家要有發現這種聯系或相似性的眼光和直覺。正如泛函分析的創始人之一S.巴拿赫指出的：“一個人是數學家，那是因為他善于發現判斷之間的類似;如果他能判明論證之間的類似，他就是一個優秀的數學家;要是他竟識破理論之間的類似，他就成為杰出的數學家。可是我認為還應當有這樣的數學家，他能夠洞察類似之類似。”

數學史上很多令人感到心滿意足的時刻，都是因為發現兩個一直以來認為是疏遠而不相關的領域，根本上卻是同一樣東西的不同面貌。蘇聯著名數學家D.莫達克海波爾托夫指出：“數學思維的才能在于有無智慧的敏銳性。”所謂“智慧的敏銳性”，就是指發現兩個看似不相聯系的問題之間的模式相似性的一種能力，把兩個不相聯系的思想領域內的一些概念“納入統一觀點”的一種能力，從已知事物中發現有什么相似之處的一種能力，以及在一些關系疏遠的領域或十分復雜的對象中找出有什么相似之處的一種能力。

數學探究要善于基于問題的結構或模式尋求問題和方法之間的聯系或相似性，尤其要善于基于問題的模式不斷地將類似的問題聯系起來，進行推廣和提出新的問題。正如笛卡兒指出的：“當我們已經直觀地弄懂了幾個簡單的定理的時候……如果能通過連續的思考活動，把這幾個定理貫穿起來，悟出它們之間的相互關系，并能同時盡可能多地、明確地想象出其中的幾個，那將是很有益的。”菲爾茲獎和沃爾夫獎得主丘成桐院士指出：“數學家證明了不同而又重要的定理，這些定理可能都有它們的重要性，但真正成為一個數學主流的學問，必須將這些定理整合起來，成為一個有完整哲學思維做背景的理論，這種學問才會有價值，影響深入，能夠流傳后世。”這里的“把這幾個定理貫穿起來”和“將這些定理整合起來”，在很大程度上需要基于問題（定理）的模式不斷地將類似的問題（定理）聯系起來。

當然，發現問題隱藏的結構與模式，發現不同問題之間的內在聯系或相似性，常常是很不容易的。實踐中，研究的對象如果彼此過分相似，它們的推廣就稍欠情趣;但是，如果彼此面貌迥異，則只要可以辨認出它們共同的性質，推廣就非常有價值，常常能得到更深刻的數學命題。

三、基于模式相似性的數學探究案例

問題已知△ABC是⊙O的內接三角形，AB=AC，在∠BAC所對的弧BC上任取一點D，連結AD、BD、CD。如圖1，若∠BAC=120°，那么BD+CD與AD之間的數量關系是什么？

解：由題意可得∠ADB=∠ADC=30°。如圖2，過點A分別向∠BDC兩邊作垂線，垂足分別為E、F，則AE=AF，DE=DF。在Rt△AEB和Rt△AFC中，AB=AC，

AE=AF，則△AEB≌△AFC（HL），則EB=FC，則BD+CD=2DE=3AD。

這道題本質上是一道“四點共圓背景下角平分線上線段和角兩邊上線段的關系”的問題。普通學生不難想到上述“過角平分線上的點向兩邊作垂線段，找三角形全等，進而找線段相等，最終利用直角三角形中的邊角關系”的解法。但是，許多學生常常只是解完題目就結束了，不會去深入挖掘問題中隱藏的深層次的東西，從而難以發現本題與其他題目的聯系。顯然，這樣的過程只是簡單地就題解題，而不是深入的數學探究，不能充分地提升數學素養。

對此，教師可以引導學生將該問題一般化，并尋求另外的“基于旋轉變換將相關線段集中到一個三角形中”的解法（幾何變換的工具價值還未得到師生足夠的重視）：

一般化問題如圖1，若∠BAC=α，那么BD+CD與AD之間的數量關系是什么？

解：如圖3，作∠EAD=∠BAC=α，AE交DB的延長線于點E，則∠EAB=∠DAC。由四點共圓定理，知∠EBA=∠DCA。在△EAB和△DAC中，∠EAB=∠DAC，

AB=AC，

∠EBA=∠DCA，則△EAB≌△DAC（ASA），則BE=CD，AE=AD。過點A作AF⊥DE于點F，則∠FAD=α2，則BD+CD=BD+BE=DE=2DF=2ADsinα2。

仔細分析上述兩個問題，可以發現它們具有相似的模式，即解決它們用到的關鍵條件是：（1）A、B、C、D 四點共圓（即∠BAC+∠BDC=180°）;（2）AD是∠BDC的平分線。于是，教師還可以進一步引導學生探究：

如果去掉原問題中圓這個條件，保留與之等價的對角互補條件，經過改編就可以得到如下拓展問題1。

拓展問題1如圖4，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，那么OD+OE與OC之間的數量關系是什么？

運用模式相似性，可以類比原問題得到如下兩種解法。

解法1：如圖5，過點C分別作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M、N，則CM=CN，OM=ON。又∠AOB=90°，則四邊形OMCN為正方形。由∠AOB=∠DCE=90°，可知O、D、C、E四點共圓。又OC平分∠AOB，則CD=CE。在Rt△MCD和Rt△NCE中，CM=CN，

CD=CE，則△MCD≌△NCE（HL），則MD=NE，則OD+OE=2OM=2OC。

解法2：如圖6，過點C作CF⊥OC，交OB于點F，則∠ECF=∠DCO，∠EFC=∠DOC=45°，CF=CO，則△ECF≌△DCO（ASA），則EF=OD，則OD+OE=EF+OE=OF=2OC。

如果讓∠DCE的一邊與AO或BO的延長線相交，又可以得到如下變式拓展問題1。

變式拓展問題1如圖7，∠AOB=∠DCE=90°，點D在AO的延長線上，點E在BO上，OC平分∠AOB，那么OD、OE與OC之間的數量關系是什么？

基于模式相似性，不難得到兩種與拓展問題1一樣的解法（如圖8和圖9），可以求得OE-OD=2OC（過程省略）。

如果進一步將∠AOB=∠DCE=90°這個條件換成其他“四點共圓”的條件，又可以得到如下拓展問題2。

拓展問題2如圖10，∠AOB=120°，∠DCE=60°，OC平分∠AOB，那么OD+OE與OC之間的數量關系是什么？

基于模式相似性，類比拓展問題1，同樣可以得到兩種解法（如圖11和圖12），可以求得OD+OE=OC（過程省略）。

類比變式拓展問題1，如果讓∠DCE的一邊與AO或BO的延長線相交，又可以得到如下變式拓展問題2。

變式拓展問題2如圖13，∠AOB=120°，∠DCE=60°，點D在AO上，點E在BO的延長線上，OC平分∠AOB，那么OD、OE與OC之間的數量關系是什么？

基于模式相似性，不難得到兩種與拓展問題2一樣的解法（如圖14和圖15），可以求得OD-OE=OC（過程省略）。

如果進一步把條件一般化，令∠AOB=2α，∠DCE=180°-2α，又可以得到如下拓展問題3。

拓展問題3如圖16，∠AOB=2α，∠DCE=180°-2α，OC平分∠AOB，那么OD+OE與OC之間的數量關系是什么？

基于模式相似性，類似地，不難得到兩種解法（如圖17和圖18），可以求得OD+OE=2OCcos α（過程省略）。

如果讓∠DCE的一邊與AO或BO的延長線相交，又可以得到如下變式拓展問題3。

變式拓展問題3如圖19，∠AOB=2α，∠DCE=180°-2α，點D在AO上，點E在BO的延長線上，OC平分∠AOB，那么OD、OE與OC之間的數量關系是什么？

基于模式相似性，類似地，不唯得到兩種解法（如圖20和圖21），可以求得OD-OE=2OCcos α（過程省略）。

四、教學啟示與建議

以上我們運用模式相似性，從特殊到一般、從“四點共圓”到“對角互補”，基于一個問題及其解答，不斷地提出新的問題及其解答。這正是數學家從事數學研究的一種基本策略與方法，關鍵是要看出反映問題本質的那個內在的而且常常是隱藏的“模式”。數學試題成千上萬，我們不可能把它們一一做完。但許多數學問題，無論是題設、結論，還是整體結構、直觀圖像或解題方法，都表現出或隱含著某種數學模式。善于觀察、識別和捕捉這些模式特征，往往可以迅速地獲得問題解決的途徑;而且，常常可以基于模式相似性，發現不同問題之間內在的關聯，并由此推廣原有命題和提出新的問題。當然，這需要一定的數學直覺和天賦，但也是可以教育和培養的。

以模式的觀念指導數學探究，使師生有可能更加自覺地關注并研究數學問題中蘊含的模式的各個側面，特別是模式的結構特征、模式的發現和建立過程，這對發現問題之間的聯系、選擇思維的方向具有很大的啟發性。在數學探究教學中，教師要善于引導學生基于模式相似性，發現數學問題與方法之間的聯系，尋找特殊問題和一般結果之間、一個問題和另一個問題之間貌似無關但實際上相互聯系的關系，進而推廣原有命題和提出新的問題。只要教師經常有意識地引導學生這樣觀察和分析問題，學生就能潛移默化地受到熏陶，學會這種基于模式相似性的數學探究。

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